Контрольные, курсовые, рефераты, тесты – готовые и на заказ!
 Гарантия качества, доступные цены, индивидуальный подход
 Работы выполняют высококвалифицированные специалисты
Войти      Регистрация
 тел. 8-912-388-82-05
  std72@mail.ru
> 20 лет успешной работы
> 50000 выполненных заказов
Отзывы/вопросы

Форма входа



Главная » Учебно-методические материалы » ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ » Математический анализ: справочное пособие. Романова О.А.

4. Предел функции (2)
22.12.2011, 14:46

Сравнение функций.

Определение 15 (символ О). Если для функций f(x), g(x) существуют постоянные c>0, d>0, такие, что |f(x)|Ј c |g(x)| при |x-a|<d, x a, то говорят, что f является ограниченной по сравнению с функцией g в окрестности точки a и пишут, что f(x) = O(g(x)) при x® a.

Данное определение переносится и на случай, когда x® Ґ, x® ±Ґ.

Пример 12.

  1. Так как |1/x2Ј |1/x| при |x| і 1, то 1/x2 = O(1/x) при ® Ґ;
  2. 1/x = O(1/x2) при x® 0 так как |1/x|Ј 1/x2 при |x|Ј 1.

Запись f=O(1) при x® a означает, что функция f(x) ограничена в некоторой окрестности точки a.

Определение 16 (функции одного порядка). Если f=O(g) и g=O(f) при x® a Ю f и g — одного порядка при x® a.

Пример 13. Функции f(x) = x(2+sin 1/x) g(x) = x x ® 0 являются бесконечно малыми одного порядка при x® a , так как

f/g = (x(2+sin 1/x))/x = 2+sin 1/x = |2+sin 1/x| Ј 3 Ю f=O(g), g/f =1/|2+sin 1/x| Ј 1 Ю g=O(f).

Определение 17 (эквивалентные функции). Функции f(x) иg(x) называются эквивалентными при x® a, если $ f(x): f(x) = f(x)g(x), где limx® af (x) = 1.

Иначе говоря функции эквивалентны при x® a, если предел их отношения при x® a равен единице. Справедливы следующие соотношения, их еще называют асимптотическими равенствами:

sin x ~ x, x ® 0(1)

tg x ~ x, x ® 0, arcsin x ~ x, x ® 0, arctg x~ x, x ® 0

ex-1~ x, x® 0

ln (1+x)~ x, x® 0(2)
m-1~ mx, x® 0(3)

Следующая теорема удобна для применения на практике при вычислении пределов.

Теорема 7. Пусть f(x)~ f1(x), g(x)~ g1(x) при x® a Тогда если существует предел

limx® af1(x)/g1(x),
то существует
limx® af(x)/g(x),
причем
limx® af1(x)/g1(x) = limx® af(x)/g(x).

Пример 14. Найти предел

limx® 0(ln cos x)/sin x2

Решение. Для решения воспользуемся асимптотическими равенствами (1), (2)

limx® 0(ln cos x)/sin x2 = limx® 0 (ln(1-2sin2x/2))/x2 =

limx® 0(-2sin2x/2)/x2 = -2limx® 0(x2/4)/x2 = -1/2.

Определение 18 (символ о). Говорят, что функция f является бесконечно малой по сравнению с g при x® a, и пишут f=o(g), x® a, если выполнено соотношение f(x) = a(x)g(x), где limx® aa(x) = 0. Иначе говоря limx® a f(x)/g(x) = limx® a a(x) = 0.

Пример 15.

  1. x2 = o(x) при x ® 0, так как lim® 0x2/x = lim® 0x = 0;
  2. 1/x2 = o(1/x) при x ® + Ґ так как lim® Ґx/x2 = lim® Ґ1/x = 0

Справедлива теорема.

Теорема 8. Для того, чтобы функции f(x), g(x) были эквивалентными при x® a необходимо и достаточно, чтобы при x® a выполнялось хотя бы одно из условий

f(x) = g(x)+o(g(x))
или
g(x) = f(x)+o(f(x)).

Заметим, что функции g(x) в первом условии и соответственно функция f(x) во втором называются главной частью функции f(x) (g(x)).

Пример 16.

  1. Функция x – главная часть функции sin x при x® 0, так как sin x = x+o(x) при x® 0;
  2. Если Pn(x) = anxn+...+a1x+a0, an 0, то функция anxnявляется главной частью Pn(x) при x® Ґ, так как Pn(x) = anxn+o(xn) при x® Ґ.

Метод выделения главной части бесконечно малых применяется к вычислению пределов.

Пример 17. Найти предел

Решение. Используя асимптотическое равенство (3) иасимптотическое равенство (1), а также учитывая, что x2 = o(x) при x® 0 (см. пример 15) и f=o(x2) является функцией o(x) приx® 0, найдем

Определение 19. Если f=o(g) при x® a и g(x) - бесконечно малая при x® a, то говорят, что f(x) - бесконечно малая более высокого по сравнению с g(x) порядка при x® a.

Пример 18. x2- бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с x при x® 0

Определение 20. Если f(x), g(x) -бесконечно большие при x® a и f=o(g) при x® a, то говорят, что g - бесконечно большая более высокого порядка по сравнению с f .

Пример 19. Функции f=x3+x2+2x+1, g=x4+3x2 -бесконечно большие при x® Ґ, и так как limx® Ґ f/g=0, то g — бесконечно большая более высокого порядка по сравнению с f

Отметим некоторые правила обращения с символами o(), O().

Предложение 2.

  1. o(f)+o(f) = o(f)
  2. o(f) тем более есть O(f)
  3. O(f)+O(f) = O(f)
  4. Если g 0, то o(f)/g=o(f/g), O(f)/g=O(f/g).

Найти пределы функций:

  1. limx® 1(4x5+9x+7)/(3x6+x3+1);
  2. limx® 2(x3+3x2-9x-2)/(x3-x-6);
  3. limx® 0(-3)/x;
  4. limx® -Ґ(-5x);
  5. limx® +Ґ()/(4x+2);
  6. limx® Ґ52x/(x+3);
  7. limx® p/6(sin (x-p/6))/(-2cos x);
  8. limx® 0(tg x-sin x)/x3;
  9. limx® 0(1-cos x)/x2;
  10. limx® Ґ(1+1/x)7x;
  11. limx® Ґ(x/(1+x))x;
  12. limx® 0ln(1+x)/(3x-1);
  13. limx® 0(e4x-1)/tg x;
  14. limx® e(ln x-1)/(x-e);
  15. limx® Ґ((2x2+3)/(2x2+5))8x2+3;
  16. limx® 1(1+sin p x)ctg p x.
http://matan.isu.ru/




БАНКОВСКОЕ ДЕЛО
БУХГАЛТЕРСКИЙ, УПР. И ФИН. УЧЕТ
БЮДЖЕТ И БЮДЖЕТНАЯ СИСТЕМА РФ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ
ГУМАНИТАРНЫЕ НАУКИ
ДОКУМЕНТОВЕДЕНИЕ И ДЕЛОПРОИЗВОДСТВО
ИНВЕСТИЦИИ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В ЭКОНОМИКЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
МАРКЕТИНГ
МЕНЕДЖМЕНТ
МЕТ. РЕКОМЕНДАЦИИ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МИРОВАЯ ЭКОНОМИКА И МЭО
НАЛОГИ И НАЛОГООБЛОЖЕНИЕ
ПЛАНИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
ПРАВОВЕДЕНИЕ
РАЗРАБОТКА УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ
СТАТИСТИКА
УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ
УЧЕБНИКИ, ЛЕКЦИИ, ШПАРГАЛКИ (СКАЧАТЬ)
ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ
ФИНАНСЫ, ДЕНЕЖНОЕ ОБРАЩЕНИЕ И КРЕДИТ
ЦЕНЫ И ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ
ЭКОНОМИКА
ЭКОНОМИКА, ОРГ-ЦИЯ И УПР-НИЕ ПРЕДПРИЯТИЕМ
ЭКОНОМИКА И СОЦИОЛОГИЯ ТРУДА
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ (МИКРО-, МАКРО)
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ЭКОНОМЕТРИКА
Оформить заказ
Ваше имя *
Ваш e-mail *
Контактный телефон
Город *
Учебное заведение *
Предмет *
Тип работы *
Тема работы/вариант *
Кол-во страниц
Срок выполнения *
Прикрепить файл
Дополнительные условия


Статистика
Онлайн всего: 29
Гостей: 29
Пользователей: 0