Контрольные, курсовые, рефераты, тесты – готовые и на заказ!
 Гарантия качества, доступные цены, индивидуальный подход
 Работы выполняют высококвалифицированные специалисты
Войти      Регистрация
 тел. 8-912-388-82-05
  std72@mail.ru
> 20 лет успешной работы
> 50000 выполненных заказов
Отзывы/вопросы

Форма входа



Главная » Учебно-методические материалы » ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ » Высшая математика: лекционный курс

ТЕМА 5. Введение в математический анализ. Элементы теории пределов
22.12.2011, 13:10

1. Определения предела и непрерывности функции в точке. Свойства пределов.

     Определение. Число А называется пределом функции у=f (x) в точке х0, если для всякого числа ε>0 существует такое число δ>0, что как только |xx0| <  ( x ≠x0), то |f(x)–A| < ε
     Обозначение: .
     Определение. Функция у= f ( x ) называется непрерывной в точке х0, если .
     Из непрерывности основных элементарных функций и основных теорем о непрерывных функциях следует, что любая элементарная функция непрерывна во всякой точке, в которой она определена (при этом предполагается, конечно, что функция определена и в окрестности этой точки).
     1. Предел постоянной равен самой постоянной, т.е. .
     2.  если  и  существуют.
     3. , если  и  существуют.
     4.  если  и  существуют и .

     Под знаком предела можно производить тождественные преобразования аналитического выражения, задающего функцию, не принимая во внимание поведение функции в предельной точке. Особый интерес приобретает случай преобразования аналитического выражения, задающего функцию f(х), в выражение, задающее функцию φ(х), непрерывную в самой точке х0 и совпадающую с f(х) в некоторой окрестности точки х0 без самой этой точки. Тогда очевидно, 
                                              (1)
     Пример. Найти  при:
     а) х 0=1; б) х 0=2; в) х 0 = ∞.
     Решение. а) .
     Так как предел знаменателя отличен от нуля, можно применить теорему о пределе частного (свойство 4). Тогда 
     .
     б) .
     Имеем неопределенность вида , следовательно, теорему о пределе частного применить нельзя. Но в окрестности точки х =2 имеем 4х2 – 9х + 2 ≠ 0 (при х ≠ 2), и поэтому дробь можно сократить на х – 2. Для этого разложим числитель и знаменатель на множители, воспользовавшись формулой ах2++са(хх1)(хх2), где х1 и х2 – корни уравнения ах2 +  + с = 0. Тогда
     
     
     в) .
     Имеем неопределенность вида . Чтобы найти предел, разделим числитель и знаменатель на х2, получим:
     
     Ответ: 
     Пример. Найти .
     Решение.  и . Имеем неопределенность вида , теорему о пределе частного применять нельзя. Преобразуем данное выражение, помножив числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, получим: 
    =
     
     Ответ: .

2. Первый замечательный предел

     Если угол х выражен в радианах, то .
     Первый замечательный предел можно применять в ряде случаев для раскрытия неопределенностей вида .
     Пример. Найти предел функции .
     Решение. Здесь неопределенность вида . Преобразуем данную функцию: .
     Обозначим 12х=U, причем 
      т.е. при х => 0 и U => 0. Следовательно, . Аналогично, положив 3x=U , получим . Следовательно 
     Ответ: 4.
     Пример. Найти . Имеем неопределенность вида .
     Решение. Обозначим arctg 6x = U, тогда 6х= tgU и при х => 0 имеем U => 0. Следовательно, 
     
     .
     Ответ: 2.

3. Второй замечательный предел

     Он имеет вид: ,
     где е – иррациональное число, приблизительно равное 2,71828… .
    Логарифмы с основанием е называются натуральными и обозначаются logex =ln 1.0pt'>x. С помощью этого предела раскрывают так же неопределенность вида {1}.
     Пример . Найти . Здесь неопределенность вида {1}.
     Решение. Преобразуем выражение в скобках.
     .
     Обозначим , тогда  , причем при n => ∞, имеем α => 0. Следовательно, 
     
     Ответ: .

http://math.immf.ru/




БАНКОВСКОЕ ДЕЛО
БУХГАЛТЕРСКИЙ, УПР. И ФИН. УЧЕТ
БЮДЖЕТ И БЮДЖЕТНАЯ СИСТЕМА РФ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ
ГУМАНИТАРНЫЕ НАУКИ
ДОКУМЕНТОВЕДЕНИЕ И ДЕЛОПРОИЗВОДСТВО
ИНВЕСТИЦИИ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В ЭКОНОМИКЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
МАРКЕТИНГ
МЕНЕДЖМЕНТ
МЕТ. РЕКОМЕНДАЦИИ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МИРОВАЯ ЭКОНОМИКА И МЭО
НАЛОГИ И НАЛОГООБЛОЖЕНИЕ
ПЛАНИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
ПРАВОВЕДЕНИЕ
РАЗРАБОТКА УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ
СТАТИСТИКА
УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ
УЧЕБНИКИ, ЛЕКЦИИ, ШПАРГАЛКИ (СКАЧАТЬ)
ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ
ФИНАНСЫ, ДЕНЕЖНОЕ ОБРАЩЕНИЕ И КРЕДИТ
ЦЕНЫ И ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ
ЭКОНОМИКА
ЭКОНОМИКА, ОРГ-ЦИЯ И УПР-НИЕ ПРЕДПРИЯТИЕМ
ЭКОНОМИКА И СОЦИОЛОГИЯ ТРУДА
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ (МИКРО-, МАКРО)
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ЭКОНОМЕТРИКА
Оформить заказ
Ваше имя *
Ваш e-mail *
Контактный телефон
Город *
Учебное заведение *
Предмет *
Тип работы *
Тема работы/вариант *
Кол-во страниц
Срок выполнения *
Прикрепить файл
Дополнительные условия


Статистика
Онлайн всего: 4
Гостей: 4
Пользователей: 0