Формула Тейлора

Теорема 8 (теорема Тейлора). Пусть функция f(x) имеет в точке x = a и некоторой ее окрестности производные порядка n+1. Тогда между точками a и x№ a найдется такая точка , что справедлива следующая формула:

(10)

Формула (10) называется формулой Тейлора, а выражение

Формулой Маклорена называется формула Тейлора при a = 0:

(11)

Приведем разложения некоторых элементарных функций поформуле Маклорена

Выпуклость функции. Точки перегиба

Определение 8. Множество точек на плоскости называется выпуклым, если отрезок, соединяющий любые две точки этого множества, целиком содержится в этом множестве.

Примерами выпуклых множеств являются : треугольник, отрезок, полуплоскость, вся плоскость.

Определение 9. Функция y = f(x) называется выпуклой вниз (вверх) на множестве X, если для всех x₁,x₂О X выполняется неравенство

Графики функций, выпуклых вниз и вверх, изображены на рис. 25.

Справедлива

Теорема 9. Функция выпукла вниз (вверх) на множестве X тогда и только тогда, когда ее первая производная на этом промежутке монотонно возрастает (убывает).

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что если f'(x) возрастает (убывает) на множестве X, то возрастает (убывает) угол наклона касательных к графику (рис.26). Это и означает выпуклость функции вниз (вверх).

Приведем достаточное условие выпуклости функции вниз (вверх).

Теорема 10 (достаточное условие выпуклости). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) на множестве X, то функция выпукла вниз (вверх) на этом множестве.

Доказательство. Если f''(x)>0, xО X, то f'(x) возрастает на множестве X и по предыдущей теореме функция выпукла вниз на множестве X. Аналогично рассматривается случай, когда f''(x)<0.

Необходимое условие выпуклости слабее: если функция выпукла вниз (вверх) на множестве X, то f''(x)і 0, xО X (или f''(x)Ј 0 ) xО X. Например, функция y = x⁴ выпукла вниз на всей числовой прямой, но y'' = 12x² обращается в ноль при x = 0.

Определение 10 (точка перегиба). Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция имеет разные направления выпуклости.

Нетрудно заметить, что точки перегиба - это точки экстремума первой производной. Отсюда следуют утверждения.

Теорема 11 (необходимое условие перегиба). Вторая производная f''(x) дважды непрерывно дифференцируемой функции в точке перегиба x0 равна нулю, т.е. f''(x0) = 0.

Теорема 12 (достаточное условие перегиба). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через точку x0, в которой f''(x0) = 0 меняет свой знак, то x0 есть точка перегиба ее графика.

Заметим, что если в окрестности точки x₁ функция выпукла вниз, то график функции находится выше касательной, а если в окрестности точки x₂ функция выпукла вверх, то график функции находится ниже касательной. В точке перегиба x₀касательная разделяет график - он лежит по разные стороны касательной. (рис. 27).

Рассмотрим пример, иллюстрирующий исследование функции на выпуклость и точки перегиба.

Пример 13. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции y = x⁴+x³-18x²+24x -12.

Решение. Находим производные

Асимптоты графика функции

Определение 11 (вертикальная асимптота). Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции y = f(x), если хотя бы один из пределов

Пример 14. График функции y = 1/(x-2) имеет вертикальную асимптоту x = 2, так как lim_x® 2+01/(x-2) = +Ґ, lim_x® 2-01/(x-2) = -Ґ (рис.28).

Определение 12 (наклонная асимптота). Говорят, что прямая y = kx+b является наклонной асимптотой графика функции y = f(x) при x® +Ґ, если f(x) имеет вид

Справедлива

Теорема 13 (существование асимптот). Для того чтобы график функции y = f(x) имел при x® +Ґ асимптоту y = kx+b, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела

Доказательство.

1. Необходимость. Пусть график функции y = f(x) имеет при x® +Ґ асимптоту y = kx+b, то есть для f(x) имеет видf(x) = kx+b+a(x),тогдаlim_x® +Ґf(x)/x = (kx+b+a(x))/x = k,lim_x® +Ґ(f(x)-kx) = lim_x® +Ґ(b+a(x)) = b.
2. Достаточность. Пусть существуют пределы, фигурирующие в условии теоремы. Тогда величина f(x)-kx-b является бесконечно малой при x® +Ґ. Обозначив f(x)-kx-b = a(x) получим, что f(x) имеет асимптоту согласно определению наклонной асимптоты.

Замечание. Аналогично определяется наклонная асимптота и доказывается теорема 13 при x® -Ґ.

Замечание. Если k=0 в определении наклонной асимптоты, то наклонная асимптота является горизонтальной.

Пример 15. Найти асимптоты кривой:

Решение. Кривая имеет вертикальную асимптоту x = 3, так как

Общая схема исследования функций и построение их графиков

1. Найти область определения функции.
2. Найти область значения функции.
3. Выяснить, не является ли функция четной, нечетной или периодической.
4. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва и выяснить характер разрывов.
5. Найти асимптоты графика функции.
6. Найти точки экстремума функции, установить интервалы монотонности функции.
7. Найти точки перегиба графика функции, определить интервалы выпуклости.
8. Найти точки пересечения с осями координат.

По полученным данным можно построить эскиз графика данной функции. Для примера построим график функции y = 2x³/(x²-4).

1. Функция определена и непрерывна при всех xО R, кроме точек x = ± 2.
2. Область значения функции - " yО R.
3. Функция нечетна, т.к. y(-x) = -y(x), график функции симметричен относительно начала координат, поэтому достаточно провести ииследование в интервале [0,Ґ).
4. Прямая x = 2 является вертикальной асимптотой, т.к.lim_x® 2± 02x3/(x2-4) = ± Ґ.Найдем наклонную асимптоту:k = lim_x® Ґy/x = lim_x® Ґ2x2/(x2-4) = 2, b = lim_x® Ґ(y-2x) = lim_x® Ґ8x/(x2-4) = 0,то есть данная кривая имеет наклонную асимптоту y = 2x.
5. Для нахождения промежутков возрастания и убывания найдем первую производнуюy' = (6x2(x2-4)-4x4)/(x2-4)² = 2x2(x2-12)/(x2-4)².В промежутке [0,Ґ) y обращается в нуль в точках x = 0, x = 2 и обращается в бесконечность в точке x = 2. Отметим, что в интервале [0,2) и (2,2) y' меньше нуля и функция убывает, а в интервале (2,Ґ) больше нуля и следовательно, функция возрастает. Очевидно, что точка x = 2 является точкой минимума.
6. Для нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба, найдем вторую производнуюy'' = 16x(x2+12)/(x2-4)³.Вторая производная y'' обращается в нуль в точке x = 0 и в бесконечность в точке x = 2. Ясно, что в интервале (0,2) y'' меньше нуля и поэтому функция выпукла вверх, а в интервале (2,2) и (2,Ґ) y''>0 и функция выпукла вниз. Кроме того, точка x = 0 является точкой перегиба, т.к. вторая производная меняет знак при переходе через эту точку.
7. y(2) = 6, y(0) = 0.

Упражнение 1. Провести исследование функций и построить их графики:

1. y = x⁶-3x⁴+3x²-5;
2. y = x²e^1/x;
3. y = x+ln (x²-1);
4. y = 1/2sin 2x+cos x.