1. Понятие о корреляционной связи и предпосылки ее использования

2. Статистические методы выявления наличия корреляционной связи между двумя признаками

3. Измерение степени тесноты корреляционной связи в случае парной зависимости

4.1. Понятие о корреляционной связи и предпосылки ее использования

Статистические распределения характеризуются наличием бо­лее или менее значительной вариации в величине признака у от­дельных единиц совокупности. Естественно, возникает вопрос о том, какие же причины формируют уровень признака в данной совокупности и каков конкретный вклад каждой из них. Изуче­ние зависимости вариации признака от окружающих условий и со­ставляет содержание теории корреляции'.

Изучение действительности показывает, что вариация каждо­го изучаемого признака находится в тесной связи и взаимодействии с вариацией других признаков, характеризующих исследуемую со­вокупность единиц. Вариация уровня производительности труда работников предприятий зависит от степени совершенства приме­няемого оборудования, технологии, организации производства, труда и управления и других самых различных факторов.

При изучении конкретных зависимостей одни признаки вы­ступают в качестве факторов, обусловливающих изменение дру­гих признаков. Признаки этой первой группы в дальнейшем бу­дем называть признаками-факторами (факторными признаками); а признаки, которые являются результатом влияния этих факто­ров, будем называть результативными. Например, при изучении зависимости между производительностью труда рабочих и энерговооруженностью их труда уровень производительности труда является результативным признаком, а энерговооруженность тру­да рабочих - факторным признаком.

Рассматривая зависимости между признаками, необходимо выделить, прежде всего, две категории зависимости: 1) функцио­нальные и 2) корреляционные.

Функциональные связи характеризуются полным соответ­ствием между изменением факторного признака и изменением ре­зультативной величины, и каждому значению признака-фактора соответствуют вполне определенные значения результативного признака.

В корреляционных связях между изменением факторного и результативного признака нет полного соответствия, воздействие отдельных факторов проявляется лишь в среднем при массовом на­блюдении фактических данных. В простейшем случае примене­ния корреляционной зависимости величина результативного признака рассматривается как следствие изменения только одно­го фактора (например, энерговооруженность труда рассматривает­ся как причина роста производительности труда). Однако выде­ленный в данном примере в качестве основного признак-фактор не является единственной причиной изменения результативного при­знака, а наряду с ним на величину результативного признака вли­яет множество других причин. Как уже указывалось, на формиро­вание уровня производительности труда на предприятии более или менее существенное влияние оказывают факторы, характери­зующие степень совершенства применяемой техники и техноло­гии, уровень механизации и автоматизации труда, специализации производства, состав работающих, текучесть кадров.

Кроме того, сам признак-фактор в свою очередь может зави­сеть от изменения ряда обстоятельств. В сложном взаимодействии находится результативный признак - в более общем виде он вы­ступает как фактор изменения других признаков. Отсюда резуль­таты корреляционного анализа имеют значение в данной связи, а интерпретация этих результатов в более общем виде требует по­строения системы корреляционных связей.

Одновременное воздействие на изучаемый признак большо­го количества самых разнообразных факторов приводит к тому, что одному и тому же значению признака-фактора соответствует целое распределение значений результативного признака, по­скольку в каждом конкретном случае прочие факторные призна­ки могут изменять силу и направленность своего воздействия.

При сравнении функциональных и корреляционных зависи­мостей следует иметь в виду, что при наличии функциональной зависимости между признаками можно, зная величину фактор­ного признака, точно определить величину результативного при­знака. При наличии же корреляционной зависимости устанавли­вается лишь тенденция изменения результативного признака при изменении величины факторного признака. В отличие от жест­кости однозначно функциональной связи корреляционные свя­зи характеризуются множеством причин и следствий и устанав­ливаются лишь их тенденции.

Необходимо отметить, что экономической теории принадле­жит решающее слово в обосновании связей между теми или ины­ми признаками. При этом теоретический анализ должен показать, какие факторы влияют на исследуемый признак или же влияние каких факторов должно быть проверено. Статистическое выра­жение связи между явлениями может показать, что изменения од­ного из сопоставляемых признаков сопровождаются изменения­ми другого. Следовательно, нужно искать объяснение этим изме­нениям в их содержательном анализе. С помощью статистических методов изучения зависимостей можно установить, как проявля­ется теоретически возможная связь в данных конкретных усло­виях. Статистика не только отвечает на вопрос о реальном суще­ствовании намеченной теоретическим анализом связи, но и дает количественную характеристику этой зависимости. Зная харак­тер зависимости одного явления от других, можно объяснить при­чины и размер изменений в явлении, а также планировать необ­ходимые мероприятия для дальнейшего его изменения.

При исследовании корреляционных зависимостей между при­знаками решению подлежит широкий круг вопросов, к которым следует отнести: 1) предварительный анализ свойств моделируе­мой совокупности единиц; 2) установление факта наличия связи, определение ее направления и формы; 3) измерение степени тес­ноты связи между признаками; 4) построение регрессионной мо­дели, т.е. нахождение аналитического выражения связи; 5) оцен­ка адекватности модели, ее экономическая интерпретация и прак­тическое использование.

Для того чтобы результаты корреляционного анализа нашли практическое применение и дали желаемый результат, должны выполняться определенные требования в отношении отбора объ­екта исследования и признаков-факторов. Одним из важнейших условий правильного применения методов корреляционного анализа является требование однородности тех единиц, которые под­вергаются изучению методами корреляционного анализа. Напри­мер, при корреляционном анализе зависимостей тех или иных тех­нико-экономических показателей работы предприятий от опре­деленных факторов должны быть отобраны предприятия, выпу­скающие однотипную продукцию, имеющие одинаковый харак­тер технологического процесса и тип используемого оборудова­ния, для предприятий добывающей промышленности определен­ную роль играет и географическое размещение предприятий.

При выполнении указанных общих требований далее необхо­дима количественная оценка однородности исследуемой сово­купности по комплексу признаков. Одним из возможных вари­антов такой оценки является расчет относительных показателей вариации. Традиционно широкое распространение для этих це­лей получил коэффициент вариации. Несколько реже применя­ется отношение размаха вариации к среднеквадратическому от­клонению. Вывод о неоднородности исследуемой совокупности по тому или иному признаку требует проверки гипотезы о принад­лежности «выделяющихся» (аномальных) значений признака ис­следуемой генеральной совокупности.

Другим важным требованием, обеспечивающим надежность выводов корреляционного анализа, является требование доста­точного числа наблюдений. Как уже указывалось, влияние суще­ственных причин может быть затушевано действием случайных факторов, «взаимопогашение» влияния которых на результатив­ный показатель в известной мере происходит при выведении сред­ней результативного показателя для массы случаев.

Определенные требования существуют и в отношении фак­торов, вводимых в исследование. Все множество факторов, ока­зывающих влияние на величину результативного показателя, в действительности не может быть введено в рассмотрение, да прак­тически в этом и нет необходимости, так как их роль и значение в формировании величины результативного, показателя могут иметь существенные различия. Поэтому при ограничении числа факторов, включаемых в изучение, наряду с качественным ана­лизом целесообразно использовать и определенные количествен­ные оценки, позволяющие конкретно охарактеризовать влияние факторов на результативный показатель (к оценкам можно отне­сти парные коэффициенты корреляции, ранговые коэффициенты при экспертной оценке влияния факторов). Включаемые в исследование факторы должны быть независимыми друг от друга, так как наличие тесной связи между ними свидетельствует о том, что они характеризуют одни и те же стороны изучаемого яв­ления и в значительной мере дублируют друг друга.

Все основные положения теории корреляции разрабатывались применительно к предположению о нормальном характере рас­пределения исследуемых признаков. В этой связи целесообраз­ным является изучение формы распределения, дающее возмож­ность в известной мере обосновать правомерность применения методов корреляционного анализа.

Проверку нормальности распределения зависимой перемен­ной можно проводить при каждом фиксированном значении фак­торного признака или внутри каждого отдельного интервала груп­пирования, на которые разбит диапазон изменения факторного признака, пользуясь различными критериями согласия. Для про­верки исходной предпосылки нормальности распределения не­обходимо в каждой группе иметь достаточно большое количест­во наблюдений, что в практических исследованиях встречается довольно редко.

Следует отметить, что на практике часто сталкиваются с теми или иными отклонениями от исходных предпосылок. Однако это не означает, что мы должны отказываться от применения мето­дов корреляционно-регрессионного анализа.

И, наконец, при построении корреляционных моделей факто­ры должны иметь количественное выражение, иначе составить мо­дель корреляционной зависимости не представляется возмож­ным.

4.2. Статистические методы выявления наличия корреляционной связи между двумя признаками

Для ответа на вопрос о наличии или отсутствии корреляци­онной связи используется ряд специфических методов: так назы­ваемые элементарные приемы (параллельное сопоставление ря­дов значений результативного и факторного признаков, графи­ческое изображение фактических данных с помощью поля кор­реляции, построение групповой и корреляционной таблиц), а так­же дисперсионный анализ. Простейшим приемом обнаружения связи является сопоставление двух параллельных рядов - ряда значений факторного признака и соответствующих ему значений результативного признака. Значения факторного признака рас­полагают в возрастающем порядке и затем прослеживают направление изменения величины результативного признака. Резуль­тативный признак (функцию) в дальнейшем будем обозначать че­рез у, а факторный признак - через х.

Например, по 20 туристическим фирмам были установлены затраты на рекламу (факторный признак) и количество туристов, воспользовавшихся услугами каждой фирмы (результативный признак). В табл.1 фирмы ранжированы по величине затрат на рекламу.

Можно видеть, что в целом для всей совокупности фирм увеличение затрат на рекламу приводит к увеличению количе­ства туристов, пользующихся услугами фирмы, хотя в отдель­ных случаях наличие такой зависимости может и не усматри­ваться. Например, сопоставим данные по фирмам с порядко­выми номерами 7 и 11. Здесь мы видим даже обратное соот­ношение: у фирмы 11 количество туристов меньше, чем у фир­мы 7 и составляет 920 человек, хотя затраты на рекламу вы­ше, чем у фирмы 7 на 1 усл. ден. ед. В каждом отдельном слу­чае количество туристов, воспользовавшихся услугами фир­мы, будет зависеть не только от размера затрат фирмы на рек­ламу, но и от того, как сложатся прочие факторы, определяю­щие величину результативного признака.

В тех случаях, когда возрастание величины факторного при­знака влечет за собой возрастание и величины результативного признака, говорят о возможном наличии прямой корреляцион­ной связи. Если же с увеличением факторного признака, величи­на результативного признака имеет тенденцию к уменьшению, то можно предполагать обратную связь между признаками.

Однако наличие большого числа различных значений резуль­тативного признака, соответствующих одному и тому же значе­нию признака-фактора, затрудняет восприятие таких параллель­ных рядов особенно при большом числе единиц, составляющих изучаемую совокупность. В таких случаях целесообразнее вос­пользоваться для установления факта наличия связи статисти­ческими таблицами - корреляционными или групповыми.

Построение корреляционной таблицы начинают с группиров­ки значений факторного и результативного признаков. Так как в приводимом примере факторный признак представлен всего пятью вариантами повторяющихся значений, достаточно в пер­вом столбце табл. 7.2 выписать эти результаты.

Для результативного признака необходимо определить вели­чину интервала. Для этого воспользуемся формулой Стэрджесса:

П = 1+3,322 lg n

В корреляционной таблице факторный признак х, как прави­ло, располагают в строках, а результативный признак у - в столбцах (графах) таблицы. Числа, расположенные на пересечении строк и столбцов таблицы, означают частоту повторения данного соче­тания значения х и у. Корреляционная таблица дает возможность выдвинуть предположение о наличии или от­сутствии связи, а также выяснить ее направление. Если частоты в корреляционной таблице расположены на диагонали из левого верхнего угла в правый нижний угол (т.е. большим значениям фактора соответствуют большие значения функции), то можно предположить наличие прямой корреляционной зависимости между признаками. Если же частоты расположены по диагонали справа налево, то предполагают наличие обратной связи между признаками.

Уместно подчеркнуть, что при рассмотрении корреляцион­ной таблицы важно установить расположение основной части частот. Возможны варианты, когда все клетки корреляцион­ной таблицы окажутся заполненными. Однако это обстоятель­ство еще не означает, что корреляционная связь между при­знаками отсутствует. Нужно установить, как расположена в таблице основная масса частот. Для того чтобы сделать вос­приятие корреляционной таблицы более доступным и в целях более четкого выявления основной тенденции связи, можно для каждой строки рассчитать средние значения результатив­ного признака, соответствующие определенному значению признака-фактора (каждая строка таблицы дает условное рас­пределение у при определенном значении х). Корреляционная таблица позволяет сжато, компактно изло­жить материал, поэтому все последующие расчеты (показателей тесноты связи и параметров уравнения регрессии) можно вести по корреляционной таблице.

Другим возможным приемом обнаружения связи является по­строение групповой таблицы. Все наблюдения разбиваются на группы в зависимости от величины признака-фактора, и по каж­дой группе вычисляются средние значения результативного при­знака:

Сравнив средние значения результативного признака по груп­пам, можно сделать вывод, что рост затрат туристических фирм на рекламу влечет за собой увеличение числа клиентов, пользую­щихся услугами фирмы, т.е. в рассматриваемом примере можно предположить наличие прямой корреляционной зависимости между признаками.

Корреляционная зависимость отчетливо обнаруживается толь­ко при рассмотрении средних значений результативного призна­ка, соответствующих определенным значениям факторного при­знака, так как при достаточно большом числе наблюдений в каж­дой группе влияние прочих случайных факторов при расчете груп­повой средней будет взаимопогашаться, и четче выступит зависимость результативного признака от фактора, положенного в осно­ву группировки. Иными словами, предполагается, что все прочие причины, если они носят случайный характер, при определении средней по группам взаимопогашаются, т.е. дают в каждой группе один и тот же результат. Следовательно, различия в величине сред­них будут связаны только с различиями в величине данного фак­торного признака. Если бы связи между факторным и результатив­ным признаком не было, то все групповые средние были бы приблизительно одинаковыми по величине. Оценка существенности рас­хождения групповых средних лежит в основе использования мето­дов дисперсионного анализа для выявления наличия и оценки су­щественности связи. Для предварительного выявления наличия связи и раскры­тия ее характера, а в известной мере и для выбора формы связи применяют графический метод. Используя данные об индиви­дуальных значениях признака-фактора и соответствующих ему значениях результативного признака, можно построить в прямо­угольных координатах точечный график, который называют «по­лем корреляции».

Положение каждой точки на графике определяется величи­ной двух признаков - уровнем затрат на рекламу и соответствую­щим ему числом туристов, пользующихся услугами данной фир­мы. Точки корреляционного поля не лежат на одной линии, они вытянуты определенной полосой слева направо. Имеющийся в нашем распоряжении статистический материал был сгруппиро­ван (табл. 2) и по каждому значению затрат фирм на рекламу определены значения среднего числа туристов в группе (см. гр. 3 табл. 2) Нанеся эти средние на график и соединяя последова­тельно отрезками прямых соответствующие им точки, получим так называемую эмпирическую линию связи.

Если эмпирическая линия связи по своему виду приближает­ся к прямой линии, то можно предположить наличие прямоли­нейной корреляционной связи между признаками. Если же име­ется тенденция неравномерного изменения значений результатив­ного признака, и эмпирическая линия связи будет приближаться к какой-либо кривой, то это может быть связано с наличием кри­волинейной корреляционной связи.

3.3. Измерение степени тесноты корреляционной связи в случае парной зависимости

Показатели степени тесноты связи дают возможность охарак­теризовать зависимость вариации результативного признака от вариации признака-фактора. В известной мере они дополняют и развивают уже отмеченные приемы обнаружения связи.

Зная показатели тесноты корреляционной связи, мы можем решать следующие группы вопросов:

1)  ответить на вопрос о необходимости изучения данной связи между признаками и целесообразности ее практического применения;

2)  сопоставляя показатели тесноты связи для различных ситуаций, можно судить о степени различий в ее проявлении для конкретных условий;

3)  и, наконец, сопоставляя показатели тесноты связи результативного признака с различными факторами, можно выявить те факторы, которые в данных конкретных условиях являются решающими и главным образом воздействуют на формирование величины результативного признака.

К простейшим показателям степени тесноты связи относят коэффициент корреляции знаков, который был предложен немец­ким ученым Г.Фехнером (1801-1887). Этот показатель основан на оценке степени согласованности направлений отклонений ин­дивидуальных значений факторного и результативного призна­ков от соответствующих средних. Для его расчета вычисляют средние значения результативного и факторного признаков, а за­тем проставляют знаки отклонений для всех значений взаимос­вязанных пар признаков.

Коэффициент Фехнера может принимать различные значения в пределах от -1 до +1, Если знаки всех отклонений совпадут, то показатель будет равен 1, что свидетельствует о воз­можном наличии прямой связи. Если же знаки всех отклонений бу­дут разными, тогда коэффициент Фехнера будет равен -1, что дает основание предположить наличие обратной связи.

Величина коэффици­ента Фехнера не зависит от величи­ны   отклонений факторного и результативного признака от соот­ветствующей средней величины. Поэтому нельзя говорить о сте­пени тесноты корреляционной связи, а тем более об оценке ее су­щественности на основании только коэффициента Фехнера. При малом объеме исходной информации коэффициент Фехнера практически решает ту же задачу, которая ставится при построе­нии групповых и корреляционных таблиц, т.е. отвечает на вопрос о наличии и направлении корреляционной связи между признаками. В том случае, если построена корреляционная или же груп­повая таблица, дополнительный расчет коэффициента Фехнера не имеет практической ценности.

Более совершенным показателем степени тесноты связи яв­ляется линейный коэффициент корреляции. При расчете этого показателя учитываются не только знаки отклонений индивидуальных значений признака от средней, но и сама величина таких отклонений. Од­нако непосредственно сопоставлять между собой полученные аб­солютные величины нельзя, так как сами признаки могут быть выражены в разных единицах (как это имеет место в представ­ленном примере), а при наличии одних и тех же единиц измере­ния средние могут быть различны по величине. В этой связи сравнению могут подлежать отклонения, выраженные в относитель­ных величинах, т.е. в долях среднего квадратического отклоне­ния (их называют нормированными отклонениями). Для того чтобы на основе сопоставления рассчи­танных нормированных отклонений получить обобщающую ха­рактеристику степени тесноты связи между признаками для всей совокупности, рассчитывают среднее произведение нормирован­ных отклонений. Полученная таким образом средняя и будет яв­ляться линейным коэффициентом корреляции. Расчет коэффициента Фехнера представлен в таблице.

Линейный коэффициент корреляции может принимать лю­бые значения в пределах от -1 до +1. Чем ближе коэффициент корреляции по абсолютной величине к 1, тем теснее связь между признаками. Знак при линейном коэффициенте корреляции ука­зывает на направление связи - прямой зависимости соответству­ет знак плюс, а обратный зависимости - знак минус.

Если с увеличением значений факторного признака х, ре­зультативный признак у имеет тенденцию к увеличению, то ве­личина коэффициента корреляции будет находиться между О и 1. Если же с увеличением значений х результативный признак у имеет тенденцию к снижению, коэффициент корреляции может принимать значения в интервале от 0 до —1.

Квадрат коэффициента корреляции носит название коэф­фициента детерминации. В тех случаях, когда исходная информация представлена в ви­де корреляционной таблицы, нужно учитывать частоты повторе­ний как индивидуальных значений факторного и результативно­го признаков, так и число повторений данного сочетания значе­ний фактора и результата. Здесь еще раз следует напомнить, что сама по себе величина коэффициента корреляции не является доказательством наличия причинно-следственной связи между исследуемыми признаками, а является оценкой степени взаимной согласованности в измене­ниях признаков. Установлению причинно-следственной зависи­мости предшествует анализ качественной природы явлений. Но есть и еще одно обстоятельство, объясняющее формулировку вы­водов о возможном наличии связи по величине коэффициента корреляции.

Связано это с тем, что оценка степени тесноты связи с по­мощью коэффициента корреляции производится, как правило, на основе более или менее ограниченной информации об изучаемом явлении. Возникает вопрос, насколько правомерно наше заклю­чение по выборочным данным в отношении действительного на­личия корреляционной связи в той генеральной совокупности, из которой была произведена выборка?

Принципиально возможны случаи, когда отклонение от нуля полученной величины выборочного коэффициента корреляции оказывается целиком обусловленным неизбежными случайными колебаниями тех выборочных данных, на основании которых он вычислен. Особенно осторожно следует подходить к истолкова­нию полученных коэффициентов корреляции при незначитель­ных объемах выборочной совокупности.

В этой связи и возникает необходимость оценки существен­ности линейного коэффициента корреляции, дающая возмож­ность распространить выводы по результатам выборки на гене­ральную совокупность. В зависимости от объема выборочной со­вокупности предлагаются различные методы оценки существен­ности линейного коэффициента корреляции. В отношении при­водимых ниже критериев существенности можно сделать общее замечание, касающееся свойств исходной совокупности. Этим свойством является нормальное распределение значений признака в генеральной совокупности.

Рассмотрим следующие критерии, предлагаемые в статисти­ческой литературе:

1. При большом объеме выборки, отобранной из исходной нор­мально распределенной совокупности, можно считать распределе­ние линейного коэффициента корреляции приближенно нормальным со средней, равной с и дисперсией а.

Полученную величину t сравнивают с табличным значе­нием f-критерия (число степеней свободы равно n-2). Если рас­считанная величина t  превосходит табличное значение крите­рия t, то практически невероятно, что найденное значение обус­ловлено только случайными совпадениями х и у в выборке из ге­неральной совокупности, для которой действительное значение коэффициента корреляции равно нулю. Если же вычисленная ве­личина f меньше, чем в таблице, то полагают, что коэффици­ент корреляции в генеральной совокупности в действительности равен нулю и соответственно, эмпирический коэффициент кор­реляции существенно не отличается от нуля.

2. Проверку гипотезы об отсутствии связи можно сделать и без вычислений, пользуясь таблицей, составленной Р. Фишером. В этой таблице показывается величина коэффициента корреля­ции, которая может считаться существенной при данном количе­стве наблюдений. При пользовании этой таблицей величину ко­эффициента корреляции следует искать для числа степеней сво­боды, равного n-2. Краткая выдержка из таблицы значений коэффициентов корреляции при различных уровнях критерия значимости при­ведена в табл. 

3. В тех случаях, когда линейный коэффициент корреляции, полученный по данным относительно малой выборки, близок к единице, для проверки его существенности рекоменду­ется использовать метод преобразованной корреляции, предло­женный Р.Фишером.

Р. Фишер показал, что распределение логарифмической фун­кции линейного коэффициента корреляции (приближается к нормальной кривой даже для выбо­рок очень небольшого объема.