Контрольные, курсовые, рефераты, тесты – готовые и на заказ!
 Гарантия качества, доступные цены, индивидуальный подход
 Работы выполняют высококвалифицированные специалисты
Войти      Регистрация
 тел. 8-912-388-82-05
  std72@mail.ru
> 20 лет успешной работы
> 50000 выполненных заказов
Отзывы/вопросы

Форма входа



Главная » Учебно-методические материалы » ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ » Математический анализ: справочное пособие. Романова О.А.

4. Предел функции (1)
22.12.2011, 14:45

Определения и примеры.

Пусть EМ R и a – предельная точка множества E.

Определение 1Будем говорить, что a –предельная точка для множества E, если любая окрестность точки a содержит бесконечное подмножество множества E.

Пусть f:E ® R. Приведем несколько формулировок определения предела функции. Для разных оценок бывает удобна то одна, то другая.

Определение 2 (предел функции по Коши). Число AО Rназывается пределом функции f(x) в точке a или при x® a и это обозначается следующим образом lim® af(x) = A, если

" e > 0 $ d(e)>0" x: 0<|x-a|< d, Ю |f(x)-A|< e

Пример 1. Доказать, что limx® 1(2x+3) = 5.

Запишем определение предела для данного примера

" e >0 $ d (e)>0 " x удовлетворяющих условию : 0<|x-1|<d
должно быть выполнено неравенство
|2x+3-5|<e или 2|x-1|<e.
Отсюда следует, что неравенство 2|x-1|<2d<e выполнится, еслиdЈe/2. Если e = 0,1, то d = 0,05 , при e = 0,01, d = 0,005 и т.д. Таким образом, решение задачи состоит в нахождении d, зависящего от e.

Определение 3. Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка.

Обозначается проколотая окрестность символом .

Определение 4 (предел функции на "языке окрестностей").Число A О R называется пределом функции f(x) в точке a или при x® a, 
если для любой окрестности U(A) числа A существует проколотая окрестность  точки a такая, что f(М U(A).

Приведем еще одно эквивалентное определение предела на "языке последовательностей".

Определение 5 (предел функции по Гейне). A=lim® af(x) 
означает, что

" xn ® a при n ® Ґ; xn  a, f(xn® A при n ® Ґ

Пример 2. Покажем, что не существует предела f(x) = sin(1/x) при x® 0. Для этого используем определение предела на языке последовательностей. Выберем две последовательности xn1 = 1/p n, xn2 = 1/(p/2+2p n), которые обе сходятся к нулю при n®Ґ. Тогда sin xn1 = sin p n=0, sin xn2 = sin (p/2+2p n) = 1, Таким образом, f(xn1) и f(xn2) сходятся к разным числам, поэтому определение предела на "языке последовательностей" не выполняется.

Пример 3Рассмотрим функцию Дирихле

f(x) =
м 1, если xО Q
н
о 0, если xО R\ Q
, где Q –множество рациональных чисел, соответственно множество R\ Q – множество иррациональных чисел. Данная функция не имеет предела ни в одной точке a действительной прямой. Действительно, если выбрать последовательность рациональных чисел, сходящихся к a, то соответствующая последовательность значений функции сходится к единице. Если выбрать последовательность иррациональных значений, то значения функции сходятся к нулю. Следовательно, на основании определения предела по Гейне данная функция не имеет предела.

Рассмотрим геометрический смысл предела функции в точке. Неравенство |f(x)-A|<e равносильно двойному A-e<f(x)<A+e. Число A есть предел функции f(x) при x® a, если для любого e>0 найдется такая d -окрестность точки a, что для всех x a из этой окрестности соответствующие значения функции f(x) будут заключены в полосе A-e<f(x)<A+e (см. рис. 14).


Рассмотрим понятие предела функции в бесконечности.

Определение 6 (предел функции в бесконечности).

lim® Ґf(x) = A,
если
" e > 0 $ B(e) >0" x таких, что |x| > B, выполняется |f(x)-A| <e

Определение 7.

lim® af(x) = Ґ,
если
" A>$ d(A) > 0" x 0<|x-a|< d, |f(x)| > A
lim® Ґf(x) = Ґ, если " A>$ B(A)>0" x |x|> B, |f(x)|> A

Аналогично формулируются определения при x® ±Ґ, а также определения, когда A = ±Ґ.

Замечание. Изученное понятие предела последовательностиможно рассматривать как частный случай предела функции при x® +Ґ.

Пример 4. Доказать, что lim® 11/(x-1)2 = + Ґ

" e > 0 $ d(e)>0" x 0<|x-1|< d выполняется 1/(x-1)2e 
1/|x-1|2>1d2e

Замечание. Если при стремлении x к a переменная x принимает лишь значения, меньшие a или большие a и при этом f(x) стремится к A, то говорят, что существуют односторонние пределы функции, то есть limx® a-0f(x) = A – предел слева или limx® a+0f(x) = A – предел справа. Очевидно, что если limx® a-0f(x) = limx® a+0f(x) = A, то limx® a = A. Верно и обратное утверждение.

Пример 5. Покажем, что не существует предела f(x) = 21/x, при x® 0. 
lim® 0-021/x = lim® 0-02Ґ = 0 
lim® 0+021/x = lim® 0+02Ґ = + Ґ

Пределы не равны, следовательно limx® 0 21/x не существует.

Свойства предела функции.

Теорема 1 (свойства предела функции).

  1. Если $ lim® af(x) = A , то найдется окрестность точки a  такая, что в этой окрестности функция f(x) будет ограничена.
  2. Если f(x) есть постоянная A в некоторой окрестности точки a, то lim® af(x) = A
  3. Если lim® af(x) = A1 и lim® af(x) = A2, то A1 = A2

Утверждения данной теоремы вытекают из определения предела функции.

Теорема 2 (арифметические операции над пределами).Если lim® af(x) = A, lim® ag(x) = B, то

  1. lim® a[f(x)± g(x)]=A± B,
  2. lim® af(x)g(x) = AB
  3. lim® af(x)/g(x) = A/B, B  0

Эта теорема непосредственно следует из соответствующейтеоремы о пределах последовательностей.

Теорема 3 (предел и неравенства). Пусть f:E® R, g:E® R, h:E® R

  1. Если lim® af(x) = A, lim® ag(x) = B и A<B, то $ " xО f(x)<g(x).
  2. Если для " x О E f(xЈ g(xЈ h(x) и существует lim®af(x) = lim® ah(x) = A. то существует lim® ag(x) = A

Пример 6. (Первый замечательный предел)

limx® 0(sin x)/x = 1

Доказательство.

  1. Покажем, что
    cos 2x<(sin x)/x<1 при 0<|x|<p/2.
    Так как cos2x,(sin x)/x - четные функции, то достаточно рассмотреть случай 0<x<p/2. Из рис. 15 и определения функций cos x и sin x, сравнивая площади сектора  OCD,треугольника D OAB и сектора  OAB, найдем

    Разделив эти неравенства на (1/2) x, получим требуемый результат.
  2. Из выше полученного результата следует, что
    |sin x|Ј|x| " xО R.
  3. Из 2) по теореме о предельном переходе в неравенствахвытекает, что
    lim x® 0sin x = 0.
  4. Теперь покажем, что
    limx® 0(sin x)/x = 1.
    Cчитая, что |x|<p/2, в силу полученного в 1) неравенства имеем
    1-sin2x<sin x/x<1.
    Но limx® 0(1-sin 2x) = 1, значит, по теореме о предельном переходе в неравенствах следует, что
    limx® 0(sin x)/x = 1.

Следствие 1.

lim® 0(tgx)/x = 
lim® 0(arcsin x)/x = 
lim® 0 (arctgx)/x = 1
Пример 7. Найти
  1. limx® 0(sin 6x)/4x;
  2. limx® 0(1-cos x)/x2.

Решение.

limx® 0(sin 6x)/4x = (3/2) limx® 0(sin 6x)/6x = 3/2;
limx® 0(1-cos x)/x2 = limx® 0 (2sin2 x/2)/x2 = 
(1/2)limx® 0(sin2x/2)/(x/2)2 = 1/2.

Пример 8. (Второй замечательный предел)

e = lim® Ґ(1+1/x)x

Как получена данная формула можно найти в книге Зорича В.А.
"Математический анализ" ч.1.

Если в данной формуле положить y = 1/x, то получим вторую запись данной формулы.

lim® 0(1+x)1/x = e.

Пример 9. Найти

  1. limx® Ґ(1+5/x)3x;
  2. limx® 0(1-3x)2/x.

Решение.

  1. limx® Ґ(1+5/x)3x = limx® Ґ (1+5/x)(x/5)(5/x)(3x) = limx® Ґ(1+5/x)(x/5)15 = e15;
  2. limx® 0(1-3x)2/x = limx® 0(1-3x)(-1/(3x))(-3x) · (2/x) = limx® 0(1-3x)(-1/(3x))(-6) = e-6.

Упражнение 1. Доказать теоремы 1,2,3.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Определение 8 (бесконечно малая функция). Функция называется бесконечно малой в точке a или при x® a, если

lim® af(x) = 0

Пример 10. 
f
(x) = 1/x, x ® Ґ 
f(x) = x2, x ® 0 
f(x) = 1-cos x, x ® 0

Заметим, что если функция f(x) имеет предел в точке a, равныйA, то функция a (x) = f(x)-A является бесконечно малой в точкеa. То есть, если функция f(x) имеет предел A в точке a, то f(x) = A+a, где limx® aa (x) = 0.

Отметим некоторые свойства бесконечно малых функций.

Теорема 4 (свойства бесконечно малых функций).

  1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
  2. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть бесконечно малая.
  3. Произведение конечного числа бесконечно малых является бесконечно малой.

Доказательство. Докажем для примера первое утверждение теоремы для двух бесконечно малых.

Из того, что существует limx® aa(x) = 0, следует, что " e>0 $ d1(e)>0 такое, что " x: 0<|x-a|<d1 выполняется неравенство
|a(x)|< e/2. Аналогично, из существования предела limx® a b(x) = 0, следует " e>0 $ d2(e)>0 такое, что " x: 0<|x-a|<d2 
выполняется неравенство |b(x)|< e/2. Тогда " x: 0<|x-a|<d = min{d1,d2} выполнятся оба неравенства одновременно, то есть

|a(x)+b(x)|Ј |a(x)|+|b(x)|<e.

Определение 9 (бесконечно большая функция). Функция называется бесконечно большой при x® a или в точке a, если для любого положительного числа e найдется такое положительное d(e), что для всех x a и удовлетворяющих условию |x-a|<d будет выполнено неравенство |f(x)|>e .

Аналогично можно дать определение бесконечно большой при x® Ґ. Приведем его в символической записи:

limx® Ґf(x) = Ґ Ы " e>0 $ d(e)>0 " x:|x|>d |f(x)|>e.

Предложение 1. a(x) бесконечно малая функция при x® a Ы1/a(x) — бесконечно большая при x ® a

Пример 11. y = x2 – бесконечно малая функция при x ® 0 , а y = 1/x2 – бесконечно большая при x ® 0.

Критерий Коши о существовании предела функции.

Определение 10 (условие Коши). Будем говорить, что функция f(x) удовлетворяет в точке a условию Коши, если для любого положительного числа e найдется положительное d(e), что для любых x1,x2, удовлетворяющих условию

0<|x1-a|<d, 0<|x2-a|<d,
справедливо неравенство
|f(x1-f(x2)|<e.

Теорема 5 (Критерий Коши). . Для того, чтобы существовал предел функции f(x) в точке a ( lim® af(x) = A ) необходимо и достаточно, чтобы f(x) удовлетворяла в точке a условию Коши.

Аналогично формулируется условие Коши и доказывается критерий Коши и для случаев правого(левого) пределов в точке a, предела при x® Ґ(±Ґ).

Предел монотонной функции.

Определение 11 (монотонная функция). Пусть f:E ® R

  1. Если для любых x1, xО E при x1<x2 выполняется f(x1)<f(x2) (f(x1)>f(x2)), то функция f(x) возрастающая (убывающая).
  2. Если для любых x1, xО E при x1<x2 выполняется f(x1)Јf(x2) (f(x1)і f(x2)), то функция f(x) неубывающая (невозрастающая).

Определение 12 (ограниченная функция). Функция f(x) называется ограниченной сверху (снизу) на множестве X, если

$ M(m)О R " xО X Ю f(x)Ј M (f(x)і m).

Определение 13Функция f(x) называется ограниченной на множестве X, если она ограничена на нем сверху и снизу, т.е.

$ M, mО R " xО X Ю mЈ f(x)Ј M .

Определение 14 (точные верхняя и нижняя грани). Число M(m) называется точной верхней (точной нижней) гранью функции f(x) на множестве X, если выполнены следующие условия

  1. " xО X Ю f(x)Ј M (f(x)і m);
  2. " e >0 $ x0О X: f(x0)>M-e (f(x)<m+e) (см. рис. 16).


Предположим, что числа (или символы ±Ґ) i=inf E, s=sup E являются предельными точками множества E (см. определение prepo 1). Имеет место

Теорема 6 (существование предела у монотонной функции). Для того чтобы неубывающая на множестве E функция f:E® R имела предел при x® s, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху, а для того чтобы она имела предел при x® i необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена снизу.

http://matan.isu.ru/




БАНКОВСКОЕ ДЕЛО
БУХГАЛТЕРСКИЙ, УПР. И ФИН. УЧЕТ
БЮДЖЕТ И БЮДЖЕТНАЯ СИСТЕМА РФ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ
ГУМАНИТАРНЫЕ НАУКИ
ДОКУМЕНТОВЕДЕНИЕ И ДЕЛОПРОИЗВОДСТВО
ИНВЕСТИЦИИ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В ЭКОНОМИКЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
МАРКЕТИНГ
МЕНЕДЖМЕНТ
МЕТ. РЕКОМЕНДАЦИИ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МИРОВАЯ ЭКОНОМИКА И МЭО
НАЛОГИ И НАЛОГООБЛОЖЕНИЕ
ПЛАНИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
ПРАВОВЕДЕНИЕ
РАЗРАБОТКА УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ
СТАТИСТИКА
УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ
УЧЕБНИКИ, ЛЕКЦИИ, ШПАРГАЛКИ (СКАЧАТЬ)
ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ
ФИНАНСЫ, ДЕНЕЖНОЕ ОБРАЩЕНИЕ И КРЕДИТ
ЦЕНЫ И ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ
ЭКОНОМИКА
ЭКОНОМИКА, ОРГ-ЦИЯ И УПР-НИЕ ПРЕДПРИЯТИЕМ
ЭКОНОМИКА И СОЦИОЛОГИЯ ТРУДА
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ (МИКРО-, МАКРО)
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ЭКОНОМЕТРИКА
Оформить заказ
Ваше имя *
Ваш e-mail *
Контактный телефон
Город *
Учебное заведение *
Предмет *
Тип работы *
Тема работы/вариант *
Кол-во страниц
Срок выполнения *
Прикрепить файл
Дополнительные условия


Статистика
Онлайн всего: 57
Гостей: 57
Пользователей: 0