Контрольные, курсовые, рефераты, тесты – готовые и на заказ!
 Гарантия качества, доступные цены, индивидуальный подход
 Работы выполняют высококвалифицированные специалисты
Войти      Регистрация
 тел. 8-912-388-82-05
  std72@mail.ru
> 20 лет успешной работы
> 50000 выполненных заказов
Отзывы/вопросы

Форма входа



Главная » Учебно-методические материалы » ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ » Математические методы. Попова Н.В.

Тема 2.9. Модели нелинейного программирования
22.12.2011, 14:26

Задачами нелинейного программирования называются задачи математического программирования, в которых нелинейны и (или) целевая функция, и (или) ограничения в виде неравенств или равенств.

Задачи нелинейного программирования можно классифицировать в соответствии с видом функции F(x), функциями ограничений и размерностью вектора х (вектора решений).

В самом общем виде классификация представлена в таблице.

Вид F(x)
Вид функции ограничений
Число переменных
Название задачи
Нелинейная
Отсутствуют
1
Безусловная однопараметрическая оптимизация
Нелинейная
Отсутствуют
Более 1
Безусловная многопараметрическая оптимизация
Нелинейная или линейная
Нелинейные или линейные
Более 1
Условная нелинейная оптимизация

Общих способов решения, аналогичных симплекс-методу линейного программирования, для нелинейного программирования не существует. 
В каждом конкретном случае способ выбирается в зависимости от вида функции F(x)
Задачи нелинейного программирования на практике возникают довольно часто, когда, например, затраты растут не пропорционально количеству закупленных или произведённых товаров.

Многие задачи нелинейного программирования могут быть приближены к задачам линейного программирования, и найдено близкое к оптимальному решению. Встречаются задачи квадратичного программирования, когда функция есть F(x) полином 2-ой степени относительно переменных, а ограничения линейны. В ряде случаев может быть применён метод штрафных функций, сводящей задачу поиска экстремума при наличии ограничений к аналогичной задаче при отсутствии ограничений, которая обычно решается проще.

Но в целом задачи нелинейного программирования относятся к трудным вычислительным задачам. При их решении часто приходится прибегать к приближенным методам оптимизации. Мощным средством для решения задач нелинейного программирования являются численные методы. Они позволяют найти решение задачи с заданной степенью точности.

Общая формулировка нелинейных задач:

Найти переменные х, х2 , …, хn , удовлетворяющие системе уравнений

Ψ ( х, х2 , …, хn ) = b, i = 1, 2, …, m
(2.24)

и обращающие в максимум ( минимум ) целевую функцию

Z = f ( х, х2 , …, хn )
(2.25)

Примером типичной и простой нелинейной задачи является следующая: 
Данное предприятие для производства какого-то продукта расходует два средства в количестве хи х2 соответственно. Это факторы производства, например, машины и труд, два различных сырья и т.п., а величины хи х2 – затраты факторов производства. Факторы производства впредь будем считать взаимозаменяемыми. Если это «труд» и «машины», то можно применять такие методы производства, при которых величина затрат машин в сопоставлении с величиной затрат труда оказывается больше или меньше (производство более или менее трудоемкое).

Объем производства (выраженный в натуральных или стоимостных единицах) является функцией затрат производства Z = f ( х, х2 ). Эта зависимость называется производственной функцией. Издержки зависят от расхода обоих факторов (хи х2) и от цен этих факторов (cи c2). Совокупные издержки выражаются формулой b = cх+ c2 х2. Требуется при данных совокупных издержках определить такое количество факторов производства, которое максимизирует объем продукции Z.

Математическая модель этой задачи имеет вид: определить такие переменные хи х2, удовлетворяющие условиям

cх+ c2 х2 = b
(2.26)
х1 ≥ 0, х2 ≥ 0,
(2.27)

при которых функция

Z = f (х1, х2 )
(2.28)

достигает максимума. Как правило, функция (2.28) может иметь произвольный нелинейный вид.

Использую классические методы оптимизации, следует четко представлять себе различие между локальным экстремумом функции, глобальным экстремумом и условным экстремумом. Понятие условного экстремума вводится для случая, когда число переменных n не меньше 2 (n ≥ 2). Будем полагать, что функция Z = f ( х, х2 , …, хn ) = f (X) дважды дифференцируема в точке Х* = (х*, х2 *, …, хn* )(Х* € D(f)) и в некоторой ее окрестности.

Если для всех точек Х этой окрестности f (X*) ≥ f (X) или f (X*) ≤ f (X), то говорят, что функция f (X) имеет экстремум в X* (соответственно максимум или минимум).

Точка X* , в которой все частные производные функции Z = f (Х) равны 0, называется стационарной точкой.

Необходимое условие экстремума. 
Если в точке X* функция Z = f (Х) имеет экстремум, то частные производные функции в этой точке равны 0:

f 'x1 (X*) = 0, i = 1, 2, ..., n.

Следовательно, точки экстремума функции Z = f (Х) удовлетворяют системе уравнений:

(2.29)

Для получения достаточных условий следует определить в стационарной точке знак дифференциала второго порядка. Дифференциала второго порядка обозначается d2f (х, х2 , …, х) f 'x1 (X) найти частную производную по переменной хj , то получим частную производную второго порядка по переменным ххj , которая обозначается f ''xi, xj (X). В этом случае

Достаточные условия экстремума.
Двух переменных:

  • если Δ > 0 и а11 < 0 (а22 < 0), то в точке Х 0 функция имеет максимум: 
    если Δ > 0 и а11 > 0 (а22 > 0),то в точке Х 0 – минимум (в этих случаях Х 0 = Х*);
  • если Δ < 0, то экстремума нет;
  • если Δ = 0, то вопрос об экстремуме остается открытым.
http://matmetod-popova.narod.ru/




БАНКОВСКОЕ ДЕЛО
БУХГАЛТЕРСКИЙ, УПР. И ФИН. УЧЕТ
БЮДЖЕТ И БЮДЖЕТНАЯ СИСТЕМА РФ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ
ГУМАНИТАРНЫЕ НАУКИ
ДОКУМЕНТОВЕДЕНИЕ И ДЕЛОПРОИЗВОДСТВО
ИНВЕСТИЦИИ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В ЭКОНОМИКЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
МАРКЕТИНГ
МЕНЕДЖМЕНТ
МЕТ. РЕКОМЕНДАЦИИ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МИРОВАЯ ЭКОНОМИКА И МЭО
НАЛОГИ И НАЛОГООБЛОЖЕНИЕ
ПЛАНИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
ПРАВОВЕДЕНИЕ
РАЗРАБОТКА УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ
СТАТИСТИКА
УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ
УЧЕБНИКИ, ЛЕКЦИИ, ШПАРГАЛКИ (СКАЧАТЬ)
ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ
ФИНАНСЫ, ДЕНЕЖНОЕ ОБРАЩЕНИЕ И КРЕДИТ
ЦЕНЫ И ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ
ЭКОНОМИКА
ЭКОНОМИКА, ОРГ-ЦИЯ И УПР-НИЕ ПРЕДПРИЯТИЕМ
ЭКОНОМИКА И СОЦИОЛОГИЯ ТРУДА
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ (МИКРО-, МАКРО)
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ЭКОНОМЕТРИКА
Оформить заказ
Ваше имя *
Ваш e-mail *
Контактный телефон
Город *
Учебное заведение *
Предмет *
Тип работы *
Тема работы/вариант *
Кол-во страниц
Срок выполнения *
Прикрепить файл
Дополнительные условия


Статистика
Онлайн всего: 8
Гостей: 8
Пользователей: 0