Контрольные, курсовые, рефераты, тесты – готовые и на заказ!
 Гарантия качества, доступные цены, индивидуальный подход
 Работы выполняют высококвалифицированные специалисты
Войти      Регистрация
 тел. 8-912-388-82-05
  std72@mail.ru
> 20 лет успешной работы
> 50000 выполненных заказов
Отзывы/вопросы

Форма входа



Главная » Учебно-методические материалы » ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ » Высшая математика для экономистов: курс лекций. Денисов В.Н.

14.2. Производные высших порядков
29.12.2011, 12:18

Пусть y=f(x) - дифференцируема в (a;b)®$f'(x), "xÎ(a;b). Т.к. f'(x) - есть некоторая функция, поэтому для нее тоже можно ввести понятие производной.

Пример:

y=x2;                               y'=2x

Определение.

Если  y=f(x)- дифференцируема в (a;b) и $ первая производная от первой производной этой функции (от f'(x)), то она называется второй производной, и обозначается

f''(x)=f(2)(x)(f'(x))'x

y=x2, y'=2x, y''=2.

Определение.

Если существует первая производная от производной порядка (n-1), то она называется производной порядка n.

Производные более высоких порядков находятся последовательным дифференцированием функции.

Пример.

Пусть y=sinx. Найдем несколько производных.

y'=(sinx)'=cosx=sin(x+p/2)

y''=(cosx)'=-sinx=sin(x+p)=sin(x+2×p/2)

y'''=(-sinx)'=-cosx=sin(x+3p/2)

y'v=(-cosx)'=sin=sin(x+4×p/2).

Очевидна закономерность, поэтому предположим y(n)=sin(x+n×p/2).

Докажем справедливость формулы для производной (n+1) порядка

y(n+1)=(sin(x+n×p/2))'=cos(x+n×p/2)=sin(x+p/2+n×p/2)=sin(x+(n+1)×p/2).

Поэтому в силу метода математической индукции можем сказать, что верна формула y(n)=sin(x+n×p/2).

 

Свойства производных порядка n.

Если U и V  n раз дифференцируемы, тогда

1)  (U±V)(n)=U(n)±V(n)

2)  (U×V)(n)=U(n)×V(n)+n×U(n-1)×V(1)+×U(n-2)×V(2)+

+...+n×U(1)×V(n-1)+U(0)×V(n)=U(n-k)×V(k)где числаЭта формула называется формула Лейбница.

Пример.

y=(x2×e2x)(115)=(e2x×x2)(115)=(e2x)(115)×x2+115(e2x)(114)×(x2)'+115×114/2×(e2x)(113)×

×(x2)''+0=2115×e2x×x2+115×2115×e2x×x+2114×e2x×115×114/2=2115×e2x×x2+

+115×2115×e2x×x+2115×e2x×115×57/2=2115×e2x(x2+115x+115×57/2)

 

Дифференциалы высших порядков.

Пусть функция f(x) - дифференцируема на (a;b)Þ$df=f'(x)dx, дифференциал зависит от переменной х и от независимого приращения dx.

Определение.

Дифференциалом второго порядка от функции y=f(x), дифференцируемой на интервал (a;b) называется дифференциал первого порядка от дифференциала первого порядка при фиксированном dx т.е.

d2yd(dy), при dx=Dx- фиксированном.

Аналогично можно определить и дифференциал порядка n

dn yd(dn-1 y), при dx- фиксированном.

Теорема. Связь дифференциала и производной порядка n.

Если функция одной независимой переменной y=f(x) имеет производную порядка n, то есть f(n)(x), то dn y=f(n)(x)×(dx)n

Доказательство.

Т.к. $f(n)(x), то существуют все производные более низкого порядка, значит

dy=f'dx,  d2y=d(f'dx)=d(f')dx=f''dx×dx=f''(dx)2,

d3y=d(d2y)=d(f''dx2)=d(f'')dx2=f3dx3                       .

Предположим, что dny=f(n)(dx)n, тогда для dn+1y имеем

dn+1y=d(dny)=d(fn(dx)n)=(dx)n×f(n+1)dx=f(n+1)×(dx)n+1, и, в силу метода математической индукции, формула верна при любом n.

ТеоремаО неинвариантности дифференциалов высших порядков.

Если f(x)=f(j(x))- дважды дифференцируема на (a;b),то форма записи дифференциала второго порядка не является инвариантом.

С одной стороны d2y=y''(x)dx2 (из предыдущей теоремы). С другой стороны

 y''=(f'j × j'x)'x=f''jj× j'x× j'x+f'j × j''xx,

то есть  для d2y  имеем

d2y=(f''jjj'x× j'x+f'x× j''xx)dx2=f''jj(dj)2+f'j × d2j,

т.е. форма записи дифференциала второго порядка в зависимых и независимых переменных различна, и не является инвариантной.

http://www.sibe.ru/




БАНКОВСКОЕ ДЕЛО
БУХГАЛТЕРСКИЙ, УПР. И ФИН. УЧЕТ
БЮДЖЕТ И БЮДЖЕТНАЯ СИСТЕМА РФ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ
ГУМАНИТАРНЫЕ НАУКИ
ДОКУМЕНТОВЕДЕНИЕ И ДЕЛОПРОИЗВОДСТВО
ИНВЕСТИЦИИ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В ЭКОНОМИКЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
МАРКЕТИНГ
МЕНЕДЖМЕНТ
МЕТ. РЕКОМЕНДАЦИИ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МИРОВАЯ ЭКОНОМИКА И МЭО
НАЛОГИ И НАЛОГООБЛОЖЕНИЕ
ПЛАНИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
ПРАВОВЕДЕНИЕ
РАЗРАБОТКА УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ
СТАТИСТИКА
УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ
УЧЕБНИКИ, ЛЕКЦИИ, ШПАРГАЛКИ (СКАЧАТЬ)
ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ
ФИНАНСЫ, ДЕНЕЖНОЕ ОБРАЩЕНИЕ И КРЕДИТ
ЦЕНЫ И ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ
ЭКОНОМИКА
ЭКОНОМИКА, ОРГ-ЦИЯ И УПР-НИЕ ПРЕДПРИЯТИЕМ
ЭКОНОМИКА И СОЦИОЛОГИЯ ТРУДА
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ (МИКРО-, МАКРО)
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ЭКОНОМЕТРИКА
Оформить заказ
Ваше имя *
Ваш e-mail *
Контактный телефон
Город *
Учебное заведение *
Предмет *
Тип работы *
Тема работы/вариант *
Кол-во страниц
Срок выполнения *
Прикрепить файл
Дополнительные условия


Статистика
Онлайн всего: 18
Гостей: 18
Пользователей: 0