Контрольные, курсовые, рефераты, тесты – готовые и на заказ!
 Гарантия качества, доступные цены, индивидуальный подход
 Работы выполняют высококвалифицированные специалисты
Войти      Регистрация
 тел. 8-912-388-82-05
  std72@mail.ru
> 20 лет успешной работы
> 50000 выполненных заказов
Отзывы/вопросы

Форма входа



Главная » Учебно-методические материалы » ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ » Высшая математика для экономистов: курс лекций. Денисов В.Н.

15.3. Формула Тейлора
29.12.2011, 12:20

Если f(x) - непрерывна в т. х0, то справедливо разложение             

                  f(x)=f(x0)+î(1), при x®x0,

если же f(x)  дифференцируема  в т. х тогда имеем,что f(x)=при x®x0.

Оказывается, что если функция несколько раз дифференцируема, то справедлива теорема.

Теорема. О разложении по формуле Тейлора.

      Если функция f(x) в т. х0 и некоторой ее окрестности «n» раз дифференцируема, то она в окрестности  т. х0 представима в виде:

f(x)=Pn(x)+î((x-x0)n), x®x0, где

 (многочлен Тейлора).

Доказательство.

Так как функция  n раз дифференцируема в т. х0, то существуют  f(x0), f’(x0); f’’(x0)...f(n)(x0).

Рассмотрим многочлен Pn(x)=a0+a1×(x1-x0)+a2×(x-x0)2+....+an(x-x0)n. Подберем коэффициенты этого многочлена так, чтобы:

a0=f(x0); a1=; a2=; an=,

так как 

P’n(x)=a1+2a2(x-x0)+....+nan(x-x0)n-1

P’’n(x)=2a2+...+n(n-1)an×(x-x0)n-2

P(n)n=.

Получим: Pn(x)=- многочлен Тейлора.

Рассмотрим функцию rn(x)=f(x)- Pn(x). Она такова, что  rn(x0)=rn(x0)=...=rn(n)(x0)=0. Применив правило Лопиталя имеем

=...=

=rn(x)=0((x-x0)n) - бесконечно-малая более высокого порядка, чем (х-х0)n, а значит получена формула

f(x)=Pn(x)+î((x-x0)n) - формула Тейлора.

Функция rn(x) - остаточный член формулы Тейлора. Если остаточный член rn(x)=î((x-x0)n), то такая форма записи остаточного члена называется формой записи Пеано. Если же $f(n+1)(x), то rn(x) можно представить в форме записи Лагранжа ,

где q - некоторое число из окрестности точки х0.

Теорема. О наилучшем приближении дифференцируемой функции многочленам.

Если «n» раз дифференцируемая функция в окрестности точки х0 представлена в виде

f(x)=Pn(x)+î((x-x0)n), х®х0, то многочлен Pn(x), коэффициенты которого k=0,1,...n, - многочлен Тейлора.

Многочлен Тейлора является наилучшим из всех других многочленов для приближения функции в окрестности  т. х0, так как разность f(x)-Pn(x)=î((x-x0)n) можно сделать сколь угодно малой.

Если же х0=0, то формула Тейлора преобразуется в формулу Маклорена:

f(x) = f(0)+.

многочлен Маклорена

 

Сделав замену переменных х-х0=q всегда можно перейти от формулы Тейлора к формуле Маклорена и наоборот. А поэтому для разложений на практике пользуются таблицей разложений по формуле Маклорена как более простой.

 

 

Таблица разложений:

ex = 

sinx = 

cosx = 

tgx = x+

ln(1+x) = 

arcsinx = x+

1×3×5×7×...×(2n+1) = (2n+1)!!

2×4×6×8×...×2n = (2n)!!

arccosx = -arcsinx

arctgx = x-

(1+x)a = 1+ax+

http://www.sibe.ru/




БАНКОВСКОЕ ДЕЛО
БУХГАЛТЕРСКИЙ, УПР. И ФИН. УЧЕТ
БЮДЖЕТ И БЮДЖЕТНАЯ СИСТЕМА РФ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ
ГУМАНИТАРНЫЕ НАУКИ
ДОКУМЕНТОВЕДЕНИЕ И ДЕЛОПРОИЗВОДСТВО
ИНВЕСТИЦИИ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В ЭКОНОМИКЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
МАРКЕТИНГ
МЕНЕДЖМЕНТ
МЕТ. РЕКОМЕНДАЦИИ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МИРОВАЯ ЭКОНОМИКА И МЭО
НАЛОГИ И НАЛОГООБЛОЖЕНИЕ
ПЛАНИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
ПРАВОВЕДЕНИЕ
РАЗРАБОТКА УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ
СТАТИСТИКА
УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ
УЧЕБНИКИ, ЛЕКЦИИ, ШПАРГАЛКИ (СКАЧАТЬ)
ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ
ФИНАНСЫ, ДЕНЕЖНОЕ ОБРАЩЕНИЕ И КРЕДИТ
ЦЕНЫ И ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ
ЭКОНОМИКА
ЭКОНОМИКА, ОРГ-ЦИЯ И УПР-НИЕ ПРЕДПРИЯТИЕМ
ЭКОНОМИКА И СОЦИОЛОГИЯ ТРУДА
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ (МИКРО-, МАКРО)
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ЭКОНОМЕТРИКА
Оформить заказ
Ваше имя *
Ваш e-mail *
Контактный телефон
Город *
Учебное заведение *
Предмет *
Тип работы *
Тема работы/вариант *
Кол-во страниц
Срок выполнения *
Прикрепить файл
Дополнительные условия


Статистика
Онлайн всего: 34
Гостей: 34
Пользователей: 0