Контрольные, курсовые, рефераты, тесты – готовые и на заказ!
 Гарантия качества, доступные цены, индивидуальный подход
 Работы выполняют высококвалифицированные специалисты
Войти      Регистрация
 тел. 8-912-388-82-05
  std72@mail.ru
> 20 лет успешной работы
> 50000 выполненных заказов
Отзывы/вопросы

Форма входа



Главная » Учебно-методические материалы » ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ » Высшая математика: лекционный курс

ТЕМА 2. Матричная алгебра
22.12.2011, 13:08

При решении экономических задач применяются методы экономико-математического моделирования, использующие решение систем линейных алгебраических уравнений. Для изучения методов решения систем уравнений введем понятия матриц и определителей.

1. Виды матриц

    Определение. Таблица m x n чисел aij вида
    , состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей.
     Числа aij, стоящие на пересечении i-й строки и j-го столбца, называются элементами матрицы.
     Матрицы А=(аij) и В=(bij) называются равными, если они имеют одинаковые размеры и для каждой пары индексов выполняется равенство aij= bij.
     Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю:
          .
     Матрица, у которой m=n, называется квадратной матрицей n-го порядка.
     В квадратной матрице элементы a11а22, … аnn составляют главную диагональ. Квадратная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной:
         .

2. Действия над матрицами

    1. Умножение матрицы на число
     Произведением матрицы  на число λ называется матрица .
     Пример. Найти произведение матрицы  на число λ=3.
     
     .

     2.Сложение (вычитание) матриц
     Суммой (разностью) матриц А и В, в каждой из которых m строк и n столбцов, называется матрица С с элементами, равными суммам (разностям) соответствующих элементов слагаемых:
     
     
     Пример. Найти сумму матриц  и .
     
     Решение. .
     
     3.Умножение матриц
     Пусть даны матрица  размерности  и 
          матрица  размерности .
     Пусть число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В (в этом случае матрицу А называют согласованной с матрицей В).
     Произведением матрицы А на матрицу В называется такая матрица  размерности, каждый элемент которой находится как сумма произведений элементов, взятых по порядку из i-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В.
     Пример. Найти произведение матриц  и .
     Решение:  
     Пример. Найти произведение матриц  
     Решение: .
     Еще раз отметим, что в матрице-произведении число строк равно числу строк матрицы А и число столбцов равно числу столбцов матрицы В.

3. Определители

     Понятие определителя вводится только для квадратной матрицы и представляет собой число, которое находится по определенному правилу через элементы, составляющие данную матрицу.
     Для квадратной матрицы  n-го порядка определитель n-го порядка обозначается символом:
     Δ=.                                                            (1)
     В определителе различают строки и столбцы. Числа aij( i=1,…,nj=1,…,n) называются элементами определителя.
     Определение. Минором Мij элемента аij определителя (1) называется определитель (n-1)-го порядка, который получается из определителя Δ путем вычеркивания i-ой строки из j-го столбца, на пересечении которых стоит элементаij
     Определение. Алгебраическим дополнением А ij элемента аij называется  произведение (-1)i+ jМij.
     Не вводя строгое понятие определителя, дадим лишь правило его нахождения.
     Определитель Δ = n-го порядка находится по формуле:
     Δ                                             (2) 
    

     где i - любое из чисел 1,2,…, nА ij – алгебраическое дополнение элемента а ij .
     Найдем по формуле (2) определитель 2-го порядка, выбрав, например, i=1: Δ = 
     Из формулы (2) следует, что вычисление определителей >N-го порядка сводится к вычислению определителей (>n-1)-го порядка (т.е. миноров). Те, в свою очередь, опять по формуле (2) сводятся к определителям (n-2)-го порядка. Процесс нахождения определителей продолжается до получения миноров 2-го или 1-го порядка. Запись (2) называется разложением определителя по элементам i-ой строки.
     Пример. Вычислить определитель третьего порядка Δ = .
     Решение:      
                         .
     Разложение было выполнено по элементам 1-ой строки. 
     Заметим, что если некоторые элементы строки, по элементам которой производится разложение, равны нулю, то вычисление значительно упрощается. Обычно, пользуясь свойствами определителя, преобразуем его таким образом, чтобы в выбранной строке (выбранном столбце) все элементы кроме одного, равнялись нулю.    

Свойства определителей

     Величина определителя не меняется от замены строк столбцами (проверьте самостоятельно). Из этого свойства  следует, что определитель можно найти, разлагая его также и по элементам какого-либо столбца: Δ = , где j - номер любого из столбцов.
     Если любую строку или столбец матрицы умножить на некоторое число, то определитель также умножится на это число. При этом общий множитель  элементов любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя.
     Величина определителя не изменится, если к элементам любой строки (столбца) прибавить элементы любой другой строки (столбца), умноженные на произвольное одинаковое число.
     Пример: Вычислить определитель четвертого порядка:
     Δ = .
     Решение.
     1) Вынесем из второго столбца за знак определителя общий множитель 2; умножим первую строку на (–4) и сложим со второй строкой; умножим первую строку на (–3) и сложим с третьей; умножим первую строку на (–2) и сложим с четвертой, получим:
     Δ = .
     Вынесем за знак определителя из третьей строки общий множитель 2, получим определитель
     Δ = .
     Разложим определитель Δ по элементам первого столбца, получим определитель третьего порядка, который вычислим, разлагая его по элементам 1-й строки:
     
    

4. Обратная матрица

     Определение. Квадратная матрица n-го порядка называется невырожденной, если ее определитель n-го порядка Δ. Если определитель матрицы равен нулю, то она называется вырожденной.
     Определение. Матрица В называется обратной для данной квадратной матрицы А, если АВ =ВА=Е, где Е – единичная матрица. Обратную матрицу для данной матрицы А обозначают А-1, поэтому:
     А-1=А-1 А=Е.
     Если квадратная матрица невырожденная, то для нее существует единственная обратная матрица.
     Пусть задана квадратная матрица
     .
     Тогда обратная матрица А-1 находится следующим образом:
     ,
     где Δ – определитель матрицы А, Аij – алгебраическое дополнение элемента а ij ( i =1,…, n ; j =1, …, n ). Необходимо обратить внимание, что, находя алгебраические дополнения к элементам строк матрицы А, в обратной матрице А-1 мы записываем их по соответствующим столбцам.
     Пример. Найти матрицу, обратную матрице 
     Проверить результат, вычислив произведение данной и обратной матриц.
     Решение. Определитель матрицы А вычислен ранее:
     Δ = .
     Так, как Δ , то матрица А невырожденная и для нее существует обратная.
     Найдем алгебраические дополнения каждого элемента матрицы А:
     
     
     Следовательно: 
     Проверка: 
     
     Ответ: .

http://math.immf.ru/




БАНКОВСКОЕ ДЕЛО
БУХГАЛТЕРСКИЙ, УПР. И ФИН. УЧЕТ
БЮДЖЕТ И БЮДЖЕТНАЯ СИСТЕМА РФ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ
ГУМАНИТАРНЫЕ НАУКИ
ДОКУМЕНТОВЕДЕНИЕ И ДЕЛОПРОИЗВОДСТВО
ИНВЕСТИЦИИ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В ЭКОНОМИКЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
МАРКЕТИНГ
МЕНЕДЖМЕНТ
МЕТ. РЕКОМЕНДАЦИИ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МИРОВАЯ ЭКОНОМИКА И МЭО
НАЛОГИ И НАЛОГООБЛОЖЕНИЕ
ПЛАНИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
ПРАВОВЕДЕНИЕ
РАЗРАБОТКА УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ
СТАТИСТИКА
УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ
УЧЕБНИКИ, ЛЕКЦИИ, ШПАРГАЛКИ (СКАЧАТЬ)
ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ
ФИНАНСЫ, ДЕНЕЖНОЕ ОБРАЩЕНИЕ И КРЕДИТ
ЦЕНЫ И ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ
ЭКОНОМИКА
ЭКОНОМИКА, ОРГ-ЦИЯ И УПР-НИЕ ПРЕДПРИЯТИЕМ
ЭКОНОМИКА И СОЦИОЛОГИЯ ТРУДА
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ (МИКРО-, МАКРО)
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ЭКОНОМЕТРИКА
Оформить заказ
Ваше имя *
Ваш e-mail *
Контактный телефон
Город *
Учебное заведение *
Предмет *
Тип работы *
Тема работы/вариант *
Кол-во страниц
Срок выполнения *
Прикрепить файл
Дополнительные условия


Статистика
Онлайн всего: 19
Гостей: 19
Пользователей: 0