Контрольные, курсовые, рефераты, тесты – готовые и на заказ!
 Гарантия качества, доступные цены, индивидуальный подход
 Работы выполняют высококвалифицированные специалисты
Войти      Регистрация
 тел. 8-912-388-82-05
  std72@mail.ru
> 20 лет успешной работы
> 50000 выполненных заказов
Отзывы/вопросы

Форма входа



Главная » Учебно-методические материалы » ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ » Высшая математика: лекционный курс

ТЕМА 8. Интегральное исчисление
22.12.2011, 13:14

1. Первообразная функция и неопределенный интеграл.

     Определение. Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x), если производная ееF'(x)=f(x).
     Определение. Совокупность всех первообразных функций F(x)+С для функции f(x) называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается .

     Таблица основных интегралов:
     1. .
     2. .
     3. .
     4. 
                    Следствие: .
     5. 
     6. 
     7. .
     8. .
     9. 
     10. 
     Основные свойства интегралов
     1.   
     2.
     Пример. Вычислить интегралы:
     1. .
     Проверка. .
     

2. Замена переменной в неопределенном интеграле

     Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов:
     а) , где  – монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t. Формула замены переменной в этом случае: ;
     б) , где U – новая переменная. Формула замены переменной при такой подстановке: .
     Примеры.
     1. Найти интеграл .
     Решение. Перепишем данный интеграл в виде . Так как производная выражения  равна 2/х, а второй множитель 1/х отличается от этой производной только постоянным коэффициентом 2, то нужно применить подстановку . Тогда . Следовательно, 
     .
     2. Найти интеграл .
     Решение. , тогда  и 
     .

3. Интегрирование по частям

     Нахождение интеграла  по формуле  называется интегрированием по частям. Здесь U=U(х),υ=υ( x) непрерывно дифференцируемые функции от х. С помощью этой формулы нахождение интеграла сводится к отысканию другого интеграла , ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен.
     При этом за υ берется такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dU – та часть  подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.
     Так например, для интегралов вида , где P(x) – многочлен, за υ следует принять P(x), а заdU соответствует выражение . Для интегралов вида  за υ принимаются соответственно функции , а за  – выражение P(x)dx.
     Пример. Найти интеграл .
     Решение. Положим , тогда . Отсюда .

4. Интегрирование рациональных дробей

     Рациональной дробью называется дробь вида , где P(x) и Q(x) – многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P(x) ниже степени многочлена Q(x); в противном случае дробь называется неправильной.
     Пусть необходимо найти интеграл от неправильной рациональной дроби. При помощи деления (по правилу деления многочленов)  неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы целой рациональной функции и правильной рациональной дроби. Например, .
     Затем знаменатель правильной дроби разлагается на множители вида , а правильная дробь разлагается на сумму элементарных дробей следующим образом: 
     
     Пример.  Найти интеграл .
     Решение. Выделим целую часть данной неправильной дроби:
     .
     Разложим знаменатель на линейные множители по формуле: , где х1 и х2 – корни квадратного уравнения  то есть .
     
     откуда получаем систему уравнений, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа 
     Решая ее, имеем:  значит: ,
     

5. Формула Ньютона – Лейбница

     ,
     где F(x) – первообразная для f(x), т.е. F'(x)=f(x).
     Пример. 
     1. Вычислить  по формуле Ньютона – Лейбница.
     Решение. Имеем .
     2. Вычислить .
     Решение. Положим , тогда . Если х=1, то t= 0, если х=е, то t= 1. Следовательно, .

6. Геометрические приложения определенного интеграла

Площадь фигуры, ограниченной кривыми y=f1(x) и y=f2(x), [f1(x)≤f2(x)] и прямыми х=а и х=b, находится по формуле 
     Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями y=–x2y=–x–2.
     Решение. Сделаем чертеж.
     Найдем абсциссы точек пересечения данных линий:
     –x2=–x–2 или x2x–2=0,
x1=–1,x2=2.
     Значит, 
     
     
     =–3+1,5+4+2=4,5.
     Объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции вокруг оси Ох; находится по формуле: 
     Длина кривой, заданной уравнением y=f(x), a ≤xb,выражается следующим образом: 

http://math.immf.ru/




БАНКОВСКОЕ ДЕЛО
БУХГАЛТЕРСКИЙ, УПР. И ФИН. УЧЕТ
БЮДЖЕТ И БЮДЖЕТНАЯ СИСТЕМА РФ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ
ГУМАНИТАРНЫЕ НАУКИ
ДОКУМЕНТОВЕДЕНИЕ И ДЕЛОПРОИЗВОДСТВО
ИНВЕСТИЦИИ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В ЭКОНОМИКЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
МАРКЕТИНГ
МЕНЕДЖМЕНТ
МЕТ. РЕКОМЕНДАЦИИ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МИРОВАЯ ЭКОНОМИКА И МЭО
НАЛОГИ И НАЛОГООБЛОЖЕНИЕ
ПЛАНИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
ПРАВОВЕДЕНИЕ
РАЗРАБОТКА УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ
СТАТИСТИКА
УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ
УЧЕБНИКИ, ЛЕКЦИИ, ШПАРГАЛКИ (СКАЧАТЬ)
ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ
ФИНАНСЫ, ДЕНЕЖНОЕ ОБРАЩЕНИЕ И КРЕДИТ
ЦЕНЫ И ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ
ЭКОНОМИКА
ЭКОНОМИКА, ОРГ-ЦИЯ И УПР-НИЕ ПРЕДПРИЯТИЕМ
ЭКОНОМИКА И СОЦИОЛОГИЯ ТРУДА
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ (МИКРО-, МАКРО)
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ЭКОНОМЕТРИКА
Оформить заказ
Ваше имя *
Ваш e-mail *
Контактный телефон
Город *
Учебное заведение *
Предмет *
Тип работы *
Тема работы/вариант *
Кол-во страниц
Срок выполнения *
Прикрепить файл
Дополнительные условия


Статистика
Онлайн всего: 55
Гостей: 54
Пользователей: 1