Аксиоматика действительных чисел.

Определение 13 (пространство действительных чисел).Множество R называется пространством действительных чисел, а его элементы – действительными числами, если выполнены следующие аксиомы:

Аксиома 1 (сложения).

1. $ нейтральный элемент 0, называемый нулем, такой, что для любого xО Rx+0=0+x = x
2. Для любого элемента xО R существует элемент -x О R , называемый противоположным к x, такой, чтоx+(-x) = (-x)+x = 0
3. Операция сложения ассоциативна, т.е. для любых x,y,zОR выполнено условие(x+y)+z = x+(y+z)
4. Операция сложения коммутативна, т.е. для любых x,y ОRy+x = x+y

Аксиома 2 (умножения). " (x,y)О Rґ R ставится в соответствие элемент z = x· y О R, называемый произведением, при этом выполнены следующие условия

1. Существует нейтральный элемент 1О R\ 0 называемый единицей, такой, что " x О Rx· 1=1· x = x.
2. Для любого элемента xО R\ 0 найдется элемент x^-1О R \0, называемый обратным, такой, чтоx· x^-1 = x^-1· x = 1.
3. Операция умножения ассоциативна, т.е. " x,y,zО R\ 0x· (y· z) = (x· y)· z.
4. Операция умножения коммутативна, т.е. для любых x,yОR\ 0x· y = y· x.

Аксиома 3 (порядка). Между элементами множества R имеется отношение Ј, т.е. для элементов x,yО R установлено x Ј y или нет. При этом выполняются следующие условия:

1. x Ј x
2. x Ј y и y Ј x Ю y = x
3. x Ј y и y Ј z Ю x Ј z
4. " x,y О R xЈ y или yЈ x.

Аксиома 4 (связь порядка и сложения). Если x,y,z О R, то из x Ј y следует, что x+z Ј y+z

Аксиома 5 (связь порядка и умножения). Если

Аксиома 6 (непрерывности). Если X,Y М R -непустые, и при" x О X и " y О Y, выполнено условие x Ј y, то $ c О R: x Ј c Јy.

Числовые множества. Ограниченное множество. Принцип верхней грани.

Геометрически множество действительных чисел R изображается точками числовой прямой. Между точками числовой прямой и множеством действительных чисел существует взаимно однозначное соответствие, т.е. каждой точке числовой прямой соответствует действительное число и наоборот. Множество всех действительных чисел будем называть числовой прямой и обозначать символом (-Ґ,Ґ) или R. Приведем примеры часто используемых числовых множеств. [a,b]={x О R, a Ј x Ј b} —отрезок
(a,b) = {x О R, a <x <b } — интервал
(a,b]= {x О R, a <x Ј b } — полуинтервал
[a,b) = {x О R, a Ј x < b } — полуинтервал

Определение 14. Окрестностью точки x называется любой интервал, содержащий эту точку.

Окрестность точки x будем обозначать следующим образомU(x).

Определение 15. Ue(x0) эпсилон окрестностью точки x0 называется интервал длины 2e с центром в точке x0

(рис.11)

Определение 16. Расстоянием в R между x и y называется r(x,y) = |x-y|.

Определение 17 (ограниченное множество). Множество Xназывается ограниченным сверху (снизу), если для всех элементов из X, существует такое число a, что x Ј a (x і a).
Множество X называется ограниченным, если найдутся a и b: "x О X, a Ј x Ј b, x О [a,b].

Эквивалентное определение ограниченного множества можно сформулировать следующим образом.

Определение 18. Множество X ограничено, если существует такое число c>0, что для всех xО X выполнено неравенство |x| Јc.

Приведем примеры, иллюстрирующие данные понятия.

Пример 13.

1. Множество N натуральных чисел ограничено снизу и не ограничено сверху.
2. Любой конечный отрезок [a,b] или интервал (a,b) ограничен.
3. Числовая прямая R есть множество, не ограниченное ни сверху, ни снизу.

Определение 19. Элемент c О X называется максимальным (минимальным), если " x О X, x Ј c (x і c) .

Рассмотрим следующие примеры

Пример 14.

1. Множество целых чиселZ = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}не имеет ни максимального элемента, ни минимального.
2. Множество натуральных чиселN = {1,2,3,...}имеет минимальный элемент, равный единице, но не имеет максимального.
3. Отрезок [a,b] имеет как минимум, равный a , так и максимум, равный b.
4. Интервал (a,b) не имеет ни максимума, ни минимума.

Пусть множество X ограничено сверху. Тогда оно имеет бесконечное множество верхних граней. Действительно, если S – верхняя грань X, то и любое число S'>S также является верхней гранью. Наименьшая из верхних граней множества X называется точной верхней гранью множества X.Обозначается точная верхняя грань через sup X (супремум).

Учитывая вышесказанное, можно дать эквивалентное определение точной верхней грани.

Определение 20 (определение точной верхней грани).Число S называется точной верхней гранью множества X (S =sup X), если выполняются следующие свойства:

1. xЈ S " x О X ;
2. " e>0 $ x_e>S-e.

Аналогично определяется и точная нижняя грань, которая обозначается inf X (инфимум).

Определение 21 (определение точной нижней грани). ЧислоI называется точной нижней гранью множества X (I = inf X), если выполняются следующие свойства:

1. xі I " x О X ;
2. " e>0 $ x_e<I+e.

В случае, когда множество X имеет максимум или минимум, то они совпадают соответственно с sup X и inf X. Если множество X не ограничено сверху, то будем считать, что sup X = Ґ. Аналогично, если множество не ограничено снизу, то inf X = -Ґ. Проиллюстрируем эти понятия на примерах.

Пример 15.

1. Для множества натуральных чисел Ninf N = min N = 1, sup N = Ґ
2. X = {n/n+1, n О N }={1/2,2/3,3/4,....} inf X = min X = 1/2, sup X = 1. Отметим, что 1 не принадлежит данному множеству. Покажем, что sup X = 1 на основании определения. Очевидно, что . Проверим, что " e >0 $x_e>1-e. Для этого решим неравенствоОтсюда . Таким образом при любом e >0 $ n_e, которое можно найти. Задавая e можно определить n, зависящее от e.

Доказательство. Y = {y О R: " x О X, x Ј y } — множество верхних границ. По аксиоме полноты $ c О R, x Ј c Ј y т.е. c ОY, c = min Y Ю c = sup X



Справедлива аналогичная теорема

Теорема 4. Всякое не пустое ограниченное снизу подмножество множества действительных чисел имеет единственную точную нижнюю грань.