Главная » Учебно-методические материалы » ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ » Математический анализ: справочное пособие. Романова О.А. |
22.12.2011, 14:54 | |||
Неопределенный интегралОпределение 16 (первообразная). Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на множестве XН R, если в каждой точке этого множества F'(x) = f(x). Например, функция F(x) = x2/2 является первообразной для функции f(x) = x, так как (x2/2)' = x. Очевидно, что если F(x) - первообразная функция для функции f(x) на множестве X, то функция F(x)+C, где C - некоторая постоянная, также является первообразной для функции f(x), xО X, так как (F(x)+C)' = F'(x) = f(x). Геометрически это означает, что если найдена одна кривая y = F(x), являющаяся первообразной, то, сдвигая ее вдоль оси ординат, мы снова получим кривые, удовлетворяющие условию (F(x)+C)' = f(x). Справедлива Теорема 14. Если F1(x), F2(x) - первообразные для функции f(x) на некотором множестве X, то найдется такое число C, что справедливо равенство F2(x) = F1(x)+C. Доказательство. Так как (F2(x)-F1(x))' = F'2(x)-F'1(x) = f(x)-f(x) = 0, xО X, то F2(x)-F1(x) = C, то есть F2(x) = F1(x)+C. Определение 17 (неопределенный интеграл). Совокупность Если F(x) - некоторая первообразная для f(x), то пишут Основные свойства неопределенного интеграла
Таблица интеграловРанее была указана таблица производных от основных элементарных функций (см. 1.6). Приведем таблицу основных интегралов. Справедливость ниже указанных формул легко проверить дифференцированием.Метод подстановкиЗамена переменной интегрирования является одним из эффективных методов сведения интеграла к табличному. Этот прием интегрирования называется методом подстановки.Теорема 15 (метод подстановки). Пусть функция x = f (t) определена и дифференцируема на некотором множестве T, а X - множество значений этой функции, на котором определена f(x). Тогда, если функция f(x) имеет первообразную на X, то на T справедлива следующая формула Доказательство. Пусть F(x) – первообразная для f(x) на X, то есть F' (x) = f(x). Используя правило дифференцирования сложной функции, получим | http://matan.isu.ru/ |