Контрольные, курсовые, рефераты, тесты – готовые и на заказ!
 Гарантия качества, доступные цены, индивидуальный подход
 Работы выполняют высококвалифицированные специалисты
Войти      Регистрация
 тел. 8-912-388-82-05
  std72@mail.ru
> 20 лет успешной работы
> 50000 выполненных заказов
Отзывы/вопросы

Форма входа



Главная » Учебно-методические материалы » ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ » Математический анализ: справочное пособие. Романова О.А.

6. Дифференциальное исчисление функции одной переменной (4)
22.12.2011, 14:53

Экономический смысл производной

Ранее (см. раздел 1.1) было установлено, что производительность труда есть производная объема продукции по времени. Рассмотрим еще некоторые понятия, иллюстрирующие экономический смысл производной.

Пусть y(x) -функция, характеризующая, например, издержки производства, где x - количество выпускаемой продукции. Тогда отношение y(x)/x описывает средние издержки, приходящиеся на одно изделие. Средняя величина обозначается Ay или Af (от английского "average".) Среднее приращение, средний прирост, средняя скорость изменения определяется отношением D y/D x. Производная

выражает предельные (маргинальные от английского "marginal") издержки производства. Величину Mf(x) = y'называют мгновенным приростом или мгновенной скоростью изменения y. Аналогично можно определить предельную выручку, предельный доход, предельную полезность и другие предельные величины.

Определение 13. Отношение  называется темпом прироста функции y. Отношение  называется мгновенным темпом прироста.

Обычно степень влияния одной переменной на другую, зависимую от нее, измеряют производной данной функции. Однако часто экономистов интересуют относительные изменения величин. Например, если маленькое яблоко подорожало на 2,5 рубля, то при этом ьольшое, скажем, на 5. В тоже время, если яблоки подорожали в 1,5 раза, то в 1,5 раза дороже стало и маленькое, и большое яблоко, и килограмм, и вагон яблок. Поэтому для анализа относительных изменений вместе с понятием производной используют понятиеэластичности.

Определение 14 (эластичность). Эластичностью функции Ex(y) называется величина

Ex(y) = limD x® 0(D y/y:D x/x) = x/y limD x® 0D y/D x = x/y· y'.

Определение 15. Будем говорить, что y(x) эластична в точке x,если |Ex(y)|>1, y(x) неэластична, если |Ex(y)| <1, и нейтральна, если |Ex(y)| = 1.

Рассмотрим некоторые свойства эластичности.

  1. Эластичность - безразмерная величина, ее значение не зависит от того, в каких единицах измерены аргумент и функция. Если u = Ax, v = By, то Eu(v) = (dv/du)· u/v=(B/A)· (dy/dx)· (Ax/By) = Ex(y);
  2. Эластичности взаимно обратных функций - взаимно обратные величины
    Ey(x) = (dx/dy)·(y/x) = 1/Ex(y).
  3. Эластичность функции равна произведению независимой переменной x на темп изменения функции Ty = (ln y)' = y'/y, то есть
    Ex(y) = xTy.
  4. Эластичность произведения (частного) двух функций равна сумме (разности) эластичностей этих функций:
    Ex(uv) = Ex(u)+Ex(v), Ex(u/v) = Ex(u)-Ex(v).
  5. Из последнего свойства следуют формулы
    Ex(xy) = Ex(x)+Ex(y) = 1+Ex(y)
    отсюда, если Ex(y)>-1, то xy монотонно возрастает; еслиEx(y)<-1, то xy монотонно убывает. Аналогично,
    Ex(y/x) = Ex(y)-Ex(x) = Ex(y)-1

Пример 16. Как связаны предельные и средние полные затраты предприятия, если эластичность полных затрат равна 1?

Решение. Пусть затраты выражены функцией y(x), где x - объем выпускаемой продукции. Тогда средние затраты равны y/x. Найдем эластичность отношения

Ex(y/x) = Ex(y)-Ex(x) = Ex(y)-1.
Но по условию Ex(y) = 1, поэтому Ex(y/x) = 0. Это означает, что с изменением объема продукции x средние затраты на единицу продукции не меняются, т.е. y/x = c, y = cx. Предельные издержки равны y' = c. Следовательно, предельные издержки совпадают со средними.

В анализе ценовой политики используется понятие эластичности спроса. Пусть d=d(p) функция спроса от цены товара p. Тогда эластичность определяется по формуле

Для функции предложения s(p) аналогично вводится понятие эластичности
Отметим, что с увеличением цены объем спроса уменьшается. Поэтому функция спроса d(p) убывает, а функция предложенияs(p) возрастает с ростом p. Следовательно, d'(p)<0, Ep(d)<0 иEp(s)>0.

Отметим три вида спроса:

  1. если Ep(d)<-1, то спрос считается эластичным;
  2. если Ep(d)>-1, то спрос неэластичен;
  3. если Ep(d) = -1, то спрос нейтрален.

Пример 17. Пусть известны функции спроса d=7-p и функция предложения s=p+1, где p - цена. Нужно найти равновесную цену и эластичности спроса и предложения.

Решение. Равновесная цена определяется из условия d=s, поэтому 7-p=p+1, откуда p=3. Найдем эластичность спроса и предложения

Ep(d) = p/(p-7), Ep(s) = p/(p+1).
Для равновесной цены p=3 получим Ep(d) = -0,75, Ep(s) = 0,75. Для значения p = 3 спрос является неэластичным, также как и функция предложения.

Упражнение 2. Пусть функции спроса d=(p+8)/(p+2), и предложения s=p+0,5, где p -цена товара. Найти равновесную цену и эластичность спроса и предложения для этой цены.

Максимизация прибыли

Пусть q – количество реализованного товара, R(q)- функия дохода, C(q)- функция затрат на производство товара. Прибыль от реализации товара равна
P(q) = R(q)-C(q).(12)
Из микроэкономики известно, что для того, чтобы прибыль была максимальной, необходимо, чтобы предельный доход и предельные издержки были равны, т.е. MR(q) = MC(q). Действительно, из необходимого условия экстремума для функции (?) следует, что P'(q) = 0, откуда и следует указанное равенство. Точка q0, удовлетворяющая равенству P'(q) = 0 является подозрительной на экстремум. Согласно второму достаточному условию существования экстремума, если P''(q0)<0, то q0– точка максимума функции P(q). Данное условие выполнится, если, например, R''(q)<0, а C''(q)>0, что согласуется с экономической теорией.

Пример 18. Пусть

R(q) = 100q-q2, C(q) = q3-37q2+169q+4000.
Тогда прибыль определяется формулой
P(q) = -q3+36q2-69q-4000. P'(q) = -3q2+72q-69=0,
или q2-24q+23=0. Корни уравнения q1 = 1, q2 = 23.
P''(q) = -6q+72, P''(1) = 66, P''(23) = -66<0,
следовательно, при q = 23 Pmax = 1290.

Оптимизация налогообложения предприятий

Пусть t– налог с единицы выпускаемой продукции. Тогда общий налог с q единиц продукции составит T=tq. В этом случае функция прибыли будет иметь вид
P(q) = R(q)-C(q)-tq.
Исследуем вопрос о том, каким должен быть налог t, чтобы величина суммарного налога T была наибольшей? Рассмотрим следующий пример.

Пример 19. Пусть R(q) = 16q-q2, C(q) = q2+1, тогда P(q) = 16q-2q2-tq-1. Найдем значение q максимизирующее функциюP(q). P'(q) = 16-4q-t. Отсюда, q = 4-t/4. Заметим, что P''<"0<q<16. Определим при каких t суммарный налог T будет максимальным.

T=qt=t(4-t/4), T' = 4-t/2=0, t = 8, T'' = -1/2<0,
следовательно, при t = 8, q = 2, P(2) = 7, Tmax = 16. Отметим, что при t = 0 q = 4, Pmax = 31. Следовательно, уменьшение налога стимулирует рост выпуска продукции и ведет к увеличению прибыли.

Упражнение 3. Общие затраты на производство q единиц товара определяются равенством C(q) = aq+l q3, a<p, l>0, p-цена за единицу товара. Найти оптимальный для производителя объем выпуска продукции и соответствующую ему прибыль.

http://matan.isu.ru/




БАНКОВСКОЕ ДЕЛО
БУХГАЛТЕРСКИЙ, УПР. И ФИН. УЧЕТ
БЮДЖЕТ И БЮДЖЕТНАЯ СИСТЕМА РФ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ
ГУМАНИТАРНЫЕ НАУКИ
ДОКУМЕНТОВЕДЕНИЕ И ДЕЛОПРОИЗВОДСТВО
ИНВЕСТИЦИИ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В ЭКОНОМИКЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
МАРКЕТИНГ
МЕНЕДЖМЕНТ
МЕТ. РЕКОМЕНДАЦИИ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МИРОВАЯ ЭКОНОМИКА И МЭО
НАЛОГИ И НАЛОГООБЛОЖЕНИЕ
ПЛАНИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
ПРАВОВЕДЕНИЕ
РАЗРАБОТКА УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ
СТАТИСТИКА
УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ
УЧЕБНИКИ, ЛЕКЦИИ, ШПАРГАЛКИ (СКАЧАТЬ)
ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ
ФИНАНСЫ, ДЕНЕЖНОЕ ОБРАЩЕНИЕ И КРЕДИТ
ЦЕНЫ И ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ
ЭКОНОМИКА
ЭКОНОМИКА, ОРГ-ЦИЯ И УПР-НИЕ ПРЕДПРИЯТИЕМ
ЭКОНОМИКА И СОЦИОЛОГИЯ ТРУДА
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ (МИКРО-, МАКРО)
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ЭКОНОМЕТРИКА
Оформить заказ
Ваше имя *
Ваш e-mail *
Контактный телефон
Город *
Учебное заведение *
Предмет *
Тип работы *
Тема работы/вариант *
Кол-во страниц
Срок выполнения *
Прикрепить файл
Дополнительные условия


Статистика
Онлайн всего: 43
Гостей: 43
Пользователей: 0