1. Основные формулы в декартовых прямоугольных координатах

     При решении задач аналитической геометрии будем использовать действия над векторами, заданными в координатной форме.
     Пусть даны векторы  и . Тогда:
     1) при сложении (вычитании) векторов  получим вектор ;
     2) при умножении вектора  на число λ получим вектор ;
     3) при скалярном произведении векторов  получим число .
     Расстояние между двумя точками
     Даны точки А (x_A, y_A) и В (x_В, y_В). Расстояние между ними найдем, как длину вектора  = (x_В – x_А, y_B - y_A). Из скалярного произведения имеем . Подсчитав скалярное произведение через координаты вектора , получаем расстояние между двумя точками 
     .                                  (1)
     Угол между двумя векторами
     Даны два вектора:  и . Косинус угла между ними:
     .                            (2)
     Деление отрезка в заданном отношении
     Пусть даны точки А (x_А y _А), и В (x_В y _В ). Требуется найти координаты точки С (x, y ) , делящей отрезок  АВ в заданном отношении λ:
    

В      A                           С

.

2. Линии и их уравнения

     Понятия уравнения линии является дальнейшим развитием метода координат. Если точка в аналитической геометрии на плоскости определяется двумя числами (координатами точки), то линия определяется уравнением, связывающим координаты любой точки линии (уравнение линии). Составление уравнения линии заключается в алгебраической записи свойства, характеризующего эту линию как геометрическое место точек.
     Точка пересечения двух линий, заданных уравнениями, может быть найдена путем решения системы, образованной из этих уравнений.
     На примере уравнения окружности (х–а)² + (у–b)² = R² видно, что кроме текущих координат х и у , уравнение может содержать еще и некоторые величины, остающиеся неизменными для данной фиксированной линии, но изменяющиеся при переходе к другой линии того же типа. В нашем примере это величины а, b и R , имеющие для каждой окружности свое значение. Такие величины называются параметрами, они определяют форму и размеры линии (например, параметр R в уравнении окружности), а также положение ее на плоскости относительно системы координат (как, например, координаты а и b центра окружности).
     Пример. Найти уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от прямой х = –2 и точки F (2,3).
     Решение. Пусть М(х,у) – произвольная точка искомой линии.
     Расстояние от точки М до прямой х = –2 есть длина перпендикуляра MN , опущенного из М на прямую. Определим координаты точки N . Очевидно, что абсцисса точки N равна –2, а ордината точки N равна ординате точки М, т.е. N (–2,у). По условию задачи | MN |=| MF |. Следовательно, для любой точки М(х,у), принадлежащей искомой линии, справедливо равенство:
    

или      .      Упростим полученное уравнение:            или .      Это и есть искомое уравнение.

N       y       M(x,y)                    F(2,3)                   –2     0        2       x

3. Уравнение прямой линии в пространстве R²: общее, каноническое уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

     В декартовой системе координат прямая представлена уравнением первой степени и, наоборот, всякое уравнение первой степени Ах+Ву+С = 0 представляет некоторую прямую. Различные виды уравнения прямой (с угловым коэффициентом, каноническое и т.п.) являются частными случаями этого общего уравнения.
     Построим уравнение прямой, проходящей через точку М₀(х₀, у₀) параллельно направляющему вектору . Возьмем любую точку N (х,у), лежащую на заданной прямой. Вектор   всегда будет параллелен вектору .
     Условие параллельности векторов =(х-х₀; у-у₀) и , дает каноническое уравнение прямой линии на плоскости: 
     .                                                                (1)
     Введем вектор , перпендикулярный искомой прямой. Тогда из условия перпендикулярности векторов и можно записать . В результате получаем уравнение: А(х-х₀)+В(у-у₀)=0 или 
     Ах+Ву+С=0,                                                    (2)
     где С=–Ах₀–Ву_0.
    

Уравнение (2) называется общим уравнением прямой на плоскости. Вектор  называется нормалью.      Пример. Написать уравнение прямой, проходящей через точку Q(2, –3) параллельно оси Оу.

Пусть даны точки М0(х0, у0) и М1(х1, у1). Требуется написать уравнение прямой, проходящей через эти точки. Для решения задачи воспользуемся уравнением (1). В качестве направляющего вектора воспользуемся вектором : .

4. Угол между двумя прямыми

Даны уравнения двух прямых. Требуется найти угол между ними. Угол между двумя непараллельными прямыми α1 и α2 найдем как угол между направляющими векторами этих прямых при задании канонических уравнений для α1 и α2, или же как угол между их нормалями, если заданы общие уравнения прямых α1 и α2.

5. Расстояние от точки до прямой

     Дана прямая Ах+Ву+С=0 и точка Q(х₁, у₁). Требуется найти расстояние от точки Q до прямой. Это расстояние находится по формуле:
                                                                (7)
     Пример. Даны вершины треугольника АВС: А(–2,3), В(1,12), С(11,6). Найти: 1) уравнение стороны АВ; 2) уравнение высоты СD, опущенной из вершины С на сторону АВ; 3) уравнение медианы АЕ;  4) уравнение окружности, для которой медиана АЕ служит диаметром.
     Решение. 1. Уравнение прямой, проходящей через точку А(х₁, у₁) и В(х₂, у₂), имеет вид . Чтобы найти уравнение стороны АВ, подставим координаты точек А и В в уравнение прямой:
     ; у –3=3х +6; у=3 х+9 (АВ).
     2. Высота СD перпендикулярна стороне АВ, а потому их угловые коэффициенты k_CD и k_AB удовлетворяют условию . Из уравнения прямой АВ следует, что k_AB =3, тогда .
     Напишем уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении: y – y₁ =k (x– x ₁) . Подставив в уравнение координаты точки С и угловой коэффициент k_CD получим искомое уравнение высоты СD:
        (СD).
     3. Определим координаты точки Е. Применяем формулы деления отрезка пополам: . Используя координаты вершин В и С получаем: 
     
     По точкам А и Е построим уравнение медианы АЕ:
     
     4. Уравнение окружности радикса R с центром в точке К(а,b) имеет вид ( х–а)² +(у–b) ²= R².
     Так как по условию медиана АЕ является диаметром искомой окружности; то центр окружности К делит отрезок АЕпополам. Находим координаты точки К:
     .
     Чтобы найти радиус R окружности, достаточно найти расстояние между точками А и К. Известно, что расстояние dмежду двумя точками плоскости М₁(х₁,у₁) и М₂(х₂,у₂) определяется по формуле: . Подставив координаты точек А и К, получаем , т.е. R=5. Следовательно, 
(х –2)² +(у –6)² =25 – искомое уравнение окружности.
     Пример. В треугольнике с вершинами А(2,3), В(–1,0), С(4,1) найти длину высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС.
     Решение. Составим уравнение прямой, проходящей через сторону ВС по формуле (5):
      или .
     Найдем длину высоты АЕ по формуле (7):
     .