1. Основные понятия

     Определение. Производной функции у = f (x) в точке х называется предел ,  если он существует и конечен.
     Функция у=f(x) называется дифференцируемой в точке х. Она всегда будет и непрерывной в этой точке.
     Производная обозначается .
     Имеем . По определению предела функции , где  при . Отсюда ∆y=y'·∆ x+α·∆ x.
     При малых значениях ∆x и при   имеем  .
     Определение. Главная часть y'∆x приращения ∆y функции, линейная относительно ∆ x, называется дифференциалом функции и обозначается dy=y'∆ x.
     Положив у=х, получим dx=(x)'∆x=1·∆x=∆x и поэтому dy=y'dx.
     Эта формула верна и в том случае, если х есть функция новой переменной t.

2. Основные формулы дифференцирования

     Пусть С – действительное число, U=U(x) и υ= υ(x) – дифференцируемые функции.
     1. (С)'=0; 
     2. (С∙υ)'=Сυ';
     3. (U±υ)'=U'±υ'
     4. (U·υ)'=U'υ+Uυ';
     5..
     Если  и , то у называется сложной функцией от х. Если  и  дифференцируемы, то или .

3. Таблица производных

     1. .( Uⁿ)'= n· U^n–1· U'.                             
    Следствие: (х) '=1. 

     2. ( a^u)'=a^u· lna· U'.
     Следствие: (е^u)'=e^uu'.

     3. . 
    Следствие: .

     4. (sinU)'=cosU·U'.
     5. (cosU)'=–sinU·U'.
     6. .
     7. .
     8. .
     9. .
     10. .
     11. .
     Пример. Найти производные заданных функций:
     1) .
     Решение. Применим формулу , здесь n=3, . Тогда .
     Найдем U'.
     
     Следовательно, .
     2) .
     Решение. Преобразуем сначала данную функцию, а затем найдем производную этой функции:
     .
     Тогда .
     Для нахождения производных  и  применим формулу: .
     Получим: 
     
     3) .
     Решение. .
     Для нахождения производной применим формулу . Здесь . Тогда 
     
     
     Для нахождения производной  применим формулу . Тогда 
     
     Следовательно, .
     4) .
     Решение. .
     Найдем: по формуле ( a^u)'=a^u· lna· U'.
     Будем иметь .
     Производную (х²cos2x)' найдем по формуле (U·υ)'=U'υ+Uυ'и (cosU)'= -sinU*U'. Тогда 
      
    Следовательно, .
     Пример. Вычислить приближенное значение , заменив в точке х=243 приращение функции  дифференциалом.
     Решение. Имеем: .
     В нашем примере х=243, х+∆х=252, тогда ∆х=252–243=9,
     .
     Отсюда 
     
     Поэтому .
     Следовательно, .

4. Функции нескольких переменных

     Определение. Переменная z называется функцией переменных х и у, если каждой паре значений х и у в некоторой области их изменения поставлено в соответствие  одно значение z. Функциональную зависимость z от х и узаписывают в виде: z=f(x,у). Это уравнение определяет некоторую поверхность в пространстве R³.
     Геометрическим образом функции z=x²+y² является параболоид. Пусть z=a, тогда x²+y²=a, т.е. линия пересечения плоскости z= a с поверхностью z=x²+y² есть окружность x ²+ y ²= a радиуса . Пусть у=0, тогда z=x²и, следовательно, при пересечении плоскости Oхz с поверхностью получается парабола. Метод сечений дает возможность лучше представить себе геометрический образ данной функции.

     
     Определение. Число А называется пределом функции z=f(x,у) в точке М₀(х₀, у₀), если для каждого числа ε>0 найдется такое число β>0, что для всех точек М(х,у), для которых выполняется неравенство |ММ₀|<β, будет выполняться неравенство | f(x,у)– A|< ε
     Обозначим .
     Определение. Функция z=f(x,у) называется непрерывной в точке М₀(х₀,у₀), если имеет место равенство .

5. Частные производные и полный дифференциал 1-го порядка

     Определение. Производная от функции z=f(x,у) по х, найденная в предложении, что у остается постоянным, называется частной производной от z по х и обозначается  или f'_x (x,у). Аналогично определяется и обозначается частная производная z по у.
     Если функция z=f(x,у) имеет в точке (х,у) непрерывные частные производные, то ее полное приращение может быть представлено в виде: 
     ,                                             (1)
     где  при .
     Определение.  Выражение  является главной частью полного приращения Δz и называется полным дифференциалом функции z=f(x,у) и обозначается dz:
     .                                                          (2)
     Полагая в формуле (2) z равным х, найдем , а при z=y . Поэтому 
     .                                                           (3)
     Из (1) следует, что .
     Функция f(x,y) называется дифференцируемой в точке (х,у), если она имеет в этой точке полный дифференциал.
     Пример. Найти полный дифференциал функции .
     Решение. Сначала найдем частные производные
     
     
     Производная  найдена в предположении, что у постоянна, а  найдена в предположении, что х постоянна. По формуле (3):
     .
     Ответ. dz=(10 x–6xy³) dx+(9 x² y²+6) dy.

6. Градиент функции. Производная по направлению

     Определение. z=f(x,у) дифференцируемая функция двух переменных. Тогда вектор  называется градиентом функции z=f(x,у).
     Он обладает следующими свойствами:
     
     
     
     Пусть  – направляющие косинусы некоторого вектора , т.е. . Тогда  – производная функции z=f(x,у) в данном направлении .

7. Экстремум функции двух переменных

     Определение. Функция z=f(x,у) имеет в точке М₀(х₀,у₀) максимум, если в окрестности этой точки выполняется равенство f(x,у)<f(x₀,у₀).
      Аналогично определяется минимум функции z=f(x,у) в точке М₀(х₀, у₀).
     Необходимый признак экстремума
     Если М (х₀,у₀) – точка экстремума дифференцируемой функции z=f(x,у)), то 
      то есть 
     Достаточный признак экстремума
     Пусть z=f(x,у) – функция, для которой существуют производные первого и второго порядка в точке М(х₀,у₀):   . Составим выражение Δ=АС–В².
     Если Δ>0, то М(х₀, у₀) – точка экстремума, а именно: точка максимума при A<0 (если C<0), точка минимума приA>0 (или С>0). Если Δ<0, то в точке М нет экстремума.