1. Определения предела и непрерывности функции в точке. Свойства пределов. Определение. Число А называется пределом функции у=f (x) в точке х0, если для всякого числа ε>0 существует такое число δ>0, что как только |x–x0| < ( x ≠x0), то |f(x)–A| < ε Обозначение: . Определение. Функция у= f ( x ) называется непрерывной в точке х0, если . Из непрерывности основных элементарных функций и основных теорем о непрерывных функциях следует, что любая элементарная функция непрерывна во всякой точке, в которой она определена (при этом предполагается, конечно, что функция определена и в окрестности этой точки). 1. Предел постоянной равен самой постоянной, т.е. . 2. если и существуют. 3. , если и существуют. 4. если и существуют и .
Под знаком предела можно производить тождественные преобразования аналитического выражения, задающего функцию, не принимая во внимание поведение функции в предельной точке. Особый интерес приобретает случай преобразования аналитического выражения, задающего функцию f(х), в выражение, задающее функцию φ(х), непрерывную в самой точке х0 и совпадающую с f(х) в некоторой окрестности точки х0 без самой этой точки. Тогда очевидно, (1) Пример. Найти при: а) х 0=1; б) х 0=2; в) х 0 = ∞. Решение. а) , . Так как предел знаменателя отличен от нуля, можно применить теорему о пределе частного (свойство 4). Тогда . б) . Имеем неопределенность вида , следовательно, теорему о пределе частного применить нельзя. Но в окрестности точки х =2 имеем 4х2 – 9х + 2 ≠ 0 (при х ≠ 2), и поэтому дробь можно сократить на х – 2. Для этого разложим числитель и знаменатель на множители, воспользовавшись формулой ах2+bх+с= а(х–х1)(х–х2), где х1 и х2 – корни уравнения ах2 + bх + с = 0. Тогда в) . Имеем неопределенность вида . Чтобы найти предел, разделим числитель и знаменатель на х2, получим: Ответ: Пример. Найти . Решение. и . Имеем неопределенность вида , теорему о пределе частного применять нельзя. Преобразуем данное выражение, помножив числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, получим: = Ответ: . 2. Первый замечательный предел Если угол х выражен в радианах, то . Первый замечательный предел можно применять в ряде случаев для раскрытия неопределенностей вида . Пример. Найти предел функции . Решение. Здесь неопределенность вида . Преобразуем данную функцию: . Обозначим 12х=U, причем т.е. при х => 0 и U => 0. Следовательно, . Аналогично, положив 3x=U , получим . Следовательно Ответ: 4. Пример. Найти . Имеем неопределенность вида . Решение. Обозначим arctg 6x = U, тогда 6х= tgU и при х => 0 имеем U => 0. Следовательно, . Ответ: 2. 3. Второй замечательный предел Он имеет вид: , где е – иррациональное число, приблизительно равное 2,71828… . Логарифмы с основанием е называются натуральными и обозначаются logex =ln 1.0pt'>x. С помощью этого предела раскрывают так же неопределенность вида {1∞}. Пример . Найти . Здесь неопределенность вида {1∞}. Решение. Преобразуем выражение в скобках. . Обозначим , тогда , , , причем при n => ∞, имеем α => 0. Следовательно, Ответ: . |