Контрольные, курсовые, рефераты, тесты – готовые и на заказ!
 Гарантия качества, доступные цены, индивидуальный подход
 Работы выполняют высококвалифицированные специалисты
Войти      Регистрация
 тел. 8-912-388-82-05
  std72@mail.ru
> 20 лет успешной работы
> 50000 выполненных заказов
Отзывы/вопросы

Форма входа



Главная » Учебно-методические материалы » ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ » Высшая математика для экономистов: курс лекций. Денисов В.Н.

13.3. Обратные функции. Производные обратных функций
29.12.2011, 12:16

13.3. Обратные функции. Производные обратных функций

 Пусть имеются функции

    y=f(x);  D(f), E(f); f:D®E;

                       

    x=j(y); D(j), E(j); j:Е®D.

 

                       

Функции такого вида называются взаимно обратными и обозначают

 x=j(y)=f-1(y), y=f(x)=j-1(x)

D(j)=E(f);  D(f)=E(j)

Теорема. О производной обратной функции.

Если функция y=f(x) дифференцируема в т. х0 и $ обратная к ней функция x=j(y),  которая непрерывна в т. y0=f0), то обратная функция дифференцируема в т. y0, причем

                     j'y

Доказательство.

Очевидно, что Dj=Dх (обратная функция непрерывна).Значит

 

                     .

Если Dх®0, то Dy®0, а поэтому

, то есть j'y, что и требовалось доказать.

Пример.

Пусть y=arcsinx, тогда x=siny- обратная ê y=arcsinх. Так как

  , а ,

то для производной функции y=arcsinx имеем

, где учтено что  при  yÎ[-p/2,p/2], cosy³0.

Используя рассмотренные ранее теоремы для других обратных тригонометрических функций имеем:

arccosx =p/2-arcsinx  и поэтому (arccosx)'=-  ,

  y=arctgxx=tgy, а значит

(arctgx)'=,

(arcctgx)'=-

 

 

 

 

Таблица производных.

Если имеется дифференцируемая функция U(x), то справедливы формулы

(Ua)'=a×Ua-1×U'(x)        (sinU)'= cosU×U'x

(aU)'=aU×lna× U'x                (cosU)'x=-sinU×U'x

(logaU)'x=        (tgU)'x=

(lnU)'=                  (ctgU)'x=-

       (arcsinU)'x=(arccosU)'x

         (arctgU)'x==-(arctgU)'x

(shU)'=chU×U'x                (chU)'=sh U×U'x

            .

http://www.sibe.ru/




БАНКОВСКОЕ ДЕЛО
БУХГАЛТЕРСКИЙ, УПР. И ФИН. УЧЕТ
БЮДЖЕТ И БЮДЖЕТНАЯ СИСТЕМА РФ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ
ГУМАНИТАРНЫЕ НАУКИ
ДОКУМЕНТОВЕДЕНИЕ И ДЕЛОПРОИЗВОДСТВО
ИНВЕСТИЦИИ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В ЭКОНОМИКЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
МАРКЕТИНГ
МЕНЕДЖМЕНТ
МЕТ. РЕКОМЕНДАЦИИ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МИРОВАЯ ЭКОНОМИКА И МЭО
НАЛОГИ И НАЛОГООБЛОЖЕНИЕ
ПЛАНИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
ПРАВОВЕДЕНИЕ
РАЗРАБОТКА УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ
СТАТИСТИКА
УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ
УЧЕБНИКИ, ЛЕКЦИИ, ШПАРГАЛКИ (СКАЧАТЬ)
ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ
ФИНАНСЫ, ДЕНЕЖНОЕ ОБРАЩЕНИЕ И КРЕДИТ
ЦЕНЫ И ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ
ЭКОНОМИКА
ЭКОНОМИКА, ОРГ-ЦИЯ И УПР-НИЕ ПРЕДПРИЯТИЕМ
ЭКОНОМИКА И СОЦИОЛОГИЯ ТРУДА
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ (МИКРО-, МАКРО)
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ЭКОНОМЕТРИКА
Оформить заказ
Ваше имя *
Ваш e-mail *
Контактный телефон
Город *
Учебное заведение *
Предмет *
Тип работы *
Тема работы/вариант *
Кол-во страниц
Срок выполнения *
Прикрепить файл
Дополнительные условия


Статистика
Онлайн всего: 45
Гостей: 45
Пользователей: 0