Контрольные, курсовые, рефераты, тесты – готовые и на заказ!
 Гарантия качества, доступные цены, индивидуальный подход
 Работы выполняют высококвалифицированные специалисты
Войти      Регистрация
 тел. 8-912-388-82-05
  std72@mail.ru
> 20 лет успешной работы
> 50000 выполненных заказов
Отзывы/вопросы

Форма входа



Главная » Учебно-методические материалы » ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ » Высшая математика для экономистов: курс лекций. Денисов В.Н.

12.1. Дифференцирование функций
29.12.2011, 12:07

Пусть функция f(x) определена в окрестности т. x0 и самой точке, x-x0=Dx- приращение аргумента,  а приращение функции f(x0+Dx)-f(x0)=f(x)- f(x0)= Dy.

Определение. Производной функции в точке.

Если $ конечный предел отношения , когда Dх®0, то этот предел  называется производной функции в точке и обозначается f'(x0), то есть

.

Пример:

Рассмотрим функцию y=xa. Вычислим y' по определению

ф-

Таким образом

 (xa)'=a×xa-1.

Если y=ax, то

  Þ    (ax)'=ax×ln a

Для экспоненты - частного случая функции y=ax  имеем (ex)'=ex.

В том случае когда y=sinx, тогда по определению производной получаем 

         

.

 

При y=cos x имеем

 

           

.

 

Значит производные этих функций имеют вид

(sinx)'=cos x

(cosx)'=-sin x.

Для логарифмической функции y=loga x, по аналогии имеем

(logx)'=

.То есть 

.

 

 

 

ТеоремаОб арифметических действиях над производными.

Если $U' и $V' в т. х, тогда:

1) (U±V)'=U'±V'

2) (U×V)'=U'×V+V'×U

3) 

Доказательства:

 тогда имеем

 т. к. пределы в правой части существуют и конечны Þ $ предел левой части, т. е. (U±V)'=U'±V'.

Докажем, что (U×V)'=U'×V+V'×U. Так как U(x+Dx)-U(x)=DU, то U(x+Dx)=U+DU. Аналогично V(x+Dx)=V+DV, и тогда верны равенства

D(UV)=U(x+Dx)×V(x+Dx)-U×V=(U+DU)×(V+DV)-UV=

=UV+UDV+VDU+DU×DV-UV=UDV+DU+DU×DV,

а значит

.

Пример.

×.

×.

.

http://www.sibe.ru/




БАНКОВСКОЕ ДЕЛО
БУХГАЛТЕРСКИЙ, УПР. И ФИН. УЧЕТ
БЮДЖЕТ И БЮДЖЕТНАЯ СИСТЕМА РФ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ
ГУМАНИТАРНЫЕ НАУКИ
ДОКУМЕНТОВЕДЕНИЕ И ДЕЛОПРОИЗВОДСТВО
ИНВЕСТИЦИИ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В ЭКОНОМИКЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
МАРКЕТИНГ
МЕНЕДЖМЕНТ
МЕТ. РЕКОМЕНДАЦИИ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МИРОВАЯ ЭКОНОМИКА И МЭО
НАЛОГИ И НАЛОГООБЛОЖЕНИЕ
ПЛАНИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
ПРАВОВЕДЕНИЕ
РАЗРАБОТКА УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ
СТАТИСТИКА
УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ
УЧЕБНИКИ, ЛЕКЦИИ, ШПАРГАЛКИ (СКАЧАТЬ)
ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ
ФИНАНСЫ, ДЕНЕЖНОЕ ОБРАЩЕНИЕ И КРЕДИТ
ЦЕНЫ И ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ
ЭКОНОМИКА
ЭКОНОМИКА, ОРГ-ЦИЯ И УПР-НИЕ ПРЕДПРИЯТИЕМ
ЭКОНОМИКА И СОЦИОЛОГИЯ ТРУДА
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ (МИКРО-, МАКРО)
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ЭКОНОМЕТРИКА
Оформить заказ
Ваше имя *
Ваш e-mail *
Контактный телефон
Город *
Учебное заведение *
Предмет *
Тип работы *
Тема работы/вариант *
Кол-во страниц
Срок выполнения *
Прикрепить файл
Дополнительные условия


Статистика
Онлайн всего: 20
Гостей: 20
Пользователей: 0