Контрольные, курсовые, рефераты, тесты – готовые и на заказ!
 Гарантия качества, доступные цены, индивидуальный подход
 Работы выполняют высококвалифицированные специалисты
Войти      Регистрация
 тел. 8-912-388-82-05
  std72@mail.ru
> 20 лет успешной работы
> 50000 выполненных заказов
Отзывы/вопросы

Форма входа



Главная » Учебно-методические материалы » ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ » Высшая математика для экономистов: курс лекций. Денисов В.Н.

11.1. Односторонние пределы. Односторонняя непрерывность. Свойства функций, непрерывных на отрезке
29.12.2011, 12:04

Множество точек в (a;x0)- лежащее слева от т. x- называют левосторонней окрестностью точки x0, а множество (xo,b)- правосторонней окрестностью т. х0.

 

Определение. Предела слева (справа)

Число А(В) по определению называется пределом функции f(x) в точке х0 слева (справа), если

"e>0   $d>0 : "x из x0-d<x<x0 (x0<x<x0+d)Þ

               ½f(x)-A½<e (½f(x)-B½<e),

при этом пишут:   

 

Пример.

 

Справедлив критерий 2 существования предела функции в точке.

Теорема.

Для того, чтобы у функции f(x) существовал предел при х®х0 необходимо и достаточно, чтобы существовал левосторонний предел в т. х0, существовал правосторонний предел в т. х0 и они были бы равны между собой.

 

Определение. Непрерывности функции слева (справа).

Функция f(x) определенная в левосторонней окрестности т. х0 (или в правосторонней окрестности т.х0)  и в самой точке х0 называется непрерывной в т. х0 слева (справа), если

       "e>0 $d>0 : "x из x0-d<x£x0 (x0£x<x0+d)Þ

           ½f(x)-f(x0-0)½<e (½f(x)-f(x0+0)½<e)

При этом значения f(x0-0) (f(x0+0)) называют значениями функции в точке х0 слева (справа).

 

Пример.

  f(p-0)=0.

 

Теорема. Критерий непрерывности функции в точке.

Для того чтобы функция f(x) была непрерывной в т. х0 необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна слева в т. х0, справа в т. х0 и при этом выполнялось соотношение :

                 f(x0-0)=f(x0+0)=f(x0)

 

Определение. Разрывной функции в т. x0.

Функция f(x) не являющаяся непрерывной в т. x0 называется разрывной в т. x0.

При этом точки разрыва функции подразделяются на точки разрыва I рода и II рода.

 


Определение. Точка разрыва I рода.

Если у функции f(x  и они конечны, то говорят, что точка x0- точка разрыва первого рода.

При этом, если , то говорят, что точка x0- точка устранимого разрыва.

Если же , то говорят, что точка x0- точка разрыва с конечным скачком.

 

-разрывная функция. 

 

Если положить -  то произойдет устранение разрыва и функция станет непрерывной.

У функции  так как

- имеется конечный скачок.

 

 

ОпределениеТочка разрыва II рода.

Если у функции f(x) хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен ¥, то говорят, что т. х0- точка разрыва II рода.

Пример.

Если устремить х к 0 разными способами, то получим различные значения пределов:

,  kÎN,   x®0 , а  ;

 kÎNx®0 , а   ,

значит функция f(x) не имеет предела â т. х0=0, то есть т. х0 точка разрыва II рода.

Функция f(x) называется непрерывной на [a;b], если она непрерывна в каждой точке этого отрезка, причем на концах отрезка имеется в виду непрерывность слева (справа).

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теорема. (Вейерштрасса.)

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она ограничена на этом отрезке (т.е. $k>0,  что "xÎ[a;b], ½f(x)½<k).

Теорема. (Вейерштрасса.)

Если функция f(x) непрерывна на [a;b], то она принимает на этом отрезке свое наименьшее и наибольшее значения.

Теорема. Коши.

Если функция f(x) непрерывна на [a;b], то на этом отрезке она принимает все значения между наименьшим и наибольшим значениями функции.

Если m - наименьшее значение f(x"xÎ[a;b], à M - наибольшее значение f(x"xÎ[a;b], òî m£f£M для "xÎ[a;b].

Следствие из теоремы Коши.

Если f(x) непрерывна на [a;b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, то найдется хотя бы одна такая точка из интервала (а;b) значение функции в которой равно нулю.

 

Пример.

Если f(a)>0 и f(b)<0, f(x)- непрерывна на [a;b], то

$с Î(a;b):f(c )=0 (таких точек может быть несколько).

 

http://www.sibe.ru/




БАНКОВСКОЕ ДЕЛО
БУХГАЛТЕРСКИЙ, УПР. И ФИН. УЧЕТ
БЮДЖЕТ И БЮДЖЕТНАЯ СИСТЕМА РФ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ
ГУМАНИТАРНЫЕ НАУКИ
ДОКУМЕНТОВЕДЕНИЕ И ДЕЛОПРОИЗВОДСТВО
ИНВЕСТИЦИИ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В ЭКОНОМИКЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
МАРКЕТИНГ
МЕНЕДЖМЕНТ
МЕТ. РЕКОМЕНДАЦИИ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МИРОВАЯ ЭКОНОМИКА И МЭО
НАЛОГИ И НАЛОГООБЛОЖЕНИЕ
ПЛАНИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
ПРАВОВЕДЕНИЕ
РАЗРАБОТКА УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ
СТАТИСТИКА
УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ
УЧЕБНИКИ, ЛЕКЦИИ, ШПАРГАЛКИ (СКАЧАТЬ)
ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ
ФИНАНСЫ, ДЕНЕЖНОЕ ОБРАЩЕНИЕ И КРЕДИТ
ЦЕНЫ И ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ
ЭКОНОМИКА
ЭКОНОМИКА, ОРГ-ЦИЯ И УПР-НИЕ ПРЕДПРИЯТИЕМ
ЭКОНОМИКА И СОЦИОЛОГИЯ ТРУДА
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ (МИКРО-, МАКРО)
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ЭКОНОМЕТРИКА
Оформить заказ
Ваше имя *
Ваш e-mail *
Контактный телефон
Город *
Учебное заведение *
Предмет *
Тип работы *
Тема работы/вариант *
Кол-во страниц
Срок выполнения *
Прикрепить файл
Дополнительные условия


Статистика
Онлайн всего: 37
Гостей: 37
Пользователей: 0