5.1. Однородность и изучение массовых явлений

Как уже сказано ранее, статистика изучает массовые явления и процессы. Каждое из таких явлений обладает как общими для всей совокупности, так и особенными, индивидуальными свойствами. Различие между индивидуальными явлениями называют вариацией, о ней подробно будет сказано в п. 5.5. Здесь же рассмотрим другое свойство массовых явлений - присущую им близость характеристик отдельных явлений. Если в сосуд с горячей водой добавить холодную, то температура воды во всем сосуде станет одинаковой (осреднится). Поведение детей, поступивших в одну группу детского садика или в один класс школы, тоже приобретает до какой-то степени общие, усредненные черты. Массовое промышленное производство невозможно без стандартизации, т. е. усреднения размеров деталей собираемых механизмов, узлов, агрегатов. Введение севооборота, т. е. ротация разных культур по нескольким участкам пашни, приведет к выравниванию плодородия и механических свойств почвы на этих севооборотных полях. Итак, взаимодействие элементов совокупности приводит к ограничению вариации хотя бы части их свойств. Эта тенденция существует объективно. Именно в ее объективности заключена причина широчайшего применения средних величин на практике и в теории.

Каждому рабочему известно, что оплата за простой не по вине рабочего производится по средним расценкам или по среднечасовому заработку. Каждому студенту известно, что такое средний балл на экзаменах. О средних величинах и серьезно, и с насмешкой говорят и пишут философы и журналисты. С помощью метода средних величин статистика решает много задач.

Главное значение средних величин состоит в их обобщающей функции, т. е. замене множества различных индивидуальных значений признака средней величиной, характеризующей всю совокупность явлений. Всем известны особенности развития современных людей, проявляющиеся в том числе и в более высоком росте сыновей по сравнению с отцами, дочерей в сравнении с матерями в том же возрасте. Но как измерить это явление? В разных семьях наблюдаются самые различные соотношения роста старшего и младшего поколения. Далеко не всякий сын выше отца и не каждая дочь выше матери. Но если измерить средний рост многих тысяч лиц, то по среднему росту сыновей и отцов, дочерей и матерей можно точно установить и сам факт акселерации, и типичную среднюю величину увеличения роста за одно поколение.

На производство одного и того же количества товара определенного вида и качества разные производители (заводы, фирмы) затрачивают неодинаковое количество труда и материальных ресурсов. Но рынок осредняет эти затраты, и стоимость товара определяется средним расходом ресурсов на производство,

Погода в определенном пункте земного шара в один и тот же день в разные годы может быть очень различной. Например, в Санкт-Петербурге 31 марта температура воздуха за сто с лишним лет наблюдений колебалась от -20,1° в 1883 г. до +12,24° в 1920 г. Примерно такие же колебания наблюдаются и в другие дни года. По таким индивидуальным данным о погоде в какой-то произвольно взятый год нельзя составить представление о климате Санкт-Петербурга. Характеристики климата - это средние за длительный период характеристики погоды - температуры воздуха, его влажность, скорость ветра, сумма осадков, число часов солнечного сияния за неделю, месяц и весь год и т.д. Приведем еще один пример осреднения, его роли, в управлении важнейшими и опасными процессами, от которых зависит жизнь людей. Физика установила, что невозможно предсказать, когда произойдет распад ядра радиоактивного атома, например изотопа уран-235. Атом может распасться через секунду или через тысячу лет. Но в массе атомов (например, находящихся в стержнях реактора АЭС) точно можно измерить среднюю скорость распада (обычно используют показатель «время полураспада» - время, за которое распадается половина атомов). Вводя вещества-замедлители образующихся при распаде атомов урана частиц, или убирая их, можно управлять скоростью цепной реакции в урановых стержнях, регулировать мощность реактора, вводить ее в безопасные и экономически выгодные границы.

Если средняя величина обобщает качественно однородные значения признака, то она является типической характеристикой признака в данной совокупности. Так, можно говорить об измерении типичного роста русских девушек рождения 1973 г. по достижении ими 20-летнего возраста. Типичной характеристикой будет средняя величина надоя молока от коров черно-пестрой породы на первом году лактации при норме кормления 12,5 кормовой единицы в сутки. Для лиц с достаточно однородным уровнем дохода, например рабочих машиностроительной отрасли, пенсионеров по старости (исключая имеющих льготы), можно определить типичные доли расходов на покупку предметов питания в их бюджете.

Однако неправильно сводить роль средних величин только к характеристике типичных значений признаков в однородных по данному признаку совокупностях. На практике значительно чаще современная статистика использует средние величины, обобщающие явно неоднородные явления, как, например, урожайность всех зерновых культур по территории всей России, включая кукурузу, дающую по 50-60 ц/га и более, и гречиху, дающую 6-10 ц/га, и плодородные черноземы Кубани, и скудные почвы Архангельской области. Или рассмотрим такую среднюю, как среднее потребление мяса на душу населения: ведь среди этого населения и дети до одного года, вовсе не потребляющие мяса, и вегетарианцы, и северяне, и южане, шахтеры, спортсмены и пенсионеры. Еще более ясна нетипичность такого среднего показателя, как произведенный национальный доход в среднем на душу населения.

Средняя величина национального дохода на душу, средняя урожайность зерновых по всей стране, среднее потребление разных продуктов питания — это характеристики государства как единой народнохозяйственной системы, это так называемые системные средние.

Системные средние могут характеризовать как пространственные или объектные системы, существующие одномоментно (государство, отрасль, регион, планета Земля и т.п.), так и динамические системы, протяженные во времени (год, десятилетие, сезон и т.п.). Примером системной средней, характеризующей период времени, может служить средняя температура воздуха в Санкт-Петербурге за 1996 г., равная +5,19°С. Эта средняя величина обобщает и летние высокие температуры +20, +25°, и зимние морозы, осень и весну, дни и ночи.

С другой стороны, средняя температура воздуха за отдельный год не является типической характеристикой климата Санкт-Петербурга, потому что в разные годы средняя температура года значительно колеблется, например за последние 30 лет от +2,90° в 1976 г. до +7,44° в 1989 г. Типической характеристикой климата будет многолетняя средняя годовая температура за десятки лет, например за 1967-1996 гг. она составила +5,05°.

Итак, типическая средняя может обобщать системные средние для однородной совокупности, или системная средняя может обобщать типические средние для единой, хотя и неоднородной, системы. При этом даже типическая средняя не является раз и навсегда данной, неизменной характеристикой.

Так, многолетняя средняя температура в Санкт-Петербурге в первые десятилетия и столетие существования города была значительно ниже; она возрастает медленно, но с ускорением за последнее столетие вследствие как роста самого города и энергопотребления в нем, что повышает температуру воздуха, так и начавшегося и ускоряющегося общего потепления на Земле. Поэтому «типичность» любой средней величины - понятие относительное, ограниченное как в пространстве, так и во времени.

5.2. Средняя арифметическая величина

Понятие средней арифметической

Виды средних величин различаются прежде всего тем, какое свойство, какой параметр исходной варьирующей массы индивидуальных значений признака должен быть сохранен неизменным.

Средней арифметической величиной называется такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным.

Иначе можно сказать, что средняя арифметическая величина -среднее слагаемое. При ее вычислении общий объем признака мысленно распределяется поровну между всеми единицами совокупности. Например, средняя заработная плата или средний доход работников предприятия - это такая сумма денег, которая приходилась бы на каждого работника, если бы весь фонд оплаты труда (или все доходы, направленные на личное потребление) был распределен между работниками поровну.

Исходя из определения, формула средней арифметической величины имеет вид:

Средняя арифметическая

,                                    (5.1)

где  х̅ - средняя величина;

       п – численность совокупности.

По формуле (5.1) вычисляются средние величины первичных (объемных) признаков, если известны индивидуальные значения признака. Если изучаемая совокупность велика, исходная информация чаще представляет собой ряд распределения или группировку, как, например, табл. 5.1.

Таблица 5.1

Распределение футбольных матчей высшей лиги России по числу забитых за матч обеими командами мячей в 1996 г.

Среднее число мячей, забитых за одну игру, должно представлять собой результат равномерного распределения общего числа забитых мячей по всем 306 матчам розыгрыша первенства. Общее число забитых мячей, согласно исходной информации табл. 5.1, можно получить как сумму произведений значений признака в каждой группе х_i, на число игр с таким количеством забитых мячей f_i (частоты). Получим формулу (5.2)

 ,

где п — число групп.

Такую форму средней арифметической величины называют взвешенной арифметической средней в отличие от простой средней, рассчитанной по формуле (5.1). В качестве весов выступают здесь числа единиц совокупности в разных группах. Название «вес» выражает тот факт, что разные значения признака имеют неодинаковую «важность» при расчете средней величины. «Важнее», весомее число забитых мячей, которое встречалось чаще: 1, 2, 3 мяча, а такие значения, как 7 или 9 забитых мячей, как бы ни радовались таким результативным матчам болельщики, при расчете средней не играют большой роли: их «вес» мал.

Имеем: х̅ = 802 : 306 = 2,62 мяча за игру.

Как видим, средняя арифметическая величина может быть дробным числом, если даже индивидуальные значения признака могут принимать только целые значения (дискретный признак). Ничего «предосудительного» для метода средних в этом не заключено; из сущности средней не вытекает, что она обязана быть реальным значением признака, которое могло бы встретиться у какой-либо единицы совокупности.

Виды средней арифметической

Если при группировке значения осредняемого признака заданы интервалами, то при расчете средней арифметической величины в качестве значения признака в группах принимают середины этих интервалов, т.е. исходят из гипотезы о равномерном распределении единиц совокупности по интервалу значений признака. Для открытых интервалов в первой и последней группе, если таковые есть, значения признака надо определить экспертным путем исходя из сущности, свойств признака и совокупности. Например, по табл. 5.2 можно минимальный возраст рабочих считать 17 лет. Тогда первый интервал будет от 17 до 20 лет, а максимальный возраст - 65 лет, тогда последний интервал - 50-65 лет.

 Таблица 5.2

Распределение рабочих предприятия по возрасту

Средний возраст рабочих, рассчитанный по формуле (5.2) с заменой точных значений признака в группах серединами интервалов, составил:

что и записано в итоговую строку по графе 3 табл. 5.2. Напомним, итог объемного показателя — это сумма, итогов по графе относительных показателей или средних групповых величин — средняя. Числитель дроби - это общая сумма человеко-лет, прожитых рабочими предприятия; разделив ее на число работников, получаем возраст в годах, так что логика показателя средней величины соблюдена.

Перейдем к рассмотрению средних вторичных (относительных) признаков. Сумма таких показателей сама по себе реальной величиной какого-либо признака в совокупности не является. Однако общее определение арифметической средней сохраняет силу и в этом случае. При вычислении таких средних величин необходимо, чтобы сохранялась сумма величины объемного признака, который является числителем при построении осредняемого относительного показателя. Например, при вычислении средней величины урожайности какой-либо сельскохозяйственной культуры (по формуле (5.2)) необходимо, чтобы общий объем валового сбора этой культуры остался неизменным при замене индивидуальных величин урожайности средней величиной. Нельзя менять реальную величину объемного признака - она является базой расчета средней. Чтобы выполнить указанное условие, в качестве весов при расчете средней величины относительного показателя необходимо принять значения того признака, который является знаменателем при определении относительного показателя. Так, при вычислении средней урожайности по совокупности хозяйств весами должны служить размеры площади данной культуры.

Рассмотрим пример расчета средней доли предметов народного потребления в общем выпуске промышленной продукции по совокупности предприятий (табл. 5.3). В этом случае весом должен являться общий объем всей продукции предприятия.

Тогда средняя доля предметов народного потребления в продукции четырех предприятий равна: х = (615,5: 2047) • 100% = 30,07%. Средняя доля ближе к долям у тех предприятий, которые имеют большой объем всей продукции (предприятия № 2 и 3). Числитель средней величины  - это объем выпуска предметов потребления всеми предприятиями - величина, которая должна сохраняться неизменной при замене разных четырех долей на среднюю долю. Расчет по данным табл. 5.3 проведен на основе известных индивидуальных значений осредняемого признака и весов.

Таблица 5.3

Объем и структура промышленной продукции

Однако исходная информация может иметь другую форму: индивидуальные значения осредняемого признака могут быть неизвестны, зато известны индивидуальные или суммарные значения объемных признаков как числителя, так и знаменателя относительной величины. Например, известно, что в акционерном сельхозпредприя-тии было посажено 145 га картофеля и собрано с них 2595,5 т продукции. При этом совершенно неизвестно, сколько было собрано с каждого гектара из 145 га в отдельности, хотя на самом деле, конечно, индивидуальные величины продукции, полученные на каждом гектаре, существовали объективно. Однако никакой потребности в их раздельном учете нет; учет продукции ведется по бригадам, по отдельным полям севооборота, но не по каждому гектару. Среднюю урожайность картофеля получают попросту делением массы собранной продукции на площадь посадки, т. е. как относительную величину, характеризующую хозяйство в целом:

По отношению к предприятию это относительный показатель. Но существуют и сами значения урожайности с каждого из 145 га, хотя и неучтенные. По отношению к ним 17,9 т с 1 га - это средняя величина. Такую форму определения средней арифметической величины, при которой остаются неизвестными индивидуальные значения осредняемого признака, следует называть Неявной формой средней. Формула такой средней имеет вид:

Свойства арифметической средней величины

Знание некоторых математических свойств средней арифметической полезно как при ее использовании, так и при ее расчете.

1. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна нулю.

Доказательство:

Примечание. Для взвешенной средней сумма взвешенных отклонений равна нулю.

                       Попробуйте доказать это самостоятельно.

2. Если каждое индивидуальное значение признака умножить или разделить на постоянное число, то и средняя увеличится или уменьшится во столько же раз.

Доказательство:

Вследствие этого свойства индивидуальные значения признака можно сократить в с раз, произвести расчет средней и результат умножить на с.

3. Если к каждому индивидуальному значению признака прибавить или из каждого значения вычесть постоянное число, то средняя величина возрастет или уменьшится на это же число.

Доказательство:

Это свойство полезно использовать при расчете средней величи-ны из многозначных и слабоварьирующих значений признака, например роста группы лиц: х₁ = 179 см; х₂ = 183 см;  х₃= 171 см; х₄ = 180 см; х ₅= 169 см. Для вычисления среднего роста из каждого значения вычитаем 170 см и находим среднюю из остатков:

(9+ 13 + 1 + 10 - 1) : 5 = 6,4. Средний рост = 6,4 + 170 = 176,4 см.

4. Если веса средней взвешенной умножить или разделить на постоянное число, средняя величина не изменится.

Доказательство:

Используя это свойство, при расчетах следует сокращать веса на их общий сомножитель либо выражать многозначные числа весов в более крупных единицах измерения.

В табл. 5.4 приведен пример комплексного использования свойств средней арифметической для облегчения расчетов.

        Таблица 5.4

Расчет средней продуктивности коров на ферме

Средний надой молока на корову находим так:

5. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем от любого другого числа.

Доказательство. Составим сумму квадратов отклонений от переменной а:

Чтобы найти экстремум этой функции, нужно ее производную по а приравнять нулю:

Отсюда имеем:

Таким образом, экстремум суммы квадратов отклонений достигается при а = х. Так как логически ясно, что максимума функция не может иметь, этот экстремум является минимумом.

Применение простой и взвешенной средней

Простая и взвешенная средние величины различаются не только по величине (не всегда), по способу вычисления, но и по своей роли в решении различных задач статистического анализа. Рассмотрим, например, среднюю величину урожайности картофеля в группе хозяйств. Если эта средняя при решении поставленной задачи входит в систему показателей площади посадки, валового сбора, себестоимости, суммы затрат и других характеристик производства, то следует применять взвешенную среднюю, так как произведение невзвешенной средней на общую сумму площадей не даст суммы валового сбора.

Если же нас интересуют такие задачи, как измерение вариации урожайности между хозяйствами или связь урожайности с дозой органических удобрений, то следует применять простую среднюю величину урожайности, полностью абстрагируясь от размеров площадей посадки. Иначе на полученный результат повлияют различия площадей, совершенно не касающиеся этого признака. Точно так же, если необходимо изучить колебания урожайности за ряд лет и выявить их связь с температурой июня и суммой осадков за лето, нужно применять простую среднюю урожайность за ряд лет, абстрагируясь от различия размеров площадей в разные годы.

Чтобы правильно применять средние величины, следует знать, от каких причин зависит различие между простой и взвешенной средними. Рассмотрим этот вопрос на примере арифметической средней. Пусть x̅ - простая средняя, х̅_z - взвешенная средняя, в которой весами выступают значения признака z, п - число единиц совокупности. Отклонения индивидуальных значений признака х_i от простой средней х̅ обозначим ∆_xi = х_i - х̅. Отклонения признака веса ∆_zi = z_i -z̅. Тогда индивидуальные значения признаков х и z можно выразить через их средние и отклонения: х_i = х̅ + ∆_xi; z_i = z̅ + ∆_zi, а взвешенную среднюю х, представить в виде

Перемножим величины в скобках и просуммируем почленно, имея в виду, что . Средние величины можно вынести за знак суммирования, как константы. Получим:

Так как суммы отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической согласно первому ее свойству равны нулю, то второе и третье слагаемые числителя также равны нулю.

Остается:

Числитель второго слагаемого в формуле (5.4) - это числитель коэффициента корреляции между осредняемым и весовым признаками (см. формулы 8.11 и 8.14). Подставив выражение коэффициента корреляции в (5.4), получим:

Итак, средняя арифметическая взвешенная равна простой средней плюс произведение среднего квадратического отклонения ос-редняемого признака на коэффициент вариации весового признака и на коэффициент корреляции между этими признаками. Если обе части равенства (5.5) разделить на простую среднюю х, получим:

(О среднем квадратическом отклонении и коэффициенте вариации см. ниже в этой главе.)

Из (5.5) следует, что взвешенная средняя равна простой в трех случаях:

• а) если не варьирует изучаемый признак, σ_х = 0 - тривиальная ситуация, когда и сами средние не нужны;

• б) при условии, что не варьирует признак-вес v_z = 0;

• в) в случаях, когда между осредняемым и признаком-весом нет линейной корреляции, r_xz = 0.

Взвешенная средняя больше простой, если эта корреляция прямая. Взвешенная средняя меньше простой средней, если эта корреляция обратная.

5.3. Другие формы срдних величин

Средняя квадратическая величина

Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин, то средняя будет являться квадратической средней величиной (х^). Ее формула такова:

Например, имеются три участка земельной площади со сторонами квадрата: х₁ = 100 м; х₂ = 200 м; х₃ =300 м. Заменяя разные значения длины сторон на среднюю, мы, очевидно, должны исходить из сохранения общей площади всех участков. Арифметическая средняя величина (100+ 200 + 300) : 3 =200 м не удовлетворяет этому условию, так как общая площадь трех участков со стороной 200 м была бы равна: 3∙(200 м)² = 120 000 м². В то же время площадь исходных трех участков равна: (100 м)² + (200 м) + (300 м)² = 140 000 м . Правильный ответ дает квадратическая средняя:

Во второй части главы будет показано, что главной сферой применения квадратической средней в силу пятого свойства средней арифметической величины является измерение вариации признака в совокупности.

Аналогично, если по условиям задачи необходимо сохранить неизменной сумму кубов индивидуальных значений признака при их замене на среднюю величину, мы приходим к средней кубической, имеющей вид:

Средняя геометрическая величина

Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменным произведение индивидуальных величин, то следует применить геометрическую среднюю величину. Ее формула такова:

Основное применение геометрическая средняя находит при определении средних темпов роста, о чем сказано в главе 9. Пусть, например, в результате инфляции за первый год цена товара возросла в 2 раза к предыдущему году, а за второй год еще в 3 раза к уровню предыдущего года. Ясно, что за два года цена выросла в 6 раз. Каков средний темп роста цены за год? Арифметическая средняя здесь непригодна, ибо если за год цены возросли бы в  раза, то за два года цена возросла бы в 2,5×2,5 = 6, 25 раза, а не в 6 раз. Геометрическая средняя дает правильный ответ:  раза.

Геометрическая средняя величина дает наиболее правильный по содержанию результат осреднения, если задача состоит в нахождении такого значения признака, который качественно был бы равно удален как от максимального, так и от минимального значения признака. Например, если максимальный размер выигрыша в лотерее составляет миллион рублей, а минимальный - сто рублей, то какую величину выигрыша можно считать средней между миллионом и сотней? Арифметическая средняя явно непригодна, она составляет 500 050 руб., а это, как и миллион, крупный, никак не средний выигрыш; он качественно однороден с максимальным и резко отличен от минимального. Не дают верного ответа ни квадратическая средняя (707 107 руб.), ни кубическая (793 699 руб.), ни рассматриваемая далее гармоническая средняя (199,98 руб.), слишком близкая к минимальному значению. Только геометрическая средняя дает верный с точки зрения экономики и логики ответ:  руб. Десять тысяч — не миллион, и не сотня! Это, действительно, нечто среднее между ними.

Средняя гармоническая величина

Если по условиям задачи необходимо, чтобы неизменной оставалась при осреднении сумма величин, обратных индивидуальным значениям признака, то средняя величина является гармонической средней.

Формула гармонической средней величины такова:

Например, автомобиль с грузом от предприятия до склада ехал со скоростью 40 км/ч, а обратно порожняком - со скоростью 60 км/ч.

Какова средняя скорость автомобиля за обе поездки? Пусть расстояние перевозки составляло s км. Никакой роли при расчете средней скорости величина s не играет. При замене индивидуальных значений скорости х₁ = 60 и х₂ = 40 на среднюю величину необходимо, чтобы неизменной величиной осталось время, затраченное на обе поездки, иначе средняя скорость может оказаться любой — от скорости чепепахи ло скорости света.

Арифметическая средняя 50 км в час неверна, так как приводит к другому времени движения, чем на самом деле. Если расстояние равно 96 км, то реальное время движения составит:

То же время дает гармоническая средняя:

Понятие степенной средней.

Соотношение между формами средних величин

Все рассмотренные выше виды средних величин принадлежат к общему типу степенных средних. Различаются они лишь показателем. Степенная средняя степени k есть корень k-й степени из частного от деления суммы индивидуальных значений признака в k-й степени на число индивидуальных значений:

При k = 1 получаем арифметическую среднюю, при k -2 - квад-рагическую, при k = 3 - кубическую, при k = 0 - геометрическую, при k = -1 — гармоническую среднюю. Чем выше показатель степени k, тем больше значение средней величины (если индивидуальные значения признака варьируют). Если все исходные значения признака равны, то и все средние равны этой константе. Итак, имеем следующее соотношение, которое называется правилом мажорантности средних:

Пользуясь этим правилом, статистика может в зависимости от настроения и желания ее «знатока» либо «утопить», либо «выручить» студента, получившего на сессии оценки 2 и 5. Каков его средний балл?

Если судить по средней арифметической, то средний балл равен 3,5. Но если декан желает «утопить» несчастного и вычислит среднюю гармоническую

то студент остается в среднем двоечником, не дотянувшим до тройки. Однако студенческий комитет может возразить декану и представить среднюю кубическую величину:

Студент уже выглядит «хорошистом» и даже претендует на стипендию! И только в том случае, если лентяй провалил оба экзамена, статистика помочь не в состоянии: увы, все средние из двух двоек равны все той же двойке!

5.4. Средняя величина как выражение закономерности

После того как мы познакомились с различными видами и формами средних величин, включая и неявную их форму, можно перейти к понятию о средних. В широком понимании термина средней величиной является всякий обобщающий показатель, характеризующий обобщенное значение признака, связи признаков, их динамики и структуры в совокупности массовых явлений.

Так, средними в широком смысле слова являются такие показатели, как доля мужчин в общем числе жителей страны (ведь эта доля разная в разных регионах), плотность населения, коэффициент смертности, ожидаемая продолжительность жизни родившихся в данном году и др. Рассматриваемые далее в этой главе показатели вариации признака в совокупности, а также в главе 8 показатели корреляционной связи тоже средние в широком смысле слова, так как измеряют среднее различие между значениями одного признака у разных единиц совокупности или среднюю связь вариации одного признака с вариацией другого.

В такой же степени средними являются и показатели темпов роста продукции промышленности или национального дохода страны, обобщающие темпы разных отраслей и регионов; средними являются меры .колеблемости урожайности за ряд лет (гл. 9), обобщающие влияние на урожайность разных лет метеорологических и экономических условий производства.

Понятие средней в широком смысле слова сближается с такой философской категорией, как закон («закон есть общее в явлениях»), закономерность. Это далеко не случайное родство. Рассмотрим , сущность процесса осреднения на примере арифметической средней согласно формуле (5.1). Среднюю считаем типической, определенной по однородной совокупности. Однородность индивидуальных значений признака — это проявление их общих свойств, обусловленных основными условиями и закономерностями массового процесса, порождающего данную совокупность. Однако кроме общих условий, кроме закономерности на каждую единицу совокупности влияют индивидуальные, особенные условия, случайные события, не связанные причинно с общей закономерностью. Поэтому можно индивидуальные значения признака х, представить как состоящие из элемента, обусловленного общей закономерностью для всех единиц совокупности (обозначим этот элемент с), так и элемента ∆_i, индивидуального для каждой единицы совокупности. Итак, х_i = с + ∆_i, где ∆_i может быть как положительной, так и отрицательной величиной, как малой, так и большой величиной в сравнении е c.

Теперь вычислим среднее значение признака для совокупности из п единиц:

Итак, средняя величина признака слагается из элемента, выражающего закономерность, общую для всей совокупности, и из средней величины элементов, отражающих индивидуальные условия отдельных единиц этой совокупности. Элементы Д, могут иметь положительные и отрицательные, большие и малые значения. При осреднении они согласно закону больших чисел взаимопогащаются в зависимости от объема совокупности: тем в большей мере, чем больше объем совокупности п. Об этом говорит формулировка закона больших чисел, данная великим русским математиком П. Л. Чебышевым (1821-1894). Чем больше объем однородной совокупности, тем полнее взаимопогашение случайных (по отношению к совокупности в целом и ее законам) элементов признака х; полнее и надежнее, с большей вероятностью среднее значение признака измеряет действие общих для совокупности закономерностей.

Однако случайная вариация индивидуальных величин признаков - это не только некоторая помеха, туман, «шум» в информационном смысле, затрудняющий познание закономерности. Вариация - неотъемлемая, необходимая черта, свойство массовых явлений, имеющее громадное самостоятельное значение в развитии природы и общества.

Создатель учения о средних величинах бельгийский статистик А, Кегле по этому поводу писал следующее: «В мире существует общий закон, предназначенный как бы для того, чтобы разливать жизнь во Вселенной; в силу этого закона все живущее подлежит бесконечному разнообразию... Каждый предмет подвержен флюктуациям»[4].

В следующих разделах данной главы переходим к методам статистического изучения этого «общего закона Вселенной» - вариации массовых явлений и их признаков.

5.5. Вариация массовых явлений

Вариацией значений какого-либо признака в совокупности называется различие его значений у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени.

В отличие от вариации различия значений признака у одного и того же объекта, у одной и той же единицы совокупности в разные моменты или периоды времени следует называть изменениями во времени и колебаниями. Методы их измерения и изучения отличаются принципиально от методов измерения вариации ( см. гл. 9).

Причиной вариации являются разные условия существования разных единиц совокупности. Даже однояйцовые близнецы в процессе своего развития приобретают различия в росте, весе, не говоря уже о таких признаках, как специальность, образование, заработная плата (доход), число детей и т.д. Еще больше причин влияют на различия промышленных предприятий, магазинов и т. д.

Вариация присуща всем без исключения явлениям природы и общества, кроме законодательно закрепленных нормативных значений отдельных социальных признаков: не варьирует признак «число председателей правления колхоза» — все они имеют по одному председателю. Не варьирующие признаки не представляют интереса для статистики; предметом изучения статистики является вариация. Большинство методов статистики - это либо методы измерения вариации, либо методы абстрагирования от нее.

Вариация, несомненно, необходимое условие существования и развития массовых явлений. Например, вариация геномов ( набора генов ) родительских организмов растений и животных обеспечивает жизнеспособность потомства. Близкородственный брак, т.е. слишком малая вариация геномов родителей, ведет к неполноценному потомству. Перекрестное опыление для многих растений - обязательное условие плодоношения. Гибридизация, т.е. получение потомства от неродственных, со значительной вариацией свойств сортов сельскохозяйственных растений и пород животных — важный прием повышения урожайности и продуктивности скота.

В то же время известно, что нельзя получить потомство от организмов со слишком разными свойствами — разных видов, родов и семейств, например от кошки и собаки. Чрезмерная вариация генотипов препятствует развитию. И в промышленном производстве, особенно массовом, вариация размеров, свойств деталей, из которых собирается станок, автомашина, телевизор, должна быть введена в жесткие рамки «допусков», т. е. пренебрежимо малых величин, чтобы сборка была возможной и не страдало качество собранного агрегата.

Итак, в жизни общества, как и в природе, каждой массовой совокупности, массовому процессу присуща некоторая специфическая мера вариации ее элементов, при которой данный процесс протекает оптимально.

Чтобы руководитель предприятия, менеджер, научный работник могли управлять вариацией и изучать ее, статистикой разработаны специальные методы исследования вариации, система показателей, с помощью которой вариация измеряется, характеризуются ее свойства.