Контрольные, курсовые, рефераты, тесты – готовые и на заказ!
 Гарантия качества, доступные цены, индивидуальный подход
 Работы выполняют высококвалифицированные специалисты
Войти      Регистрация
 тел. 8-912-388-82-05
  std72@mail.ru
> 20 лет успешной работы
> 50000 выполненных заказов
Отзывы/вопросы

Форма входа



Главная » Учебно-методические материалы » ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ » Математический анализ: справочное пособие. Романова О.А.

6. Дифференциальное исчисление функции одной переменной (2)
22.12.2011, 14:52

Понятие дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала.

Рассмотрим функцию y = f(x), дифференцируемую в данной точке x. Приращение D y ее представимо в виде
D y = f'(x)D x +a (D xD x,
где первое слагаемое линейно относительно D x, а второе является в точке D x = 0 бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем D x. Если f'(x) 0, то первое слагаемое представляет собой главную часть приращения D y. Эта главная часть приращения является линейной функцией аргумента D x и называется дифференциалом функции y = f(x). Если f'(x) = 0, то дифференциал функции по определению считается равным нулю.

Определение 5 (дифференциал). Дифференциалом функции y = f(x) называется главная линейная относительно D x часть приращения D y, равная произведению производной на приращение независимой переменной

dy = f'(x)D x.

Заметим, что дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной dx = D x. Поэтому формулу для дифференциала принято записывать в следующем виде:

dy = f'(x)dx.(4)

Выясним каков геометрический смысл дифференциала. Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точкуM(x,y) (рис21.). Проведем касательную к кривой y = f(x) в точкеM, которая образует угол f с положительным направлением оси OX, то есть f'(x) = tg f. Из прямоугольного треугольникаMKN

KN = MNtgf = D xtg f = f'(x)D x,
то есть dy = KN.

Таким образом, дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в данной точке, когда x получает приращение D x.

Отметим основные свойства дифференциала, которые аналогичны свойствам производной.

  1. c = 0;
  2. d(c u(x)) = c d u(x);
  3. d(u(x± v(x)) = d u(x± d v(x);
  4. d(u(xv(x)) = v(x) d u(x) + u(x)d v(x);
  5. d(u(x) / v(x)) = (v(x) d u(x) - u(x) d v(x)) / v2(x).
Укажем еще на одно свойство, которым обладает дифференциал, но не обладает производная. Рассмотрим функцию y = f(u), где u = f (x), то есть рассмотрим сложную функцию y = f(f(x)). Если каждая из функций f и f являются дифференцируемыми, то производная сложной функциисогласно теореме (3) равна y' = f'(u)· u'. Тогда дифференциал функции
dy = f'(x)dx = f'(u)u'dx = f'(u)du,
так как u'dx = du. То есть
dy = f'(u)du.(5)
Последнее равенство означает, что формула дифференциала не изменяется, если вместо функции от x рассматривать функцию от переменной u. Это свойство дифференциала получило название инвариантности формы первого дифференциала.

Замечание. Отметим, что в формуле (4) dx = D x, а в формуле (5) du яляется лишь линейной частью приращения функции u.

Производные и дифференциалы высших порядков

Предположим, что функция f'(x) является дифференцируемой в некоторой точке x интервала (a,b), то есть имеет в этой точке производную. Тогда данную производную называют второй произвоьдной и обозначают f(2)(x), f''(x) или y(2), y''(x). Аналогично можно ввести понятие второй , третьей и т. д. производных. По индукции можно ввести понятие n- ой производной:
y(n) = (y(n-1))'.(6)
Функцию, имеющую на некотором множестве конечную производную порядка n, называют n раз дифференцируемой на этом множестве. Методика нахождения производных высших порядков предполагает умение находить производные первого порядка, о чем говорит формула (6).

Если u(x), v(x) две дифференцируемые функции, то для нахождения производной их произведения справедлива формула Лейбница

(u(x)v(x))(n) = u(n)v+nu(n-1)v'+(n(n-1)/2)u(n-2)v''+...+ uv(n) =
Sk = 0nCnku(n-k)v(k),
где
Cnk = (n(n-1)(n-2)...(n-k+1))/k!, u(0) = u, v(0) = v.
Данная формула Лейбница особенно эффективна в случае, когда одна из перемножаемых функций имеет конечное число отличных от нуля производных и легко вычислить производные другой функции.

Пример 9. Пусть y = ex(x2-1). Найти y(10). Положим u(x) = ex,
v(x) = (x2-1). Согласно формуле Лейбница

y(10) = (ex)(25)(x2-1)+10(ex)(9)(x2-1)'+(10· 9/2) (ex)(8)(x2-1)'',
так как следующие слагаемые равны нулю. Поэтому
y(10) = ex(x2-1)+10ex2x+(10· 9/2)ex (2) = ex(x2+20x+89)

Рассмотрим выражение для первого дифференциала

dy = f'(x)dx.
Пусть функция, стоящая в правой части, является дифференцируемой функцией в данной точке x. Для этого достаточно, чтобы y = f(x), была дифференцируема два раза в данной точке x, а аргумент либо является независимой переменной, либо представляет собой дважды дифференцируемую функцию.

Определение 6 (дифференциал второго порядка). Значениеd(dy) дифференциала от первого дифференциала (4) при d x = dx, называется вторым дифференциалом функции y = f(x) и обозначается d2y.

Таким образом,

d2y = d (dy)|d x = dx.
Дифференциал dny можно ввести по индукции.

Определение 7. Значение d(dn-1y) дифференциала от(n-1)-го дифференциала при d x = dx, называется n-м дифференциалом функции y = f(x) и обозначается dny.

Найдем выражение для d2y при этом рассмотрим два случая, когда x -независимая переменная и когда x = f (t), то есть является функцией переменной t.

  1. пусть x = f (t), тогда
    d2 = d (dy)|d x = dx = d (f'(x)dx)|d x = dx =
    {d (f'(x))dx+f'(x)d(dx)}|d x = dx = f''(x)(dx)2+f'(x)d2x.
    Итак,
    d2y = f''(x)(dx)2+f'(x)d2x.(7)
  2. пусть x - независимая переменная, тогда
    d2y = f''(x)(dx)2,
    так как в этом случае d(dx) = (dx)'d x = 0.
Аналогично, по индукции легко получить следующую формулу, если x - независимая переменная:
dny = f(n)(x)(dx)n.
Из этой формулы следует, что f(n) = dny/(dx)n.

В заключение отметим, что дифференциалы второго и более высоких порядков не обладают свойством инвариантности, что сразу видно из формулы для дифференциала второго порядка (7).

Производная параметрически и неявно заданных функций

Пусть x = f (t),y = y (t), tО [a,b] - достаточно гладкие функции. Тогда говорят, что функция задана параметрически. Примером параметрически заданной функции является уравнение окружности: x = acos t,y = asin t, tО [0,2p]. Рассмотрим вопрос о нахождении производных y = y(x) по переменной x.

В силу свойства инвариантности формы первого дифференциала следует, что y' = dy/dx, dy = y'(t)dt, dx = f'(t)dt. Поэтому

y'(x) = y'(t)/f'(t).
Используя формулу для второго дифференциала, получим
y(2)(x) = d(y'(x))/dx = (y '(t)/f '(t))'dt/f '(t)dt =
(y ''(tf '(t)-f ''(t)y '(t))/(f '(t))3.
Чтобы вычислить третью производную, запишем y'''(x) в следующем виде
y'''(x) = d(y''(x))/dx.

Пример 10. Функция задана параметрически

x = a(t-sin t), y = a(1-cos t).
Наити y''(x).
y't = asin t, x't = a(1-cos t).
Отсюда
y'(x) = (asin t)/(a(1-cos t)) = ctg (t/2), t 2p k.
y''(x) = d(ctg (t/2))/(a(1-cos t)) = -1/4sin4t/2.

Пусть функция задана неявно уравнением F(x,y) = 0. Для нахождения производной функции, заданной неявно, нужно продифференцировать обе части уравнения, считая y = y(x) функцией от x, а затем из полученного уравнения найти производную y'. Чтобы найти производные высших порядков, нужно дифференцировать необходимое число раз уравнение F(x,y) = 0, и затем выразить нужную производную.

Пример 11. Найти y''(x), если :

x+y = ex-y.
Дифференцируем данное уравнение по x, считая y функцией от x.
1+y'x(x) = ex-y(1-y'x(x)),откуда y'x = (ex-y-1)/(1+ex-y).
Дифференцируя уравнение еще раз, получим
y''x(x) = ex-y(1-y'x(x))2-ex-yy''x(x),
следовательно,
y''x(x) = (1-y'x)2ex-y/(1+ex-y) = 4ex-y/(1+ex-y)3.

Основные теоремы дифференциального исчисления

Рассмотрим ряд важных теорем, которые полезны при исследовании функции. Справедлива

Теорема 5 (Ролля). Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема на (a,b) , f(a) = f(b). Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка c, такая, что f(c) =0.

Доказательство. Известно, что непрерывная на отрезке функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений. Если оба значения достигаются на концах отрезка, то они равны по условию, а это означает, что функция тождественно постоянна на [a,b]. Тогда производная такой функции равна нулю. Если же хотя бы одно из значений - максимальное или минимальное - достигается внутри отрезка, то производная равна нулю в силу теоремы Ферма.

Геометрический смысл этой теоремы хорошо иллюстрируется на следующем рисунке (рис.23): по теореме Ролля существует хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс, в этой точке производная равна нулю.


Отметим, что все условия теоремы существенны, при невыполнении хотя бы одного из них утверждение теоремы неверно.

Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа.

Теорема 6 (Лагранжа). Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема на (a,b). Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка c, такая, что

f'(c) = (f(b)-f(a))/(b-a).(8)

Доказательство. Введем новую функцию

g(x) = f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))(x-a)/(b-a).
Эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля: она непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b), g(a) = g(b) = 0. Следовательно, найдется точка  (a,b), такая, что
g'(c) = f'(c)-(f(b)-f(a))/(b-a) = 0.
Отсюда
f'(c) = (f(b)-f(a))/(b-a).

Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа приведена на рис.24. Заметим, что (f(b)-f(a))/(b-a) является угловым коэффициентом секущей, проходящей через точки A(a,f(a)),B(b,f(b)) кривой y = f(x), а f'(c) есть угловой коэффициент касательной к той же кривой, проходящий через точку C(c,f(c)). Из теоремы Лагранжа следует, что на кривой y = f(x) между точками A и B найдется такая точка C, касательная в которой параллельна секущей AB.


Следствие 2. Если производная функции f(x) равна нулю на некотором множестве, то функция тождественно постоянна на этом множестве.

Данное следствие автоматически следует из формулы (8).

Правило Лопиталя

Будем говорить, что отношение функций f(x)/g(x) представляет собой неопределенность вида 0/0 при x® a, если
limx® af(x) = limx® ag(x) = 0.
Раскрыть неопределенность - это значит вычислить предел
limx® af(x)/g(x), если он существует. Аналогично можно ввести понятие неопределенности при x® a-0 (x® a+0), x® ±Ґ.

Следующая теорема дает правило раскрытия неопределенности вида 0/0.

Теорема 7 (правило Лопиталя). Пусть множество (a) - проколотая d - окрестность точки a, функции f(x),g(x) определены и дифференцируемы на , g'(x) 0,

limx® af(x) = limx® ag(x) = 0.
Тогда если существует limx® af'(x)/g'(x), то существует и предел limx® af(x)/g(x), причем справедливо соотношение
limx® af(x)/g(x) = limx® af'(x)/g'(x).

Данная теорема без изменений переносится на случай неопределенности вида Ґ/Ґ.

Замечание. Сформулированная теорема представляет собой лишь достаточное условие. То есть предел отношения функций может существовать и в случае, когда предел отношения производных не существует.

Например, пусть f(x) = x+sin x, g(x) = x-sin x, x® Ґ. Попробуем применить правило Лопиталя

limx® Ґ(x+sin x)/(x-sin x) = Ґ/Ґ = =limx® Ґ(x+sin x)'/(x-sin x)' =limx® Ґ (1+cos x)/(1-cos x),
но предел последнего выражения не существует, однако, если поделить числитель и знаменатель на x, то легко получим конечное значения предела:

limx® Ґ(x+sin x)/(x-sin x) = limx® Ґ (1+sin x/x)/(1-sin x/x) = 1

Замечание. Если производные f'(x),g'(x) удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции, то правило Лопиталя можно применить повторно, т.е. предел отношения первых производных можно заменить пределом отношения вторых производных и т.д.

Кроме рассмотренных выше видов неопределенностей вида 0/0 и Ґ/Ґ часто встречаются неопределенности видов: 0· Ґ, Ґ-Ґ, 1Ґ, 0ҐҐ0. Все эти неопределенности сводятся к двум вида 0/0 и Ґ/Ґ путем алгебраических преобразований. Продемонстрируем это на примере неопределенностей вида 1Ґ, 0ҐҐ0. Каждая из этих неопределенностей имеет вид

y = f(x)g(x),(9)
где limx® af(x) = 1;0;Ґ, limx® ag(x) = Ґ;0, Прологарифмировав выражение (9), получим (при f(x)>0 )

ln y = g(x)ln f(x).
Последнее выражение представляет собой при x® a неопределенность вида 0· Ґ. Покажем, как свести неопределенность вида 0· Ґ к неопределенности вида 0/0 илиҐ/Ґ.

Пусть y = f(x)g(x), где limx® af(x) = 0, а limx® ag(x) = Ґ. Но y можно записать иначе, а именно y = f(x)/(1/g(x)), а данное выражение представляет собой при x® a неопределенность вида 0/0.

Проиллюстрируем на примерах применение правила Лопиталя.

Пример 12. Применяя правило Лопиталя, вычислить пределы:

  1. limx® 0(eax-e-2ax)/ln (1+x) = 0/0= limx® 0(aeax+2ae-2ax)/(1/(1+x)) = 3a.
  2. limx® Ґ(e1/x2-1)/(2arctg x2-p) = 0/0= limx® Ґ(-2x-3e1/x2)/(4x/(1+x4)) = limx® Ґ-e1/x2(1+x4)/2x4 = -1/2.
  3. limx® 1(1/ln x-1/(x-1)) = Ґ-Ґ = limx® 1 (x-1-ln x)/((x-1)ln x) = limx® 1(1-1/x)/(ln x+1-1/x) = limx® 1(x-1)/(xln x+x-1) = limx®11/(ln x+2) = 1/2.
  4. limx® +0(1/x)sin x. Пусть y = (1/x)sin x, тогда ln y = sin xln (1/x),
    limx® +0ln y = lim limx® +0sin xln (1/x). limx® +0ln y =limx® +0(-ln x)/(1/sin x) = limx® +0(-1/x)/(-cos x/sin2x) = limx® +0 sin2x/(xcos x) = 0.
    Следовательно, limx® 0 y = e0 = 1.
http://matan.isu.ru/




БАНКОВСКОЕ ДЕЛО
БУХГАЛТЕРСКИЙ, УПР. И ФИН. УЧЕТ
БЮДЖЕТ И БЮДЖЕТНАЯ СИСТЕМА РФ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ
ГУМАНИТАРНЫЕ НАУКИ
ДОКУМЕНТОВЕДЕНИЕ И ДЕЛОПРОИЗВОДСТВО
ИНВЕСТИЦИИ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В ЭКОНОМИКЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
МАРКЕТИНГ
МЕНЕДЖМЕНТ
МЕТ. РЕКОМЕНДАЦИИ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МИРОВАЯ ЭКОНОМИКА И МЭО
НАЛОГИ И НАЛОГООБЛОЖЕНИЕ
ПЛАНИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
ПРАВОВЕДЕНИЕ
РАЗРАБОТКА УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ
СТАТИСТИКА
УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ
УЧЕБНИКИ, ЛЕКЦИИ, ШПАРГАЛКИ (СКАЧАТЬ)
ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ
ФИНАНСЫ, ДЕНЕЖНОЕ ОБРАЩЕНИЕ И КРЕДИТ
ЦЕНЫ И ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ
ЭКОНОМИКА
ЭКОНОМИКА, ОРГ-ЦИЯ И УПР-НИЕ ПРЕДПРИЯТИЕМ
ЭКОНОМИКА И СОЦИОЛОГИЯ ТРУДА
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ (МИКРО-, МАКРО)
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ЭКОНОМЕТРИКА
Оформить заказ
Ваше имя *
Ваш e-mail *
Контактный телефон
Город *
Учебное заведение *
Предмет *
Тип работы *
Тема работы/вариант *
Кол-во страниц
Срок выполнения *
Прикрепить файл
Дополнительные условия


Статистика
Онлайн всего: 43
Гостей: 43
Пользователей: 0