Контрольные, курсовые, рефераты, тесты – готовые и на заказ!
 Гарантия качества, доступные цены, индивидуальный подход
 Работы выполняют высококвалифицированные специалисты
Войти      Регистрация
 тел. 8-912-388-82-05
  std72@mail.ru
> 20 лет успешной работы
> 50000 выполненных заказов
Отзывы/вопросы

Форма входа



Главная » Учебно-методические материалы » ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ » Высшая математика для экономистов: курс лекций. Денисов В.Н.

15.2. Правила Лопиталя
29.12.2011, 12:20

Теорема 1.

 Если  функции f(x) и g(x) таковы, что:

1)  они дифференцируемы на (a;b);

2)  ;

3)  g’(x)¹на (a,b);

4)  ,

тогда существует и предел отношения , причем

                 .

 

Доказательство.

Так как f(x) и g(x) - неопределенны в т. а, но у  них существуют пределы в т. а, равные нулю, доопределим эти функции в т. а, положив

f(a)=0, g(a)=0.

После этого функции f и g становятся непрерывными в точке а справа. Так как g и f - дифференцируемы, g’(x)¹0, то выполняются все условия теоремы Коши. Значит существует  точка qa<q<x<b, такая что  .

Так как f(a)=0 и g(a)=0, то получим:

При  x ® a+0 èìååì q ® a+0 ,поэтому справедливо равенство

.

Пример.

.

 

Теорема 2.

Если функции f(x)  и g(x) таковы, что:

1)  они дифференцируемы на (а;+¥);

2)  ;  ;

3)  g’(x)¹0 на (а;+¥);

4)  ,

тогда .

 

Теорема 3.

 Если функции f(x) и g(x) таковы, что:

1)  они дифференцируемы на (а;+¥);

2)  ;  ;

3)  g’(x)¹0 на (а;+¥);

4)  ,

тогда .

 


Примечание.

Если не выполняется хотя бы одно из условий теорем, то теоремы применять нельзя.

 

Пример.

 теорему применить нельзя, так как предел не существует (последнее условие теоремы не выполняется), однако

, легко вычисляется с использованием бесконечно-больших и бесконечно-малых функций.

 

Теорема 4.

 Если функции f(x) и g(x) таковы, что:

1)  дифференцируемы на (a;b);

2)  ;  ;

3)  g’(x)¹на (a;b);

4)  ,

тогда .

 

ЗАМЕЧАНИЕ

Неопределенности такого типа 0¥¥-¥; 1¥; 00¥0 могут быть раскрыты по правилу Лопиталя, после предварительного сведения их к виду .

http://www.sibe.ru/




БАНКОВСКОЕ ДЕЛО
БУХГАЛТЕРСКИЙ, УПР. И ФИН. УЧЕТ
БЮДЖЕТ И БЮДЖЕТНАЯ СИСТЕМА РФ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ
ГУМАНИТАРНЫЕ НАУКИ
ДОКУМЕНТОВЕДЕНИЕ И ДЕЛОПРОИЗВОДСТВО
ИНВЕСТИЦИИ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В ЭКОНОМИКЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
МАРКЕТИНГ
МЕНЕДЖМЕНТ
МЕТ. РЕКОМЕНДАЦИИ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МИРОВАЯ ЭКОНОМИКА И МЭО
НАЛОГИ И НАЛОГООБЛОЖЕНИЕ
ПЛАНИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
ПРАВОВЕДЕНИЕ
РАЗРАБОТКА УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ
СТАТИСТИКА
УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ
УЧЕБНИКИ, ЛЕКЦИИ, ШПАРГАЛКИ (СКАЧАТЬ)
ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ
ФИНАНСЫ, ДЕНЕЖНОЕ ОБРАЩЕНИЕ И КРЕДИТ
ЦЕНЫ И ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ
ЭКОНОМИКА
ЭКОНОМИКА, ОРГ-ЦИЯ И УПР-НИЕ ПРЕДПРИЯТИЕМ
ЭКОНОМИКА И СОЦИОЛОГИЯ ТРУДА
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ (МИКРО-, МАКРО)
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ЭКОНОМЕТРИКА
Оформить заказ
Ваше имя *
Ваш e-mail *
Контактный телефон
Город *
Учебное заведение *
Предмет *
Тип работы *
Тема работы/вариант *
Кол-во страниц
Срок выполнения *
Прикрепить файл
Дополнительные условия


Статистика
Онлайн всего: 24
Гостей: 24
Пользователей: 0