Контрольные, курсовые, рефераты, тесты – готовые и на заказ!
 Гарантия качества, доступные цены, индивидуальный подход
 Работы выполняют высококвалифицированные специалисты
Войти      Регистрация
 тел. 8-912-388-82-05
  std72@mail.ru
> 20 лет успешной работы
> 50000 выполненных заказов
Отзывы/вопросы

Форма входа



Главная » Учебно-методические материалы » ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ » Математические методы. Попова Н.В.

Тема 3.4. Геометрическая интерпретация игры 2×2
22.12.2011, 14:31

Решение игры 2×2 допускает наглядную геометрическую интерпретацию. Пусть игра задана платежной матрицей Р = (aij), i, j = 1, 2. По оси абсцисс (рис. 3.1) отложим единичный отрезок AA2 точка A1(х=0) изображает стратегию A1, а все промежуточные точки этого отрезка — смешанные стратегии SA первого игрока, причем расстояние от SA до правого конца отрезка — это вероятность p1 стратегии A1, расстояние до левого конца — вероятность p2 стратегии A2. На перпендикулярных осях II и IIII откладываем выигрыши при стратегиях A1 и A2 соответственно. Если 2-й игрок примет стратегию B1, то она дает выигрыши a11 и a21 на осях II и IIII, соответствующие стратегиям A1 и A2. Обозначим эти точки на осях I—I и II—II буквой B1. Средний выигрыш v1, соответствующий смешанной стратегии SA, определяется по формуле математического ожидания v1 = a11 p1 + a21 p2   и равен ординате точки M1, которая лежит на отрезке BB1 и имеет абсциссу SA (рис. 3.1).

Рис. 3.1
Рис. 3.2

Аналогично строим отрезок B2B2, соответствующий применению вторым игроком стратегии B2 (Рис. 3.2). При этом средний выигрыш v2 = a12 p1 + a22 p— ордината точки M2
В соответствии с принципом минимакса оптимальная стратегия S*A такова, что минимальный выигрыш игрока А (при наихудшем поведении игрока В) обращается в максимум. Ординаты точек, лежащих на ломаной (рис. 3.3 в примере 3.4.1), показывают минимальный выигрыш игрока А при использовании им любой смешанной стратегии (на участке BN — против стратегии B, на участке NB2 — против стратегии B2). Оптимальную стратегию S*A = ( p* p*2 ) определяет точка N, в которой минимальный выигрыш достигает максимума; ее ордината равна цене игры v. На рис. 3.3 (пример 3.4.1) обозначены также верхняя и нижняя цены игры α и β. Применим геометрический метод для решения следующего примера.

Пример 3.4.1.

Рис. 3.6
Рис. 3.7

Из решения примера 3.4.1 следует, что геометрически можно определять оптимальную стратегию как игрока А, так и игрока В, в обоих случаях используется принцип минимакса, но во втором случае строится не нижняя, а верхняя граница выигрыша и на ней определяется не максимум, а минимум.

Если платежная матрица содержит отрицательные числа, то для графического решения задачи лучше перейти к новой матрице с неотрицательными элементами; для этого к элементам исходной матрицы достаточно добавить соответствующее положительное число. Решение игры при этом не изменится, а цена игры увеличится на это число. В примере 3.4.1 платежная матрица не имела седловой точки (α ≠β ).

При наличии седловой точки графическое решение дают варианты, изображенные на рис. 3.6 и 3.7. На рис. 3.6 наибольшей ординатой на ломаной B1 NB2 обладает точка B2, поэтому оптимальной является чистая стратегия A2 для игрока А (B2 — для игрока В), т.е. оптимальное решение: S*A = (0;1), S*B = (0;1). Игра имеет седловую точку a22 = v.

Чистая стратегия B2 (рис. 3.7) не выгодна для игрока В, поскольку при любой стратегии игрока А она дает последнему больший выигрыш, чем чистая стратегия B1. На основании принципа минимакса выделим прямую B1B1 и на ней точку B1 с наибольшей ординатой на оси I—I. Чистая стратегия A2 является оптимальной для игрока А, а чистая стратегия B1 — для игрока В. Оптимальное решение: S*A = (0;1), S*B = (1;0), цена игры v = a21 = α = β , т.е. имеется седловая точка.

Графический метод можно применять при решении игры 2 × n и m × 2.


http://matmetod-popova.narod.ru/




БАНКОВСКОЕ ДЕЛО
БУХГАЛТЕРСКИЙ, УПР. И ФИН. УЧЕТ
БЮДЖЕТ И БЮДЖЕТНАЯ СИСТЕМА РФ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ
ГУМАНИТАРНЫЕ НАУКИ
ДОКУМЕНТОВЕДЕНИЕ И ДЕЛОПРОИЗВОДСТВО
ИНВЕСТИЦИИ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В ЭКОНОМИКЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
МАРКЕТИНГ
МЕНЕДЖМЕНТ
МЕТ. РЕКОМЕНДАЦИИ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МИРОВАЯ ЭКОНОМИКА И МЭО
НАЛОГИ И НАЛОГООБЛОЖЕНИЕ
ПЛАНИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
ПРАВОВЕДЕНИЕ
РАЗРАБОТКА УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ
СТАТИСТИКА
УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ
УЧЕБНИКИ, ЛЕКЦИИ, ШПАРГАЛКИ (СКАЧАТЬ)
ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ
ФИНАНСЫ, ДЕНЕЖНОЕ ОБРАЩЕНИЕ И КРЕДИТ
ЦЕНЫ И ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ
ЭКОНОМИКА
ЭКОНОМИКА, ОРГ-ЦИЯ И УПР-НИЕ ПРЕДПРИЯТИЕМ
ЭКОНОМИКА И СОЦИОЛОГИЯ ТРУДА
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ (МИКРО-, МАКРО)
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ЭКОНОМЕТРИКА
Оформить заказ
Ваше имя *
Ваш e-mail *
Контактный телефон
Город *
Учебное заведение *
Предмет *
Тип работы *
Тема работы/вариант *
Кол-во страниц
Срок выполнения *
Прикрепить файл
Дополнительные условия


Статистика
Онлайн всего: 15
Гостей: 15
Пользователей: 0