1. Первообразная функция и неопределенный интеграл.

     Определение. Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x), если производная ееF'(x)=f(x).
     Определение. Совокупность всех первообразных функций F(x)+С для функции f(x) называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается .

     Таблица основных интегралов:
     1. .
     2. .
     3. .
     4. . 
                    Следствие: .
     5. . 
     6. . 
     7. .
     8. .
     9. 
     10. 
     Основные свойства интегралов
     1.   
     2.
     Пример. Вычислить интегралы:
     1. .
     Проверка. .
     

2. Замена переменной в неопределенном интеграле

     Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов:
     а) , где  – монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t. Формула замены переменной в этом случае: ;
     б) , где U – новая переменная. Формула замены переменной при такой подстановке: .
     Примеры.
     1. Найти интеграл .
     Решение. Перепишем данный интеграл в виде . Так как производная выражения  равна 2/х, а второй множитель 1/х отличается от этой производной только постоянным коэффициентом 2, то нужно применить подстановку . Тогда . Следовательно, 
     .
     2. Найти интеграл .
     Решение. , тогда  и 
     .

3. Интегрирование по частям

     Нахождение интеграла  по формуле  называется интегрированием по частям. Здесь U=U(х),υ=υ( x) непрерывно дифференцируемые функции от х. С помощью этой формулы нахождение интеграла сводится к отысканию другого интеграла , ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен.
     При этом за υ берется такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dU – та часть  подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.
     Так например, для интегралов вида , , , где P(x) – многочлен, за υ следует принять P(x), а заdU соответствует выражение , . Для интегралов вида  за υ принимаются соответственно функции , а за  – выражение P(x)dx.
     Пример. Найти интеграл .
     Решение. Положим , тогда . Отсюда .

4. Интегрирование рациональных дробей

     Рациональной дробью называется дробь вида , где P(x) и Q(x) – многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P(x) ниже степени многочлена Q(x); в противном случае дробь называется неправильной.
     Пусть необходимо найти интеграл от неправильной рациональной дроби. При помощи деления (по правилу деления многочленов)  неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы целой рациональной функции и правильной рациональной дроби. Например, .
     Затем знаменатель правильной дроби разлагается на множители вида , а правильная дробь разлагается на сумму элементарных дробей следующим образом: 
     
     Пример.  Найти интеграл .
     Решение. Выделим целую часть данной неправильной дроби:
     .
     Разложим знаменатель на линейные множители по формуле: , где х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения  то есть .
     
     откуда получаем систему уравнений, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа 
     Решая ее, имеем:  значит: ,
     

5. Формула Ньютона – Лейбница

     ,
     где F(x) – первообразная для f(x), т.е. F'(x)=f(x).
     Пример. 
     1. Вычислить  по формуле Ньютона – Лейбница.
     Решение. Имеем .
     2. Вычислить .
     Решение. Положим , тогда . Если х=1, то t= 0, если х=е, то t= 1. Следовательно, .

6. Геометрические приложения определенного интеграла

Площадь фигуры, ограниченной кривыми y=f₁(x) и y=f₂(x), [f₁(x)≤f₂(x)] и прямыми х=а и х=b, находится по формуле 
     Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями y=–x², y=–x–2.
     Решение. Сделаем чертеж.
     Найдем абсциссы точек пересечения данных линий:
     –x²=–x–2 или x²–x–2=0,
x₁=–1,x₂=2.
     Значит, 
     
     
     =–3+1,5+4+2=4,5.
     Объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции вокруг оси Ох; находится по формуле: . 
     Длина кривой, заданной уравнением y=f(x), a ≤x≤b,выражается следующим образом: