Понятие множества

Множество – совокупность некоторых объектов. Примерами множеств являются множества чисел, множества точек прямой, множество линий и др. Каждое отдельное множество задается правилом или законом, позволяющим судить, принадлежит объект данному множеству или нет.

Множества обозначаются прописными буквами латинского или готического алфавита: A, B, ...,M, K,... . Если множество A состоит из элементов a,b,c,..., это обозначается с помощью фигурных скобок: A={a,b,c,...,} . Если a есть элемент множества A , то это записывают следующим образом: a О A. Если же a не является элементом множества A , то пишут a П A. Одним из важных множеств является множество N всех натуральных чисел N={1,2,3,...,} . Существует также специальное, так называемое пустое множество, которое не содержит ни одного элемента. Пустое множество обозначается символом Ж.

Условимся вводить определение, когда это будет удобно, посредством следующего символа : = (равенства по определению), двоеточие ставится со стороны определяемого объекта.

Определение 1 (определение равенства множеств).Множества А и B равны, если они состоят из одних и тех же элементов, то есть, если из x О A следует x О B и обратно, из xО B следует x О A.

Формально равенство двух множеств записывается следующим образом:

Здесь " – квантор всеобщности (" x читается как "для каждогоx").

Определение 2 (определение подмножества). Множество Аявляется подмножеством множества В, если любое хпринадлежащее множеству А, принадлежит множеству В.

Пример 1. Множество {2,4,6,..., 2n,...} является собственным подмножеством множества натуральных чисел. Пустое множество является подмножеством любого множества.

Операции над множествами.

1. Объединение.
   (рис. 1)
   C=A И B: = {x:x О A или x О B}

   
   

   Пример 2. Решить неравенство

   |2x+1| > 3.

   Из данного неравенства следует либо неравенство

   2x+1>3в случае, когда 2x+1і 0, тогда x>1, либо неравенство2x+1<-3,в случае, когда 2x+1<0, тогда x<-2.

   Множеством решений исходного неравенства являетсяобъединение найденных промежутков решения (-Ґ,-2)И(1,+Ґ).

   Пример 3. A = {1; 3; 5; 7; ...; 2n-1; ....} — нечетные числа

   B = {2; 4; 6; 8; ....; 2n; ...} — четные числа

   A И B = {1; 2; 3; ...; n; ......} — натуральный ряд

2. Пересечение.
   (рис. 2)

   C=A З B:= {x: x О A и x О B }

   
   

   Пример 4. A={2,4,...,2n,...}, B={3,6,9,...,3n,...}. Тогда C=AЗB={6,12,...,6n,...}.

3. Вычитание.
   (рис. 3)

   A \ B: = {x:x О A и x П B}

   
   

4. Дополнение.
   (рис.4)

   Пусть U — универсальное множество ( все остальные множества принадлежат U)

   A = CA: = {x:x О U и x П A} = U \ A

   
   

5. Симметрическая разность.
   (рис. 5)

   A D B:= (A \ B) И (B \ A) = (A И B) \ (A З B)

   
   

Свойства операций над множествами.

1. Коммутативность.

   A И B=B И A
   A З B=B З A

2. Ассоциативность.

   (A И B) И C=A И (B И C)
   (A З B) З C= A З (B З C)

3. Дистрибутивность.

   (A И B) З C = (A З C) И (B З C)
   (A З B) И C= (A И C) З (B И C)

4. A И A=A, A З A=A
   A И Ж = A, A З Ж= Ж

5. Законы де Моргана (законы двойственности).

   1) A И B= A З B 
   2) A З B= A И B

   Доказательство данных свойств проводится на основе определения равенства двух множеств.

Пример 5. A = {1; 2; 3; 4}
B = {3; 4; 5; 6}
A \ B= {1; 2}
(A \ B) И B= {1; 2; 3; 4; 5; 6} № A
Но (A \ B) И B= A Ы B М A

Определение 3 (декартово произведение).

Декартово произведение двух множеств:

Из определения декартова произведения следует, что, вообще говоря,

Пример 6.
(рис. 6)

Пример 7. R ґ R= R2 — плоскость, где R–множество действительных точек на прямой.

R ґ R ґ R= R3 — пространство

Функции и отображения.

Определение 4. Функцией f , действующей из множества X в множество Y (f: X ® Y) называется правило или закон, по которому каждому элементу x О X ставится в соответствие один или несколько y О Y. Если каждому x ставится в соответствие один y , то функция называется однозначной.

Определение 5. Образом множества A М X при отображении
f:X ® Y называют множество

Пример 8. y = x2; A = [0,1]; f(A) = [0,1]

Определение 6. Множество

Определение 7. Бинарным отношением называется множество упорядоченных пар (x,y)

Если x связан с y отношением R, то это обозначают как xRy.

Определение 8. Отношение называется функциональным, если

График функции f:X® Y - это подмножество Xґ Y

Виды отображений.

Определение 9 (инъекция, сюръекция, биекция).

Отображение называется инъекцией, если для любых элементов x₁, x₂ О X, для которых f(x₁) = f(x₂) следует, что x₁ = x₂. (рис. 7)

Сюръекцией (или отображением "на" ) называется отображение, при котором f(X) = Y (рис. 8).

Биекция – это одновременно и сюръекция и инъекция (рис.9).

Пример 9.

1. y = x2, R ® R₊ (R₊–множество действительных положительных чисел) – сюръекция, но не инъекция, так как разным x соответствуют одинаковые y.
2. , R₊ ® R₊ – инъекция, но не сюръекция, так как 
   0Ј y<1 для любых xі 0.
3. Отображение y = 4x+7 числовой оси (-Ґ,Ґ) на себя – биекция.

Если определены отображения f:X® Y и g:Y® Z, то можно задать композицию этих отображений: g _° f :X® Z, значения которой определяются формулой (g_° f)(x) = g(f(x)). (рис. 10)

Мощность множеств.

Определение 10 (эквивалентные множества). Два множества 
эквивалентны, если между их элементами можно установить биективное отображение. Это обозначается следующим образом

Определение 11 (определение счетного множества).Счетное 
множество — это множество, эквивалентное множеству натуральных чисел.

Рассмотрим примеры счетных множеств.

Пример 11.

1. Множество всех целых чиселZ = { 0, -1, 1, -2, 2, -3, 3,...,}.Соответствие между целыми и натуральными числами можно осуществить по схемеn « 2n+1 при nі 0, n « 2|n| при n<0.
2. Множество всех четных положительных чисел. Соответствие по формуле n « 2n.
3. Множество чисел 2ⁿ. Соответствие осуществляется по формуле n « 2ⁿ.

Приведем некоторые свойства счетных множеств.

Теорема 1 (свойства счетных множеств).

1. Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
2. Сумма любого конечного или счетного множества счетных множеств есть счетное множества.
3. Всякое подмножество счетного множества конечно или счетно.

Существуют и несчетные множества. Справедлива

Теорема 2 (теорема Кантора). Множество действительных чисел, заключенных между нулем и единицей, несчетно.

Приведем примеры несчетных множеств.

Пример 12.

1. Множество точек любого отрезка [a,b] или интервала (a,b).
2. Множество точек на прямой.
3. Множество точек плоскости, пространства.
4. Множество иррациональных чисел.

Определение 12 (определение мощности множества).Класс 
эквивалентных множеств называется мощностью.

Если множества эквивалентны, то их мощности равны, то есть

Про множества, эквивалентные множеству действительных чисел отрезка [0,1], говорят, что они имеют мощность континуума. Эта мощность обозначается c или А.