Контрольные, курсовые, рефераты, тесты – готовые и на заказ!
 Гарантия качества, доступные цены, индивидуальный подход
 Работы выполняют высококвалифицированные специалисты
Войти      Регистрация
 тел. 8-912-388-82-05
  std72@mail.ru
> 20 лет успешной работы
> 50000 выполненных заказов
Отзывы/вопросы

Форма входа



Главная » Учебно-методические материалы » ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ » Теория вероятности

ТЕМА 3. Статистические методы (2)
22.12.2011, 13:20

3.10. Сравнение двух дисперсий
нормальных генеральных совокупностей

     На практике задача сравнения дисперсий возникает, если требуется сравнить точность приборов, инструментов, самих методов измерений и т.д. Очевидно, предпочтительнее тот прибор, инструмент и метод, который обеспечивает наименьшее рассеяние результатов измерений, т.е. наименьшую дисперсию.
     Пусть необходимо проверить гипотезу о том, что две независимые выборки получены из генеральных совокупностей Х и Y с одинаковыми дисперсиями σх2 и σy2. Для этого используется F-критерий Фишера.
     Порядок применения F-критерия следующий:
     1. Принимается предположение о нормальности распределения генеральных совокупностей. При заданном уровне значимости α формулируется нулевая гипотеза Н0: σх2y2 о равенстве генеральных дисперсий нормальных совокупностей при конкурирующей гипотезе Н1: σх2 > σy2.
     2. Получают две независимые выборки из совокупностей Х и Y объемом nx и ny соответственно.
     3. Рассчитывают значения исправленных выборочных дисперсий sх2 и sy2 (методы расчета рассмотрены в 4.4). Большую из дисперсий (sх2 или sy2) обозначают  s12, меньшую – s22.
     4. Вычисляется значение F-критерия по формуле Fнаблs12/s22.
     5. По таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора, по заданному уровню значимости α и числом степеней свободы ν1=n1–1, ν2=n2–1 (ν1 – число степеней свободы большей исправленной дисперсии), находится критическая точка Fкр(σ,ν1, ν2).
     Отметим, что в таблице П.7 приведены критические значения одностороннего F-критерия. Поэтому, если применяется двусторонний критерий (Н1: σх2≠σy2 ), то правостороннюю критическую точку Fкр (α/2, n1, n2) ищут по уровню значимости α/2 (вдвое меньше заданного) и числам степеней свободы n1 и n2 (n1–число степеней свободы большей дисперсии). Левостороннюю критическую точку можно и не отыскивать.
     6. Делается вывод: если вычисленное значение F–критерия больше или равно критическому (Fнабл ≥ Fкр), то дисперсии различаются значимо на заданном уровне значимости. В противном случае (Fнабл < Fкр) нет оснований для отклонения нулевой гипотезы о равенстве двух дисперсий.
     Задача 3.5. Расход сырья на единицу продукции по старой технологии составил:
    

Расход сырья хi304307308
Число изделий mi144

     По новой технологии:
Расход сырья yi303304306308
Число изделий ni2641

     Предположив, что соответствующие генеральные совокупности X и Y имеют нормальные распределения, проверить, что по вариативности расход сырья по новой и старой технологиям не отличаются, если принять уровень значимости α = 0,1.
     Решение. Действуем в порядке, указанном выше.
     1. Будем судить о вариативности расхода сырья по новой и старой технологиям по величинам дисперсий. Таким образом, нулевая гипотеза имеет вид Н0: σх2 = σy2. В качестве конкурирующей примем гипотезу Н1х2 ≠ σy2, поскольку заранее не уверены в том, что какая-либо из генеральных дисперсий больше другой.
     2–3. Найдем выборочные дисперсии. Для упрощения вычислений перейдем к условным вариантам:
     ui=xi – 307,                                     vi= yi – 304.
     Все вычисления оформим в виде следующих таблиц:
    
uimimiuimiui2mi(ui+1)2vininivinivi2ni(vi+1)2
–31–394–12–220
0400406006
1444162481636
Σ9113244141625
Σ13103467
Контроль: Σ miui2+2Σ miui+m=13+2+9=24Контроль: Σnivi2+2Σnivi+n
=34+20+13=67

     Найдем исправленные выборочные дисперсии:
     
     4. Сравним дисперсии. Найдем отношение большей исправленной дисперсии к меньшей:
     .
     5. По условию конкурирующая гипотеза имеет вид σх2 ≠ σy2, поэтому критическая область двусторонняя и при отыскании критической точки следует брать уровни значимости, вдвое меньше заданного.
     По таблице П.7 по уровню значимости α/2 = 0,1/2 = 0,05 и числам степеней свободы ν1=n1–1=12, ν2=n2–1=8 находим критическую точку Fкр(0,05; 12;8)=3,28.
     6. Так как Fнабл. < Fкр то гипотезу о равенстве дисперсий расхода сырья при старой и новой технологиях принимаем.
     Выше, при проверке гипотез предполагалось нормальность распределения исследуемых случайных величин. Однако специальные исследования показали, что предложенные алгоритмы весьма устойчивы (особенно при больших объемах выборок) по отношению к отклонению от нормального распределения.

3.11. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей

     В экономических исследованиях очень часто возникает задача сравнения средних двух генеральных совокупностей, представленных выборками. Для решения этой задачи в случае распределений, близких к нормальному, используетсяt-тест Стьюдента. Рассмотрим алгоритм его использования. 
     Пусть имеются две выборки объемом n1 и n2. Проверяем H0a1=a2.
     1. Вначале вычисляются оценки средних  и несмещенные оценки дисперсий s12, s22.
     2. В соответствии с 6.2. на заданном уровне значимости проверяется гипотеза о равенстве дисперсий H ̃0: σ12 = σ22при альтернативной H̃0: σ12 ≠ σ22.
     3.1. Если H ̃0 принимается, то вычисляется статистика
      где  и сравнивается с , найденное по табл. П. 6. Приложения (при этом для H1:a1 > a2. или H1a1 < a2 берется односторонняя область, для H1a1 ≠ a2 – двусторонняя). Если t ≤ tкр, то Н0принимается.
     3.2. Если H̃0 отвергается, то вычисляется статистика 
     
     и сравнивается с tкр=tα(k), найденное по табл. П.6. Приложения (при этом для H1a1>a2 или H1:a1<a2 берется односторонняя область, для H1:a1a2 – двусторонняя), где  (округляется до целого). Если t≤ t кр, то Н0принимается.
     Задача 3. 6. (сравнение средних). При измерении производительности двух агрегатов получены следующие результаты (в кг вещества за час работы):

№ замера12345
Агрегат А14,110,114,713,714,0
Агрегат В14,014,513,712,714,1

     Можно ли считать, что производительности агрегатов А и В в среднем одинаковы, в предположении, что обе выборки получены из нормально распределенных генеральных совокупностей? Принять а = 0,10.
     Решение. Проверяется гипотеза H0:a1=a2 при альтернативной гипотезе H1:a1 ≠ a2. Вычислим оценки средних и дисперсий:
        
     Предварительно проверим гипотезу о равенстве дисперсий H0::
     
     так как  (табл. П.8. Приложения), то гипотеза о равенстве дисперсий отклоняется. Для проверки гипотезы о равенстве средних используем критерии из пункта 3.2. Вычислим выборочное значение статистики критерия:
      
     Число степеней свободы  Так как по табл. П.6. Приложения tкр=t0,05(5) = 2,01, гипотеза о равенстве средних принимается.

http://math.immf.ru/




БАНКОВСКОЕ ДЕЛО
БУХГАЛТЕРСКИЙ, УПР. И ФИН. УЧЕТ
БЮДЖЕТ И БЮДЖЕТНАЯ СИСТЕМА РФ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ
ГУМАНИТАРНЫЕ НАУКИ
ДОКУМЕНТОВЕДЕНИЕ И ДЕЛОПРОИЗВОДСТВО
ИНВЕСТИЦИИ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В ЭКОНОМИКЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
МАРКЕТИНГ
МЕНЕДЖМЕНТ
МЕТ. РЕКОМЕНДАЦИИ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МИРОВАЯ ЭКОНОМИКА И МЭО
НАЛОГИ И НАЛОГООБЛОЖЕНИЕ
ПЛАНИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
ПРАВОВЕДЕНИЕ
РАЗРАБОТКА УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ
СТАТИСТИКА
УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ
УЧЕБНИКИ, ЛЕКЦИИ, ШПАРГАЛКИ (СКАЧАТЬ)
ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ
ФИНАНСЫ, ДЕНЕЖНОЕ ОБРАЩЕНИЕ И КРЕДИТ
ЦЕНЫ И ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ
ЭКОНОМИКА
ЭКОНОМИКА, ОРГ-ЦИЯ И УПР-НИЕ ПРЕДПРИЯТИЕМ
ЭКОНОМИКА И СОЦИОЛОГИЯ ТРУДА
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ (МИКРО-, МАКРО)
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ЭКОНОМЕТРИКА
Оформить заказ
Ваше имя *
Ваш e-mail *
Контактный телефон
Город *
Учебное заведение *
Предмет *
Тип работы *
Тема работы/вариант *
Кол-во страниц
Срок выполнения *
Прикрепить файл
Дополнительные условия


Статистика
Онлайн всего: 22
Гостей: 22
Пользователей: 0