Контрольные, курсовые, рефераты, тесты – готовые и на заказ!
 Гарантия качества, доступные цены, индивидуальный подход
 Работы выполняют высококвалифицированные специалисты
Войти      Регистрация
 тел. 8-912-388-82-05
  std72@mail.ru
> 20 лет успешной работы
> 50000 выполненных заказов
Отзывы/вопросы

Форма входа



Главная » Учебно-методические материалы » ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ » Высшая математика для экономистов: курс лекций. Денисов В.Н.

11.2. Последовательность. Предел последовательности. Свойства последовательностей
29.12.2011, 12:06

Определение. Числовой последовательности.

Если каждому "nÎN можно поставить в соответствие действительное число xn, то говорят, что задана числовая последовательность {xn}, n=1,2,3,..., xn- члены числовой последовательности.

Определение. Числовой последовательности, как функции натурального аргумента.

Любую функцию, определенную на множестве натуральных чисел, принимающую свои значения на множестве действительных чисел (функцию натурального аргумента) будем называть числовой последовательностью.

Члены последовательности- значения функции натурального аргумента.

Пример.

Рассмотрим {xn}={}, n=1,2,3...

Члены этой последовательности

 есть значения функции   в точках x=n.


Определение. Предела числовой последовательности.

Число а называется пределом числовой последовательности {xn},  если "e>0 $Ne (существует номер Ne): "n>Ne Þ ½xn-a½<e, при этом пишут 

Геометрический смысл определения:

В e- окрестности т. а лежит бесконечно много членов последовательности для "n>N, а вне этой окрестности лежит лишь конечное число членов последовательности.

Чем больше индекс члена числовой последовательности, тем ближе  точка, отвечающая этому члену последовательности, располагается к точке а.

 

Определение. Ограниченной числовой последовательности.

Если $ числа M>0 и $N>0 такие, что "n>N Þ ½xn|<M, то говорят, что {xn}- ограниченная последовательность.

 

Определение. Ограниченные сверху (снизу) числовые последовательности.

Если $М и $N>0 такие, что: "n>N Þ xn<M (xn>M), то говорят, что числовая последовательность ограничена сверху (снизу).

Если для "M>0 $N : "n>N Þ ½xn½>M, то говорят, что предел числовой последовательности равен ¥ и пишут .

В том случае, если  или предел последовательности {xn} не существует, говорят, что последовательность {xn}- расходится.

Когда - существует и конечен, то говорят, что числовая последовательность сходится.

Для исследования сходимости последовательностей {xn} используются достаточные признаки сходимости числовых последовательностей.

 

Теорема.

Если для последовательности f(n), n=1,2,... $f(x), определенная при x®+¥, такая, что ее значения в точках натурального ряда чисел совпадают со значениями числовой последовательности, тогда из    

(числовая последовательность- частный случай функции).

 

ЗАМЕЧАНИЕ: обратное неверно, т.е.

из  (не следует).

 

Пример.

Рассмотрим последовательность f(n)=sinnp.Хотя предел ее равен 0    , но    

 


Теорема.

Если для f(n), n=1,2,3... $f(1/x), определенная при x®0+0, тогда из .

Характеристика последовательностей.

Если для "nÎN

а) xn³ xn+1,то последовательность не возрастает,

б) xnxn+1 - последовательность убывает,

в) xn£ xn+1 - не убывает,

г) xnxn+1 - возрастает.

Последовательности вида а), б), в), г)- называются монотонными.

 

Критерий сходимости числовых последовательностей

Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.

http://www.sibe.ru/




БАНКОВСКОЕ ДЕЛО
БУХГАЛТЕРСКИЙ, УПР. И ФИН. УЧЕТ
БЮДЖЕТ И БЮДЖЕТНАЯ СИСТЕМА РФ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ
ГУМАНИТАРНЫЕ НАУКИ
ДОКУМЕНТОВЕДЕНИЕ И ДЕЛОПРОИЗВОДСТВО
ИНВЕСТИЦИИ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В ЭКОНОМИКЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
МАРКЕТИНГ
МЕНЕДЖМЕНТ
МЕТ. РЕКОМЕНДАЦИИ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МИРОВАЯ ЭКОНОМИКА И МЭО
НАЛОГИ И НАЛОГООБЛОЖЕНИЕ
ПЛАНИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
ПРАВОВЕДЕНИЕ
РАЗРАБОТКА УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ
СТАТИСТИКА
УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ
УЧЕБНИКИ, ЛЕКЦИИ, ШПАРГАЛКИ (СКАЧАТЬ)
ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ
ФИНАНСЫ, ДЕНЕЖНОЕ ОБРАЩЕНИЕ И КРЕДИТ
ЦЕНЫ И ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ
ЭКОНОМИКА
ЭКОНОМИКА, ОРГ-ЦИЯ И УПР-НИЕ ПРЕДПРИЯТИЕМ
ЭКОНОМИКА И СОЦИОЛОГИЯ ТРУДА
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ (МИКРО-, МАКРО)
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ЭКОНОМЕТРИКА
Оформить заказ
Ваше имя *
Ваш e-mail *
Контактный телефон
Город *
Учебное заведение *
Предмет *
Тип работы *
Тема работы/вариант *
Кол-во страниц
Срок выполнения *
Прикрепить файл
Дополнительные условия


Статистика
Онлайн всего: 12
Гостей: 12
Пользователей: 0