Контрольные, курсовые, рефераты, тесты – готовые и на заказ!
 Гарантия качества, доступные цены, индивидуальный подход
 Работы выполняют высококвалифицированные специалисты
Войти      Регистрация
 тел. 8-912-388-82-05
  std72@mail.ru
> 20 лет успешной работы
> 50000 выполненных заказов
Отзывы/вопросы

Форма входа



Главная » Учебно-методические материалы » ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ » Математический анализ: справочное пособие. Романова О.А.

5. Непрерывные функции
22.12.2011, 14:47

Непрерывность функции в точке

Пусть f:E® R, a -точка области определения.

Определение 21 (непрерывность функции в точке).Функция 
f(x) называется непрерывной в точке a, если

" U(f(a)) $ U(a) (f(U(a))М U(f(a))).

Дадим определение непрерывной функции в точке на "языкеed " (ср. с определением предела по Коши.)

Определение 22 (непрерывность функции по Коши).Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если " e > 0 $ d(e)>0: " x удовлетворяющих условию |x-a|< d, выполнено неравенство
|f(x)-f(a)|< e

Замечание. Если a – изолированная точка множества E, то есть точка, что в некоторой окрестности этой точки нет других точек множества E, кроме точки a, то U(a) = a. Следовательно, f(U(a)) = f(a)М U(f(a)), " U(f(a)). Таким образом, в любой изолированной точке функция непрерывна. Поэтому содержательная часть понятия непрерывности относится к случаю, когда a- предельная точка множества E.

Из определения непрерывной функции следует, что

f:E® R непрерывна в aО E, где a- предельная точка EЫ
Ы
 limx® af(x) = f(a)
Последнее равенство можно переписать в следующей форме
limx® af(x) = f(limx® ax),
которое говорит о том, что непрерывные в точке функции перестановочны с операцией предельного перехода.

Приведем еще одно определение непрерывной функции.

Определение 23 (непрерывность "на языке приращений"). 
Функция называется непрерывной в точке a, если выполнено условие

limD x® 0D y = 0,
где D y = f(a+D x)-f(a).

Пример 20. Функция f(x) = sin x непрерывна на R. Действительно,

|sin x-sin a| = 2|cos((x+a)/2)sin ((x-a)/2)|Ј 2|sin((x-a)/2)|Ј
Ј
 |x-a|/2 = |x-a|<e,
как только |x-a|<d =e.

Пример 21. Любая последовательность f:N® R есть функция, непрерывная на множестве N, так как каждая точка множества N является его изолированной точкой.

Точки разрыва

Пример 22. Исследовать на непрерывность

f(x) =
м x+1, если xі 0
н
о x-1, если x<0.
(рис. 17)

По графику видно, что функция не является непрерывной в точке x = 0. Существуют односторонние пределы функции справа и слева в точке x = 0, которые не равны limx® -0f(x) = -1 и limx® +0f(x) = 1. То есть определение непрерывной функции в точке не выполнено и точка x = 0 - точка разрыва функции.

Определение 24. Точка a называется точкой разрыва функции f(x), если эта функция не является непрерывной в данной точке.

Записав отрицание определения непрерывной функции, получим определение точки разрыва:

Определение 25 (точки разрыва). a - точка разрыва f, если

$ e>0 " d(e)>0 $ xО E : |x-a|<d Ю |f(x)-f(a)|>e.

Различают точки разрыва первого рода (когда существуют конечные односторонние пределы функции слева и справа при x® a, не равные друг другу) и второго рода (когда хотя бы один из односторонних пределов слева или справа равен бесконечности или не существует). Так в примере на рис. 15 x = 0 является точкой разрыва первого рода. К точкам разрыва первого рода относятся точки устранимого разрыва, когда предел функции при x® a существует, но в точке a функция либо неопределена, либо f(a) lim x® af(x).

Замечание. В точке устранимого разрыва функцию f(x) можно доопределить так, чтобы она стала непрерывной, положив 
f(a) = limx® af(x).

Пример 23.

f(x) =
м sin x/x, если x 0
н
о 0, если x = 0.
Так как limx® asin x/x = 1, то x = 0 является точкой устранимого разрыва.

Пример 24. Функция Дирихле разрывна во всех точках и все точки разрыва второго рода, так как на любом интервале есть рациональные и иррациональные числа.

Свойства функций, непрерывных в точке

Отметим основные локальные свойства непрерывных функций.

Теорема 9 (локальные свойства непрерывных функций).

  1. Пусть функция f:E® R непрерывна в точке a. Тогда f(x) ограничена в некоторой окрестности точки a.
  2. Пусть функция f(x) непрерывна в точке a и f(a) 0, то в некоторой окрестности точки a все значения функции положительны или отрицательны вместе с f(a).
  3. Если f(x), g(x) - непрерывны в точке a, то функции: f(x)+g(x), f(x)g(x), f(x)/g(x) (при g(a) 0 ) непрерывны в точке a.
  4. Если функция g(x):Y® R непрерывна в точке bО Y, а функция f:E® Y непрерывна в точке a, f(a) = b, тогда композиция g° f также непрерывна в точке a.

Данная теорема следует из определения непрерывности функции и соответствующих свойств предела функции.

Глобальные свойства непрерывных функций

Определение 26 (непрерывность функции на множестве). 
Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке множества.

То, что f(x) непрерывна на множестве X обозначается следующим образом: f(x)О CX.

Определение 27. Функция называется непрерывной на отрезке [a,b] , если она непрерывна в каждой внутренней точке этого отрезка и непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.

То, что f(x) непрерывна на отрезке [a,b] обозначается следующим образом: f(x)О C[a,b].

Перечислим основные глобальные свойства непрерывных функций.

Теорема 10 (глобальные свойства непрерывных функций).

  1. (Первая теорема Вейерштрасса) Если функция f(x)ОC[a,b], то она ограничена на [a,b] (см. рис. 18).


  2. (Вторая теорема Вейерштрасса) Если f(x)О C[a,b], то она достигает на [a,b] своих точных верхней и нижней граней(рис. 19)


  3. (Теорема Коши) Если f(x)О C[a,b] и f(a)f(b)<0, то существует cО [a,b] f(c) = 0 (см.рис. 20).


Замечание.

  1. Функции, не являющиеся непрерывными на данном отрезке, могут принимать точную верхнюю и точную нижнюю грани, например функция Дирихле.
  2. Если в условиях теоремы отрезок заменить на интервал, то теорема будет неверна, например, функция 1/x на интервале (0,1) непрерывна, но не является ограниченной; функция y = x на интервале (0,1) не достигает своих точных граней.

Пример 25. Исследовать на непрерывность в точке x = 0 и установить характер разрыва функции в этой точке:

  1. f(x) = 1/(1+21/x)

    Решение.

    limx® -01/(1+21/x) = 1
    limx® +01/(1+21/x) = 0,
    так как
    limx® +021/x = Ґ, limx® -021/x = 0.
    Следовательно, f(x) в точке x = 0 имеет разрыв первого рода.

  2. f(x) =
    м (1/5)(2x2+3), при -Ґ<xЈ 1,
    н 6-5x, при 1<x<3,
    о x-3, при 3Ј x<Ґ

    Решение. Заметим, что на интервалах (-Ґ,1), (1,3), (3,Ґ) функция непрерывна. Поэтому разрывы возможны лишь в точках x = 1, x = 3, в которых изменяется аналитическое задание функции.

    limx® 1-01/5(2x2+3) = 1;
    limx® 1+0(6-5x) = 1;
    f(1) = 1.
    Таким образом в точке x = 1 функция непрерывна. Так как
    limx® 3-0(6-5x) = -9;
    limx® 3+0(x-3) = 0,
    то точка x = 3 - точка разрыва первого рода.

Упражнение 2. Исследовать на непрерывность
  1. f(x) =
    м e1/x, при x 0,
    н
    о 0, при x = 0;
  2. f(x) = E(x)- целая часть числа;
  3. f(x) = arctg 1/(x-5) в точке a=5;
  4. f(x) =
    м x+2, при x<2,
    н
    о x2-1, при xі 2.

http://matan.isu.ru/




БАНКОВСКОЕ ДЕЛО
БУХГАЛТЕРСКИЙ, УПР. И ФИН. УЧЕТ
БЮДЖЕТ И БЮДЖЕТНАЯ СИСТЕМА РФ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ
ГУМАНИТАРНЫЕ НАУКИ
ДОКУМЕНТОВЕДЕНИЕ И ДЕЛОПРОИЗВОДСТВО
ИНВЕСТИЦИИ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В ЭКОНОМИКЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
МАРКЕТИНГ
МЕНЕДЖМЕНТ
МЕТ. РЕКОМЕНДАЦИИ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МИРОВАЯ ЭКОНОМИКА И МЭО
НАЛОГИ И НАЛОГООБЛОЖЕНИЕ
ПЛАНИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
ПРАВОВЕДЕНИЕ
РАЗРАБОТКА УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ
СТАТИСТИКА
УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ
УЧЕБНИКИ, ЛЕКЦИИ, ШПАРГАЛКИ (СКАЧАТЬ)
ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ
ФИНАНСЫ, ДЕНЕЖНОЕ ОБРАЩЕНИЕ И КРЕДИТ
ЦЕНЫ И ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ
ЭКОНОМИКА
ЭКОНОМИКА, ОРГ-ЦИЯ И УПР-НИЕ ПРЕДПРИЯТИЕМ
ЭКОНОМИКА И СОЦИОЛОГИЯ ТРУДА
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ (МИКРО-, МАКРО)
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ЭКОНОМЕТРИКА
Оформить заказ
Ваше имя *
Ваш e-mail *
Контактный телефон
Город *
Учебное заведение *
Предмет *
Тип работы *
Тема работы/вариант *
Кол-во страниц
Срок выполнения *
Прикрепить файл
Дополнительные условия


Статистика
Онлайн всего: 14
Гостей: 14
Пользователей: 0