Экономический смысл производной

Пусть y(x) -функция, характеризующая, например, издержки производства, где x - количество выпускаемой продукции. Тогда отношение y(x)/x описывает средние издержки, приходящиеся на одно изделие. Средняя величина обозначается Ay или Af (от английского "average".) Среднее приращение, средний прирост, средняя скорость изменения определяется отношением D y/D x. Производная

Определение 13. Отношение  называется темпом прироста функции y. Отношение  называется мгновенным темпом прироста.

Обычно степень влияния одной переменной на другую, зависимую от нее, измеряют производной данной функции. Однако часто экономистов интересуют относительные изменения величин. Например, если маленькое яблоко подорожало на 2,5 рубля, то при этом ьольшое, скажем, на 5. В тоже время, если яблоки подорожали в 1,5 раза, то в 1,5 раза дороже стало и маленькое, и большое яблоко, и килограмм, и вагон яблок. Поэтому для анализа относительных изменений вместе с понятием производной используют понятиеэластичности.

Определение 14 (эластичность). Эластичностью функции E_x(y) называется величина

Определение 15. Будем говорить, что y(x) эластична в точке x,если |E_x(y)|>1, y(x) неэластична, если |E_x(y)| <1, и нейтральна, если |E_x(y)| = 1.

Рассмотрим некоторые свойства эластичности.

1. Эластичность - безразмерная величина, ее значение не зависит от того, в каких единицах измерены аргумент и функция. Если u = Ax, v = By, то E_u(v) = (dv/du)· u/v=(B/A)· (dy/dx)· (Ax/By) = E_x(y);
2. Эластичности взаимно обратных функций - взаимно обратные величиныE_y(x) = (dx/dy)·(y/x) = 1/E_x(y).
3. Эластичность функции равна произведению независимой переменной x на темп изменения функции T_y = (ln y)' = y'/y, то естьE_x(y) = xT_y.
4. Эластичность произведения (частного) двух функций равна сумме (разности) эластичностей этих функций:E_x(uv) = E_x(u)+E_x(v), E_x(u/v) = E_x(u)-E_x(v).
5. Из последнего свойства следуют формулыE_x(xy) = E_x(x)+E_x(y) = 1+E_x(y)отсюда, если E_x(y)>-1, то xy монотонно возрастает; еслиE_x(y)<-1, то xy монотонно убывает. Аналогично,E_x(y/x) = E_x(y)-E_x(x) = E_x(y)-1

Пример 16. Как связаны предельные и средние полные затраты предприятия, если эластичность полных затрат равна 1?

Решение. Пусть затраты выражены функцией y(x), где x - объем выпускаемой продукции. Тогда средние затраты равны y/x. Найдем эластичность отношения

В анализе ценовой политики используется понятие эластичности спроса. Пусть d=d(p) функция спроса от цены товара p. Тогда эластичность определяется по формуле

Отметим три вида спроса:

1. если E_p(d)<-1, то спрос считается эластичным;
2. если E_p(d)>-1, то спрос неэластичен;
3. если E_p(d) = -1, то спрос нейтрален.

Пример 17. Пусть известны функции спроса d=7-p и функция предложения s=p+1, где p - цена. Нужно найти равновесную цену и эластичности спроса и предложения.

Решение. Равновесная цена определяется из условия d=s, поэтому 7-p=p+1, откуда p=3. Найдем эластичность спроса и предложения

Упражнение 2. Пусть функции спроса d=(p+8)/(p+2), и предложения s=p+0,5, где p -цена товара. Найти равновесную цену и эластичность спроса и предложения для этой цены.

Максимизация прибыли

Пример 18. Пусть

Оптимизация налогообложения предприятий

Пример 19. Пусть R(q) = 16q-q2, C(q) = q2+1, тогда P(q) = 16q-2q2-tq-1. Найдем значение q максимизирующее функциюP(q). P'(q) = 16-4q-t. Отсюда, q = 4-t/4. Заметим, что P''<0 "0<q<16. Определим при каких t суммарный налог T будет максимальным.

Упражнение 3. Общие затраты на производство q единиц товара определяются равенством C(q) = aq+l q3, a<p, l>0, p-цена за единицу товара. Найти оптимальный для производителя объем выпуска продукции и соответствующую ему прибыль.