Контрольные, курсовые, рефераты, тесты – готовые и на заказ!
 Гарантия качества, доступные цены, индивидуальный подход
 Работы выполняют высококвалифицированные специалисты
Войти      Регистрация
 тел. 8-912-388-82-05
  std72@mail.ru
> 20 лет успешной работы
> 50000 выполненных заказов
Отзывы/вопросы

Форма входа



Главная » Учебно-методические материалы » ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ » Высшая математика для экономистов: курс лекций. Денисов В.Н.

13.1. Дифференцируемость. Дифференциал
29.12.2011, 12:11

Если у функции y=f(x$ f'(x) для "хÎ(a;b), то операция нахождения производной называется дифференцированием.

Определение. Дифференцируемости функции в точке.

Функция f(x), определенная в точке х0 и некоторой ее окрестности называется дифференцируемой в т. х0, если приращение этой функции в окрестности точки х0 представимо в виде

                Df=A(х0)×Dx+(Dx), Dx®0,

где Aconst, не зависящая от Dх, но меняющаяся от точки к точке.

Определение. Дифференциала функции.

Если функция дифференцируема в т. х0, то ее дифференциалом в т. х0 называется линейная часть приращения функции. При этом вводится обозначение дифференциала

                    df(x0)A×Dx.

ЗАМЕЧАНИЕ.

Если функция , то справедливо равенство

, где 

Действительно  (по критерию существования предела), а значит .

Теорема. Критерий дифференцируемости функции в точке.

Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке х0 необходимо и достаточно, чтобы в точке х0 существовала производная функции.При этом  df(x0)=f'(x0)×Dx.

Доказательство.

Необходимость.

Пусть f(х) - дифференцируема в точке х0, тогда по определению  Df(x)=À×Dx+(Dx),   Dx®0,  а поэтому,  Df=A×Dx+о (1)×Dx  (с учетом  замечания).

Поделив равенство на Dх¹0, по критерию существования предела имеем  Û -

то есть производная в точке существует, а значит

                  df(x0)=А×Dx=f'(x0)Dx.

Достаточность.

Пусть существует f'(x0), из критерия существования предела следует

 или ,

что по определению означает, что функция f(х) дифференцируема в т. x0, причем df(x0)=f'(x0)×Dx Û  df(x0)=f'(x0)×dx, где для симметрии записи Dx обозначают знаком dx.

Геометрический и физический смысл дифференциала.

Геометрический смысл дифференциала- приращение ординаты касательной к графику функции y =f(x), так как

                 df(x0)=f'(x0)×dx=tgak×Dx.

Физический смысл дифференциала- приращение пути за время Dt при движении материальной точки со скоростью, которая равна мгновенной скорости в точке.


Свойства дифференциала.

Если функции f(x) и j(x) дифференцируемы на некотором интервале (a;b), l1 . l2- некоторые постоянные, то:

1)  дифференциал обладает свойством линейности и однородности d(l1f+l2j)=l1df+l2dj.

d(l1f+l2j)=(l1f+l2j)'Dx=lf'dx+l2j'dx=l1df+l2dj

2) дифференциал  произведения и частного функций вычисляется по формулам:

d(f×j)=jdf+fdj

d.

http://www.sibe.ru/




БАНКОВСКОЕ ДЕЛО
БУХГАЛТЕРСКИЙ, УПР. И ФИН. УЧЕТ
БЮДЖЕТ И БЮДЖЕТНАЯ СИСТЕМА РФ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ
ГУМАНИТАРНЫЕ НАУКИ
ДОКУМЕНТОВЕДЕНИЕ И ДЕЛОПРОИЗВОДСТВО
ИНВЕСТИЦИИ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В ЭКОНОМИКЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
МАРКЕТИНГ
МЕНЕДЖМЕНТ
МЕТ. РЕКОМЕНДАЦИИ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МИРОВАЯ ЭКОНОМИКА И МЭО
НАЛОГИ И НАЛОГООБЛОЖЕНИЕ
ПЛАНИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
ПРАВОВЕДЕНИЕ
РАЗРАБОТКА УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ
СТАТИСТИКА
УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ
УЧЕБНИКИ, ЛЕКЦИИ, ШПАРГАЛКИ (СКАЧАТЬ)
ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ
ФИНАНСЫ, ДЕНЕЖНОЕ ОБРАЩЕНИЕ И КРЕДИТ
ЦЕНЫ И ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ
ЭКОНОМИКА
ЭКОНОМИКА, ОРГ-ЦИЯ И УПР-НИЕ ПРЕДПРИЯТИЕМ
ЭКОНОМИКА И СОЦИОЛОГИЯ ТРУДА
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ (МИКРО-, МАКРО)
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ЭКОНОМЕТРИКА
Оформить заказ
Ваше имя *
Ваш e-mail *
Контактный телефон
Город *
Учебное заведение *
Предмет *
Тип работы *
Тема работы/вариант *
Кол-во страниц
Срок выполнения *
Прикрепить файл
Дополнительные условия


Статистика
Онлайн всего: 28
Гостей: 28
Пользователей: 0