Контрольные, курсовые, рефераты, тесты – готовые и на заказ!
 Гарантия качества, доступные цены, индивидуальный подход
 Работы выполняют высококвалифицированные специалисты
Войти      Регистрация
 тел. 8-912-388-82-05
  std72@mail.ru
> 20 лет успешной работы
> 50000 выполненных заказов
Отзывы/вопросы

Форма входа



Главная » Учебно-методические материалы » ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ » Высшая математика: лекционный курс

ТЕМА 4. Аналитическая геометрия
22.12.2011, 13:09

1. Основные формулы в декартовых прямоугольных координатах

     При решении задач аналитической геометрии будем использовать действия над векторами, заданными в координатной форме.
     Пусть даны векторы  и . Тогда:
     1) при сложении (вычитании) векторов  получим вектор ;
     2) при умножении вектора  на число λ получим вектор ;
     3) при скалярном произведении векторов  получим число .
     Расстояние между двумя точками
     Даны точки А (xAyA) и В (xВ, yВ). Расстояние между ними найдем, как длину вектора  = (xВ – xАyB yA). Из скалярного произведения имеем . Подсчитав скалярное произведение через координаты вектора , получаем расстояние между двумя точками 
     .                                  (1)
     Угол между двумя векторами
     Даны два вектора:  и . Косинус угла между ними:
     .                            (2)
     Деление отрезка в заданном отношении
     Пусть даны точки А (xА y А), и В (xВ y В ). Требуется найти координаты точки С (xy ) , делящей отрезок  АВ в заданном отношении λ:
    

        В
     A                           С
    
.

     Для решения задачи воспользуемся действием умножения вектора на число. Перепишем отношение   в виде: |AC|=λ| CB|. Такое соотношение длин может быть получено при выполнении действия .
     В равных векторах равны соответствующие координаты:
     .
     Из этих уравнений найдем неизвестные координаты точки С:
     .                                    (3)
     В частности, для середины имеем  и поэтому λ=1. Следовательно, координаты середины отрезка находятся по формулам:
                                         (4) 
     Условия параллельности и перпендикулярности векторов
     Так как скалярное произведение двух перпендикулярных векторов  и  равно 0, то условием перпендикулярности отличных от нуля векторов будет равенство .
     При умножении вектора  на скаляр  получаем вектор  одного направления с  при λ > 0и противоположного направления при λ < 0. Но всегда векторы  будут параллельны.
     Поэтому условием параллельности векторов  будет пропорциональность их соответствующих координат: .
     Пример. Найти длину медианы СЕ в треугольнике АВС с вершинами: А (3,3), В (–1,1), С (0,1).
     Решение. Так как Е – середина отрезка АВ, то по формуле (4) имеем: 
     .
     Длину медианы СЕ найдем по формуле (1):
     .
     Пример. Какие из векторов   будут параллельны и какие перпендикулярны между собой? 
     Решение. Векторы  перпендикулярны, т.к. . Векторы параллельны, т.к. .
     Пример. Найти геометрическое место точек, удаленных от точки А(а,b) на одно и тоже расстояние R.
     Решение. Если М(х,у) – произвольная точка искомого геометрического места, то всегда |АМ|=R или ,
     (х-а)+ (у-b)2 = R2 – искомое уравнение.

2. Линии и их уравнения

     Понятия уравнения линии является дальнейшим развитием метода координат. Если точка в аналитической геометрии на плоскости определяется двумя числами (координатами точки), то линия определяется уравнением, связывающим координаты любой точки линии (уравнение линии). Составление уравнения линии заключается в алгебраической записи свойства, характеризующего эту линию как геометрическое место точек.
     Точка пересечения двух линий, заданных уравнениями, может быть найдена путем решения системы, образованной из этих уравнений.
     На примере уравнения окружности (х–а)2 + (у–b)2 = R2 видно, что кроме текущих координат х и у , уравнение может содержать еще и некоторые величины, остающиеся неизменными для данной фиксированной линии, но изменяющиеся при переходе к другой линии того же типа. В нашем примере это величины аb и R , имеющие для каждой окружности свое значение. Такие величины называются параметрами, они определяют форму и размеры линии (например, параметр R в уравнении окружности), а также положение ее на плоскости относительно системы координат (как, например, координаты а и b центра окружности).
     Пример. Найти уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от прямой х = –2 и точки F (2,3).
     Решение. Пусть М(х,у) – произвольная точка искомой линии.
     Расстояние от точки М до прямой х = –2 есть длина перпендикуляра MN , опущенного из М на прямую. Определим координаты точки N . Очевидно, что абсцисса точки N равна –2, а ордината точки N равна ординате точки М, т.е. N (–2,у). По условию задачи | MN |=| MF |. Следовательно, для любой точки М(х,у), принадлежащей искомой линии, справедливо равенство:
    

     или
     .
     Упростим полученное уравнение:
     
     или .
     Это и есть искомое уравнение.
    
         
     N       y       M(x,y)
                   F(2,3)                   –2     0        2       x

3. Уравнение прямой линии в пространстве R2: общее, каноническое уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

     В декартовой системе координат прямая представлена уравнением первой степени и, наоборот, всякое уравнение первой степени Ах+Ву+С = 0 представляет некоторую прямую. Различные виды уравнения прямой (с угловым коэффициентом, каноническое и т.п.) являются частными случаями этого общего уравнения.
     Построим уравнение прямой, проходящей через точку М0(х0у0) параллельно направляющему вектору . Возьмем любую точку N (х,у), лежащую на заданной прямой. Вектор   всегда будет параллелен вектору .
     Условие параллельности векторов =(х-х0у-у0) и , дает каноническое уравнение прямой линии на плоскости: 
     .                                                                (1)
     Введем вектор , перпендикулярный искомой прямой. Тогда из условия перпендикулярности векторов и можно записать . В результате получаем уравнение: А(х-х0)+В(у-у0)=0 или 
     Ах+Ву+С=0,                                                    (2)
     где С=–Ах0Ву0.
    

    
    Уравнение (2) называется общим уравнением прямой на плоскости. Вектор  называется нормалью.
     Пример. Написать уравнение прямой, проходящей через точку Q(2, –3) параллельно оси Оу.
    Решение. В качестве направляющего вектора  можно взять вектор . Подставив данные в уравнении (1), получим: . Это каноническое уравнение обычно переписывают в общем виде: х–2=0 или х = 2.
     При  общее уравнение прямой (2) можно переписать в виде: 
     у=k x +b,                                                        (3)
     где .
     Уравнение (3) называется уравнением с угловым коэффициентом; угловой коэффициент k = tg α, где α – угол наклона прямой к оси Ох. При k=0 ( α= 0)уравнение (3) дает прямую, параллельную оси Ох. Из уравнения (3) нельзя получить уравнение прямой, параллельной оси Оу. Поэтому все семейство наклонных прямых (3) дополняется прямыми: 
     х=а,                                               (4) 
     параллельными оси Оу. Уравнение (4) получено из уравнения (2) при В=0, где .
     Уравнение прямой, проходящей через 2 точки
    
    
    
Пусть даны точки М0(х0, у0) и М1(х1, у1). Требуется написать уравнение прямой, проходящей через эти точки. Для решения задачи воспользуемся уравнением (1). В качестве направляющего вектора воспользуемся вектором .
    
      Подставим l =x 1 x0 и m= y1 –y0 в каноническое уравнение (1), получим уравнение прямой, проходящей через две точки: 
     .                                                              (5)
     Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении
     Пусть дана точка М0(х0, у0). Требуется написать уравнение прямой, проходящей через точку М0 в заданном направлении.
     Задачу будем решать в зависимости от того, как определено направление прямой. Если направление задается вектором , то такая прямая описывается уравнением (1). Если задан угловой коэффициент k= k1, то уравнение прямой будет находить в форме (3): y =k1 x+ b. Неизвестный коэффициент b найдем из условия y0 = k 1 x0 + b (точкаМ0 принадлежит прямой). Найденное b= y0 – k 1 x0 подставим в уравнение y =k1 x+ b. Искомое уравнение прямой запишем в виде: 
     y– y 0= k1 ( x– x 0).                                                            (6)
     Пример. Написать уравнение прямой, проходящей через точку Q(2,7) параллельно прямой 2х-4у+3=0.
     Решение. Найдем угловой коэффициент прямой 2 х–4у +3=0:
     .
     Для искомой прямой угловой коэффициент будет таким же, так как прямые параллельны. Подставим данные в уравнение (6):
     .

4. Угол между двумя прямыми


    
 
    Даны уравнения двух прямых. Требуется найти угол между ними. Угол между двумя непараллельными прямыми α1 и α2 найдем как угол между направляющими векторами этих прямых при задании канонических уравнений для α1 и α2, или же как угол между их нормалями, если заданы общие уравнения прямых α1 и α2.
     Пусть заданы две прямые α1 и α2
     Направляющие векторы этих прямых: и 
     Угол φ между прямыми найдем из скалярного произведения векторов  и .
     Пусть заданы общие уравнения прямых  и А1х+В1у+С1 = 0 и А 2х+В 2у+С 2=0. Тогда нормали к этим прямым:  и , и .
     Если , то из  и  следует: .
     Условием перпендикулярности прямых будет соответственно:
      либо  либо .
     Из последнего равенства следует, что . Таким образом угловые коэффициенты двух перпендикулярных прямых обратные по величине и противоположны по знаку.
     Условием параллельности прямых будет соответствовать:
      либо  либо .

5. Расстояние от точки до прямой

     Дана прямая Ах+Ву+С=0 и точка Q(х1, у1). Требуется найти расстояние от точки Q до прямой. Это расстояние находится по формуле:
                                                                (7)
     Пример. Даны вершины треугольника АВСА(–2,3), В(1,12), С(11,6). Найти: 1) уравнение стороны АВ; 2) уравнение высоты СD, опущенной из вершины С на сторону АВ; 3) уравнение медианы АЕ;  4) уравнение окружности, для которой медиана АЕ служит диаметром.
     Решение. 1. Уравнение прямой, проходящей через точку А(х1у1) и В(х2у2), имеет вид . Чтобы найти уравнение стороны АВ, подставим координаты точек А и В в уравнение прямой:
     у –3=3х +6; у=3 х+9 (АВ).
     2. Высота СD перпендикулярна стороне АВ, а потому их угловые коэффициенты kCD и kAB удовлетворяют условию . Из уравнения прямой АВ следует, что kAB =3, тогда .
     Напишем уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении: y – y1 =k (x– x 1) . Подставив в уравнение координаты точки С и угловой коэффициент kCD получим искомое уравнение высоты СD:
        (СD).
     3. Определим координаты точки Е. Применяем формулы деления отрезка пополам: . Используя координаты вершин В и С получаем: 
     
     По точкам А и Е построим уравнение медианы АЕ:
     
     4. Уравнение окружности радикса R с центром в точке К(а,b) имеет вид ( х–а)2 +(у–b) 2= R2.
     Так как по условию медиана АЕ является диаметром искомой окружности; то центр окружности К делит отрезок АЕпополам. Находим координаты точки К:
     .
     Чтобы найти радиус R окружности, достаточно найти расстояние между точками А и К. Известно, что расстояние dмежду двумя точками плоскости М1(х1,у1) и М2(х2,у2) определяется по формуле: . Подставив координаты точек А и К, получаем , т.е. R=5. Следовательно, 
(х –2)2 +(у –6)2 =25 – искомое уравнение окружности.
     Пример. В треугольнике с вершинами А(2,3), В(–1,0), С(4,1) найти длину высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС.
     Решение. Составим уравнение прямой, проходящей через сторону ВС по формуле (5):
      или .
     Найдем длину высоты АЕ по формуле (7):
     .

http://math.immf.ru/




БАНКОВСКОЕ ДЕЛО
БУХГАЛТЕРСКИЙ, УПР. И ФИН. УЧЕТ
БЮДЖЕТ И БЮДЖЕТНАЯ СИСТЕМА РФ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ
ГУМАНИТАРНЫЕ НАУКИ
ДОКУМЕНТОВЕДЕНИЕ И ДЕЛОПРОИЗВОДСТВО
ИНВЕСТИЦИИ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В ЭКОНОМИКЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
МАРКЕТИНГ
МЕНЕДЖМЕНТ
МЕТ. РЕКОМЕНДАЦИИ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МИРОВАЯ ЭКОНОМИКА И МЭО
НАЛОГИ И НАЛОГООБЛОЖЕНИЕ
ПЛАНИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
ПРАВОВЕДЕНИЕ
РАЗРАБОТКА УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ
СТАТИСТИКА
УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ
УЧЕБНИКИ, ЛЕКЦИИ, ШПАРГАЛКИ (СКАЧАТЬ)
ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ
ФИНАНСЫ, ДЕНЕЖНОЕ ОБРАЩЕНИЕ И КРЕДИТ
ЦЕНЫ И ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ
ЭКОНОМИКА
ЭКОНОМИКА, ОРГ-ЦИЯ И УПР-НИЕ ПРЕДПРИЯТИЕМ
ЭКОНОМИКА И СОЦИОЛОГИЯ ТРУДА
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ (МИКРО-, МАКРО)
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ЭКОНОМЕТРИКА
Оформить заказ
Ваше имя *
Ваш e-mail *
Контактный телефон
Город *
Учебное заведение *
Предмет *
Тип работы *
Тема работы/вариант *
Кол-во страниц
Срок выполнения *
Прикрепить файл
Дополнительные условия


Статистика
Онлайн всего: 38
Гостей: 38
Пользователей: 0