Контрольные, курсовые, рефераты, тесты – готовые и на заказ!
 Гарантия качества, доступные цены, индивидуальный подход
 Работы выполняют высококвалифицированные специалисты
Войти      Регистрация
 тел. 8-912-388-82-05
  std72@mail.ru
> 20 лет успешной работы
> 50000 выполненных заказов
Отзывы/вопросы

Форма входа



Главная » Учебно-методические материалы » ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ » Математический анализ: справочное пособие. Романова О.А.

1. Элементы теории множеств
22.12.2011, 14:39

Понятие множества

Множество – совокупность некоторых объектов. Примерами множеств являются множества чисел, множества точек прямой, множество линий и др. Каждое отдельное множество задается правилом или законом, позволяющим судить, принадлежит объект данному множеству или нет.

Множества обозначаются прописными буквами латинского или готического алфавита: A, B, ...,M, K,... . Если множество A состоит из элементов a,b,c,..., это обозначается с помощью фигурных скобок: A={a,b,c,...,} . Если a есть элемент множества A , то это записывают следующим образом: О A. Если же a не является элементом множества A , то пишут a П A. Одним из важных множеств является множество N всех натуральных чисел N={1,2,3,...,} . Существует также специальное, так называемое пустое множество, которое не содержит ни одного элемента. Пустое множество обозначается символом Ж.

Условимся вводить определение, когда это будет удобно, посредством следующего символа : = (равенства по определению), двоеточие ставится со стороны определяемого объекта.

Определение 1 (определение равенства множеств).Множества А и B равны, если они состоят из одних и тех же элементов, то есть, если из x О A следует x О B и обратно, из xО B следует x О A.

Формально равенство двух множеств записывается следующим образом:

(А=В):= " x((О AЫ (О B)),
это означает, что для любого объекта x соотношения xО A и xОB равносильны.

Здесь " – квантор всеобщности (" x читается как "для каждогоx").

Определение 2 (определение подмножества). Множество Аявляется подмножеством множества В, если любое хпринадлежащее множеству А, принадлежит множеству В.

(М B) := " x ((xО AЮ (О B))
Если AМ B, но A B, то A – собственное подмножество множества В.

Пример 1. Множество {2,4,6,..., 2n,...} является собственным подмножеством множества натуральных чисел. Пустое множество является подмножеством любого множества.

Операции над множествами.

  1. Объединение.
    (рис. 1)

    C=A И B: = {x:x О A или x О B}


    Пример 2. Решить неравенство

    |2x+1| > 3.

    Из данного неравенства следует либо неравенство

    2x+1>3
    в случае, когда 2x+1і 0, тогда x>1, либо неравенство
    2x+1<-3,
    в случае, когда 2x+1<0, тогда x<-2.

    Множеством решений исходного неравенства являетсяобъединение найденных промежутков решения (-Ґ,-2)И(1,+Ґ).

    Пример 3. A = {1357; ...; 2n-1; ....} — нечетные числа

    B = {2468; ....; 2n; ...} — четные числа

    И B = {123; ...; n; ......} — натуральный ряд

  2. Пересечение.
    (рис. 2)

    C=A З B:= {x: x О A и x О B }


    Пример 4. A={2,4,...,2n,...}, B={3,6,9,...,3n,...}. Тогда C=AЗB={6,12,...,6n,...}.

  3. Вычитание.
    (рис. 3)

    A \ B: = {x:x О A и x П B}


  4. Дополнение.
    (рис.4)

    Пусть U — универсальное множество ( все остальные множества принадлежат U)

    A = CA: = {x:x О U и x П A} = U \ A


  5. Симметрическая разность.
    (рис. 5)

    D B:= (A \ BИ (B \ A) = (И B) \ (З B)


Свойства операций над множествами.

Из определений объединения и пересечения множеств следует, что операции пересечения и объединения обладают следующими свойствами:
  1. Коммутативность.

    И B=B И A
    З B=B З A

  2. Ассоциативность.

    (И BИ C=A И (И C)
    (З BЗ C= A З (З C)

  3. Дистрибутивность.

    (И BЗ C = (З CИ (З C)
    (З BИ C= (И CЗ (И C)

  4. И A=A, A З A=A
    И Ж = A, A З Ж= Ж

  5. Законы де Моргана (законы двойственности).

    1) A И B= A З B 
    2) A З B= A И B

    Доказательство данных свойств проводится на основе определения равенства двух множеств.

Заметим, что закон ассоциативности при комбинировании операций объединения и вычитания, вообще говоря, не имеет места.

Пример 5. A = {1234}
B = {3456}
A \ B= {12}
(A \ BИ B= {123456}  A
Но (A \ BИ B= A Ы B М A

Определение 3 (декартово произведение).

Декартово произведение двух множеств:

ґ Y: = {(x,y): x О X и y О Y}

Из определения декартова произведения следует, что, вообще говоря,

ґ Y  Y ґ X,
равенство будет, если X = Y, в этом случае вместо Xґ Xзаписывают X2.

Пример 6.
(рис. 6)

[a; bґ [c; d]


Пример 7. R ґ R= R2 — плоскость, где R–множество действительных точек на прямой.

ґ R ґ R= R3 — пространство

Функции и отображения.

Определение 4. Функцией f , действующей из множества X в множество (f: X ® Y) называется правило или закон, по которому каждому элементу О X ставится в соответствие один или несколько О Y. Если каждому x ставится в соответствие один y , то функция называется однозначной.

Определение 5. Образом множества М X при отображении
f:X ® Y называют множество

f(A): = {О Y: $ x О A и y = f(x)}

Пример 8. y = x2; A = [0,1]; f(A) = [0,1]

Определение 6. Множество

f-1 (B): = {О X:f(xО B}
тех элементов X, образы которых содержатся в B, называется прообразом множества B.

Определение 7. Бинарным отношением называется множество упорядоченных пар (x,y)

Если x связан с y отношением R, то это обозначают как xRy.

Определение 8. Отношение называется функциональным, если

(xRy1) и (xRy2)Ю (y1 = y2).

График функции f:X® Y - это подмножество Xґ Y

Г: = {(x,y)О Xґ Y, y = f(x) }.

Виды отображений.

Определение 9 (инъекция, сюръекция, биекция).

Отображение называется инъекцией, если для любых элементов x1, x2 О X, для которых f(x1) = f(x2) следует, что x1 = x2. (рис. 7)


Сюръекцией (или отображением "на" ) называется отображение, при котором f(X) = Y (рис. 8).


Биекция – это одновременно и сюръекция и инъекция (рис.9).


Пример 9.

  1. y = x2, R ® R+ (R+–множество действительных положительных чисел) – сюръекция, но не инъекция, так как разным x соответствуют одинаковые y.
  2. , R+ ® R+ – инъекция, но не сюръекция, так как 
    0Ј y<1 для любых xі 0.
  3. Отображение y = 4x+7 числовой оси (-Ґ,Ґ) на себя – биекция.

Если определены отображения f:X® Y и g:Y® Z, то можно задать композицию этих отображений: ° f :X® Z, значения которой определяются формулой (g° f)(x) = g(f(x)). (рис. 10)


Мощность множеств.

Как мы можем сравнить два конечных множества? Мы можем, например, сосчитать количество элементов в каждом из них и таким образом сравнить. Но можно поступить иначе, попытаться установить биекцию между элементами. Ясно, что биекцию между двумя конечными множествами можно установить только при условии что количество элементов в них одинаково. Именно второй способ годится для сравнения бесконечных множеств. Среди бесконечных множеств простейшим является множество натуральных чисел.

Определение 10 (эквивалентные множества). Два множества 
эквивалентны, если между их элементами можно установить биективное отображение. Это обозначается следующим образом

A ~ B.

Пример 10.

[a,b] ~ [0,1],
что легко проверить, установив биекцию по формуле y = a+(b-a)x, где xО [0,1].

Определение 11 (определение счетного множества).Счетное 
множество — это множество, эквивалентное множеству натуральных чисел.

Рассмотрим примеры счетных множеств.

Пример 11.

  1. Множество всех целых чисел
    Z = { 0, -1, 1, -2, 2, -3, 3,...,}.
    Соответствие между целыми и натуральными числами можно осуществить по схеме
    « 2n+1 при nі 0, n « 2|n| при n<0.
  2. Множество всех четных положительных чисел. Соответствие по формуле n « 2n.
  3. Множество чисел 2n. Соответствие осуществляется по формуле « 2n.

Приведем некоторые свойства счетных множеств.

Теорема 1 (свойства счетных множеств).

  1. Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
  2. Сумма любого конечного или счетного множества счетных множеств есть счетное множества.
  3. Всякое подмножество счетного множества конечно или счетно.

Существуют и несчетные множества. Справедлива

Теорема 2 (теорема Кантора). Множество действительных чисел, заключенных между нулем и единицей, несчетно.

Приведем примеры несчетных множеств.

Пример 12.

  1. Множество точек любого отрезка [a,b] или интервала (a,b).
  2. Множество точек на прямой.
  3. Множество точек плоскости, пространства.
  4. Множество иррациональных чисел.

Определение 12 (определение мощности множества).Класс 
эквивалентных множеств называется мощностью.

Если множества эквивалентны, то их мощности равны, то есть

A ~ B Ю cardA = cardB,
где card A — мощность множества A. Для конечных множеств понятие мощности совпадает с понятием числа элементов множества. Мощность натуральных чисел (т.е. любого счетного множества) обозначается А0 (читается: "алеф нуль").

Про множества, эквивалентные множеству действительных чисел отрезка [0,1], говорят, что они имеют мощность континуума. Эта мощность обозначается c или А.

http://matan.isu.ru/




БАНКОВСКОЕ ДЕЛО
БУХГАЛТЕРСКИЙ, УПР. И ФИН. УЧЕТ
БЮДЖЕТ И БЮДЖЕТНАЯ СИСТЕМА РФ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ
ГУМАНИТАРНЫЕ НАУКИ
ДОКУМЕНТОВЕДЕНИЕ И ДЕЛОПРОИЗВОДСТВО
ИНВЕСТИЦИИ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В ЭКОНОМИКЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
МАРКЕТИНГ
МЕНЕДЖМЕНТ
МЕТ. РЕКОМЕНДАЦИИ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МИРОВАЯ ЭКОНОМИКА И МЭО
НАЛОГИ И НАЛОГООБЛОЖЕНИЕ
ПЛАНИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
ПРАВОВЕДЕНИЕ
РАЗРАБОТКА УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ
СТАТИСТИКА
УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ
УЧЕБНИКИ, ЛЕКЦИИ, ШПАРГАЛКИ (СКАЧАТЬ)
ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ
ФИНАНСЫ, ДЕНЕЖНОЕ ОБРАЩЕНИЕ И КРЕДИТ
ЦЕНЫ И ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ
ЭКОНОМИКА
ЭКОНОМИКА, ОРГ-ЦИЯ И УПР-НИЕ ПРЕДПРИЯТИЕМ
ЭКОНОМИКА И СОЦИОЛОГИЯ ТРУДА
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ (МИКРО-, МАКРО)
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ЭКОНОМЕТРИКА
Оформить заказ
Ваше имя *
Ваш e-mail *
Контактный телефон
Город *
Учебное заведение *
Предмет *
Тип работы *
Тема работы/вариант *
Кол-во страниц
Срок выполнения *
Прикрепить файл
Дополнительные условия


Статистика
Онлайн всего: 28
Гостей: 28
Пользователей: 0