Контрольные, курсовые, рефераты, тесты – готовые и на заказ!
 Гарантия качества, доступные цены, индивидуальный подход
 Работы выполняют высококвалифицированные специалисты
Войти      Регистрация
 тел. 8-912-388-82-05
  std72@mail.ru
> 20 лет успешной работы
> 50000 выполненных заказов
Отзывы/вопросы

Форма входа



Главная » Учебно-методические материалы » ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ » Математический анализ: справочное пособие. Романова О.А.

7. Интегральное исчисление функции одной переменной
22.12.2011, 14:54

Неопределенный интеграл

Определение 16 (первообразная). Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на множестве XН R, если в каждой точке этого множества F'(x) = f(x).

Например, функция F(x) = x2/2 является первообразной для функции f(x) = x, так как (x2/2)' = x. Очевидно, что если F(x) - первообразная функция для функции f(x) на множестве X, то функция F(x)+C, где C - некоторая постоянная, также является первообразной для функции f(x), xО X, так как (F(x)+C)' = F'(x) = f(x). Геометрически это означает, что если найдена одна кривая y = F(x), являющаяся первообразной, то, сдвигая ее вдоль оси ординат, мы снова получим кривые, удовлетворяющие условию (F(x)+C)' = f(x).

Справедлива

Теорема 14. Если F1(x), F2(x) - первообразные для функции f(x) на некотором множестве X, то найдется такое число C, что справедливо равенство F2(x) = F1(x)+C.

Доказательство. Так как (F2(x)-F1(x))' = F'2(x)-F'1(x) = f(x)-f(x) = 0, xО X, то F2(x)-F1(x) = C, то есть F2(x) = F1(x)+C.

Определение 17 (неопределенный интеграл). Совокупность 
всех первообразных функций для функции f(x), определенных на множестве X, называется неопределенным интегралом от функции f(x) на множестве X и обозначается

 f(x)dx.

Если F(x) - некоторая первообразная для f(x), то пишут

 f(x)dx = F(x)+C.

Основные свойства неопределенного интеграла

  1.  dF(x) = F(x)+C. Справедливость этого равенства следует из очевидной цепочки равенств
     dF(x) =  F'(x)dx =  f(x)dx = F(x)+C.
  2. d f(x)dx = f(x)dx. Данная формула следует из равенства
    d f(x)dx = d(F(x)+C) = dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx.
  3. Если функции f1(x), f2(x) имеют первообразные, то функция f1(x)+f2(x) тоже имеет первообразную, причем
     (f1(x)+f2 (x))dx =  f1(x)dx+ f2(x)dx.
  4. Если функция f(x) имеет первообразную и k– постоянная, то и функция kf(x) также имеет первообразную, причем при k 0 справедливо равенство
     kf(x)dx = k f(x)dx.
Заметим, что свойства 3 и 4 следуют из свойств производной.

Таблица интегралов

Ранее была указана таблица производных от основных элементарных функций (см. 1.6). Приведем таблицу основных интегралов. Справедливость ниже указанных формул легко проверить дифференцированием. 

Метод подстановки

Замена переменной интегрирования является одним из эффективных методов сведения интеграла к табличному. Этот прием интегрирования называется методом подстановки.

Теорема 15 (метод подстановки). Пусть функция x = f (t) определена и дифференцируема на некотором множестве T, а X - множество значений этой функции, на котором определена f(x). Тогда, если функция f(x) имеет первообразную на X, то на T справедлива следующая формула

 f(x)dx =  f(f (t))f(t)dt.(13)

Доказательство. Пусть F(x) – первообразная для f(x) на X, то есть F' (x) = f(x). Используя правило дифференцирования сложной функции, получим

(F(f (t)))' = F'x(f(t))f '(t) = f(f(t))f '(t).
Таким образом,
 f(f (t))f'(t)dt=F(f(t))+C.
Так как  f(x)dx = F(x)+C, то получим формулу (13).
http://matan.isu.ru/




БАНКОВСКОЕ ДЕЛО
БУХГАЛТЕРСКИЙ, УПР. И ФИН. УЧЕТ
БЮДЖЕТ И БЮДЖЕТНАЯ СИСТЕМА РФ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ
ГУМАНИТАРНЫЕ НАУКИ
ДОКУМЕНТОВЕДЕНИЕ И ДЕЛОПРОИЗВОДСТВО
ИНВЕСТИЦИИ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В ЭКОНОМИКЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
МАРКЕТИНГ
МЕНЕДЖМЕНТ
МЕТ. РЕКОМЕНДАЦИИ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МИРОВАЯ ЭКОНОМИКА И МЭО
НАЛОГИ И НАЛОГООБЛОЖЕНИЕ
ПЛАНИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
ПРАВОВЕДЕНИЕ
РАЗРАБОТКА УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ
СТАТИСТИКА
УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ
УЧЕБНИКИ, ЛЕКЦИИ, ШПАРГАЛКИ (СКАЧАТЬ)
ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ
ФИНАНСЫ, ДЕНЕЖНОЕ ОБРАЩЕНИЕ И КРЕДИТ
ЦЕНЫ И ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ
ЭКОНОМИКА
ЭКОНОМИКА, ОРГ-ЦИЯ И УПР-НИЕ ПРЕДПРИЯТИЕМ
ЭКОНОМИКА И СОЦИОЛОГИЯ ТРУДА
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ (МИКРО-, МАКРО)
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ЭКОНОМЕТРИКА
Оформить заказ
Ваше имя *
Ваш e-mail *
Контактный телефон
Город *
Учебное заведение *
Предмет *
Тип работы *
Тема работы/вариант *
Кол-во страниц
Срок выполнения *
Прикрепить файл
Дополнительные условия


Статистика
Онлайн всего: 8
Гостей: 8
Пользователей: 0