Главная » Учебно-методические материалы » ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ » Математический анализ: справочное пособие. Романова О.А. |
22.12.2011, 14:50 | |||||||
Понятие производнойРассмотрим задачу, которая приводит к понятию производной. Пусть функция u(t) выражает количество произведенной продукции за время t. Найдем производительность труда в момент t0. За период от t0 до t0+D t количество продукции изменится от u(t0) до u0+D u = u(t0+D t). Тогда средняя производительность труда за этот период z = D u/D t, поэтому производительность труда в момент t0Определение 1 (производная). Производной функции y = f(x) в фиксированной точке x называется предел Производная обозначается следующим образом f'(x) или y'. Пример 1. Вычислить производную функции y = sin x. Найдем приращение функции: Определение 2. Правой (левой) производной называется правый (левый) предел Для обозначения правой (левой) производной используют символ: f'(x+0) f'(x-0). Необходимым и достаточным условием существования производной является равенство f'(x+0) = f'(x-0). Пример 2. Доказать, что f(x) = 3|x|+1 не имеет производной в точке x = 0. Составим D y = 3(0+D x)+1-1=3D x при D x>0. При Dx<0 D y = -3(0+D x)+1-1=-3D x, значит, Геометрический смысл производнойРассмотрим график функции y = f(x), определенной и непрерывной на (a,b). Зафиксируем произвольную точку x на (a,b), и зададим приращение D x№ 0, причем x+D x О (a,b). Пусть точки M,P - точки на графике f(x), абсциссы которых равны x, x+D x (рис.21). Координаты точек M и P имеют вид M(x,f(x)), P(x+D x,f(x+D x). Прямую, проходящую через точки M, Pграфика функции f(x) будем называть секущей. Обозначим угол наклона секущей MP к оси ОX через f (D x).Определение 3. Если существует предельное положение секущей MP при стремлении точки N к точке M вдоль графика функции при D x® 0), то это предельное положение называется касательной к графику функции f(x) в данной точкеM этого графика. Из данного определения следует, что для существования касательной к графику f(x) в точке M достаточно, чтобы существовал предел limD x® 0f (D x) = f 0, который равен углу, образованному касательной с положительным направлением оси OX. Справедливо утверждение: Предложение 1. Если f(x) имеет в данной точке x производную, то существует касательная к графику функции f(x) в точке Из этого утверждения вытекает геометрический смысл производной: производная f'(x0) есть угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой y = f(x) в точке x0, который в свою очередь равен tg угла наклона касательной к графику функции. Тогда уравнение касательной к кривой f(x) в точке x0 имеет вид Пример 3. Составить уравнение касательной к кривой y = 2x2-x+5 при x = -0,5. Решение. Найдем производную в точке x = -0,5 h4>Дифференцируемость функции Пусть функция определена на интервале (a,b). Определение 4 (дифференцируемость в точке). Функция f(x) называется дифференцируемой в точке x, если приращение Dy этой функции в точке x представимо в виде
В дальнейшем будем считать, что a(0) = 0. В этом случае функция a(x) будет непрерывной в точке D x = 0. Равенство 1можно переписать иначе, так как функции a (D x), D x - бесконечно малые в точке D x = 0 и их произведение тоже бесконечно малая функция, поэтому
Теорема 1. Для того чтобы функция была дифференцируема в точке x, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную. Доказательство. Необходимость. Пусть функциядифференцируема, тогда ее приращение представимо в виде (1). Поделив (1) на D x№ 0 получим Достаточность. Пусть существует конечная производная f'(x), то есть существует конечный предел Пример 4. Доказать, что функция |x| не дифференцируема в точке x = 0. Решение. Найдем приращение функции в точке x = 0 : Следующая теорема выражает связь между непрерывностью и дифференцируемостью. Теорема 2 (дифференцируемость и непрерывность). Если Доказательство. Так как функция дифференцируема в точке x, то то ее приращение представимо в виде (1), из которого следует, что limD x® 0D y = 0, что означает непрерывность функции в данной точке. Заметим, что из непрерывности в данной точке не следует дифференцируемость в этой точке. Это видно из рассмотренного выше примера 4. Производная непрерывной функции не обязательно непрерывна. Если функция имеет непрерывную производную на некотором множестве X, то функция называется гладкой на этом множестве. Если производная допускает конечное число точек разрыва (причем первого рода), то такая функция называется кусочно гладкой. Правила дифференцированияПриведем основные правила для нахождения производной:
Дифференцирование сложной и обратной функцийПриведем правило по которому можно найти производную сложной функции y = f(f(t)).Теорема 3 (дифференцирование сложной функции). Пусть Доказательство. Зададим x = f(t) отличное от нуля приращение D t. Этому приращению отвечает приращение D x = f (t+D t)-f (t) функции x = f(t). Приращению D x отвечает приращение D y = f(x+ D x)-f(x). Так как функция y = f(x)дифференцируема, то ее приращение D y представимо в виде (1): Пример 5. Найти y', если y = 5cos x. Для нахождения производной обратной функции существует следующее правило, а именно справедлива теорема Теорема 4 (производная обратной функции). Пусть функция Доказательство. Так как функция y = f(x) строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности точки x, то существует обратная функция x = f-1(y), которая является строго монотонной и непрерывной в некоторой окрестности точки y = f(x). Пусть D y№ 0 приращение для y, а D x - соответствующее приращение обратной функции x = f-1(y). Тогда справедливо равенство Доказанная теорема имеет простой геометрический смысл. Пусть M –точка графика функции f(x), (рис.22), производная f'(x) равна тангенсу угла наклона a касательной, проходящей через M, к оси OX, а производная обратной функции (f-1(y))' в соответствующей точке y = f(x) равна тангенсу угла наклона bтой же самой касательной к оси OY. Так как углы наклона a+ b=p/2, то формула нахождения производной обратной функции выражает очевидный факт: tgb = 1/tg a. Пример 6. Найти x'y, если y = 2x3+3x5+x Имеем y' = 6x2+15x4+1, тогда x'y = 1/y'x = 1/(6x2+15x4+1). Таблица производных простейших элементарных функцийЛегко получить следующую таблицу производных основных элементарных функций, используя определение производной. Для более подробного изучения данного материала рекомендуем использовать, например, "Математический анализ" ч.1 В.А. Ильина, В.А. Садовничего, Бл.Х. Сендова.
Замечание. Производная любой элементарной функции является элементарной функцией, то есть операция дифференцирования не выводит из класса элементарных функций. Производная степенно-показательной функцииПусть функция f(x) положительна и дифференцируема в точкеx. Вычислим производную функции y = ln f(x). Используя правило дифференцирования сложной функции, получимПри этих ограничениях функция z(x) = ln y(x) = g(x)ln f(x) будет дифференцируемой в силу теоремы о дифференцируемости сложной функции. Используя правило дифференцируемости произведения, найдем Пример 8. Найти y', если y = (sin x)x. Найдем | http://matan.isu.ru/ |