Контрольные, курсовые, рефераты, тесты – готовые и на заказ!
 Гарантия качества, доступные цены, индивидуальный подход
 Работы выполняют высококвалифицированные специалисты
Войти      Регистрация
 тел. 8-912-388-82-05
  std72@mail.ru
> 20 лет успешной работы
> 50000 выполненных заказов
Отзывы/вопросы

Форма входа



Главная » Учебно-методические материалы » ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ » Высшая математика для экономистов: курс лекций. Денисов В.Н.

16.1. Точки экстремума
29.12.2011, 12:22

Пусть f(x) определена  в т. х0 и ее окрестности.

Определение. Точек максимума, минимума.

Точка х0 называется точкой максимума (минимума) функции f(x), если $0), такая, что f(x)<f(x0) (f(x)>f(x0)) для "хÎ0).

Точки максимума и точки минимума называются точками экстремума. Эти точки являются точками локальными (существующими в некоторой окрестности т. х0, см. рис. ниже).

Теорема . Необходимое условие экстремума.

Если т. х0- точка экстремума функции f0), то или f'(х0)- или f'(x0)=0.

Доказательство.

Пусть х- точка экстремума. Это означает по определению, что наибольшее или наименьшее значение функция принимает внутри интервала (х0-d х0+d).

Если функция дифференцируема в т. х0 и ее окрестности, то она тем более непрерывна в этой окрестности, а значит по теореме Ферма: f'(x0)=0 , т.к. в этой точке функция принимает наибольшее или наименьшее значение.

Когда же функция в т. х0 непрерывна, но не дифференцируема и в т. х0 она принимает наибольшее или наименьшее значение, то по  той же теореме Ферма f'(x0)-

В дальнейшем точки, в которых f'(x)=0 или f'(x)- мы будем называть критическими для первой производной или стационарными.

Среди критических точек могут быть точки экстремума, но их может и не быть вообще.

 

 

Пример.

 

 

f'(x0)=0, но х0- не           f'(0)- не существует.

точка экстремума.       0- не точка экстремума.

Теорема дает лишь точки возможного экстремума.

Для выбора среди критических точек точек экстремума применяется следующая теорема.

Теорема. Достаточное условие экстремума.

Пусть т. х0- критическая для f'(x), причем функция f(x)- непрерывна в т. х0 и ее окрестности и дифференцируема хотя бы в т. х0, тогда:

если при переходе через точку х0 производная f'(x) меняет знак с "+" на "-" то точка х0- точка максимума;

если с "-" на "+", то х0- точка минимума.

Если же смены знака не происходит, экстремума в т. х0- нет.

Доказательство.

Пусть функция f(x)- непрерывна в т. х0, причем f'(x) меняет знак с "+" на "-" при переходе через т. х0.Тогда в окрестности (х0-d ; х0), т. к. f'(x)>0 òî по критерию  возрастания имеем, что f(x) возрастает в окрестности (х0-d; х0), значит f(x)<f0) для "х из этой окрестности.

В окрестности (х; х0+d) в силу того, что f'(x)<0, ïîëó÷èì f(x) - убывающая в этой окрестности, поэтому f(x0)>f(x). Но тогда по определению т. х- точка максимума.

Аналогично доказывается случай, когда f'(x) меняет знак с "-" на "+".

Теорема. Достаточное условие экстремума, использующее высшие производные.

Пусть функция f(x) в т. х0 "n" раз дифференцируема и

1)  f'(х0)=f''(х0)=...f(n-1)0)=0

2)  f(n)0)¹0

Тогда, если n=2k, то т. х0- точка экстремума, если n=2k+1, то т. х0- не является точкой экстремума (точка перегиба).

Причем, при f(2k)(x0)<0, точка х0- точка максимума, если же  f(2k)(x0)>0, то т. х0- точка минимума.

Доказательство.

Т. к. функция "n" раз  дифференцируема, то имеем разложение функции по формуле Тейлора в котором учтены условия теоремы

 

f(x)=f(x0)+

+,

то есть

f(x)-f(x0)=,

а тогда

f(x)-f(x0)=(x-x0)n, при х®х0.

Если n=2k, то (х-х0)n>0. Так как о(1)- бесконечно малая функция, то знак суммы  определяется знаком производной  f(n)(x0).

При f(n)(x0)<0, имеем f(x)-f(x0)<0 Û f(x)<f(x0) в 0), т. е. х0- точка максимума.

Когда  f(n)(x0)>0, то f(x)-f(x0)>0 Û f(x)>f(x0), значит т. х0- точка минимума.

Если же n=2k+1, то (x-x0)2k+1 в левосторонней окрестности имеет  один знак, в правосторонней окрестности  будет иметь другой знак, значит, f(x)-f(x0) слева и справа от х0 будет иметь разные знаки, и поэтому в т. х0 экстремума не будет.

 

 

 

 

Пример.

 
y=x4 ; y'=4x3

x0=0- критическая точка.

y''=12x2 ; y(3)=24x ; y(4)=24

y'=y''=y'''=0 в т. х0

y(4)>0 Þ x0=0 - точка минимума.

http://www.sibe.ru/




БАНКОВСКОЕ ДЕЛО
БУХГАЛТЕРСКИЙ, УПР. И ФИН. УЧЕТ
БЮДЖЕТ И БЮДЖЕТНАЯ СИСТЕМА РФ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ
ГУМАНИТАРНЫЕ НАУКИ
ДОКУМЕНТОВЕДЕНИЕ И ДЕЛОПРОИЗВОДСТВО
ИНВЕСТИЦИИ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В ЭКОНОМИКЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
МАРКЕТИНГ
МЕНЕДЖМЕНТ
МЕТ. РЕКОМЕНДАЦИИ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МИРОВАЯ ЭКОНОМИКА И МЭО
НАЛОГИ И НАЛОГООБЛОЖЕНИЕ
ПЛАНИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
ПРАВОВЕДЕНИЕ
РАЗРАБОТКА УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ
СТАТИСТИКА
УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ
УЧЕБНИКИ, ЛЕКЦИИ, ШПАРГАЛКИ (СКАЧАТЬ)
ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ
ФИНАНСЫ, ДЕНЕЖНОЕ ОБРАЩЕНИЕ И КРЕДИТ
ЦЕНЫ И ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ
ЭКОНОМИКА
ЭКОНОМИКА, ОРГ-ЦИЯ И УПР-НИЕ ПРЕДПРИЯТИЕМ
ЭКОНОМИКА И СОЦИОЛОГИЯ ТРУДА
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ (МИКРО-, МАКРО)
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ЭКОНОМЕТРИКА
Оформить заказ
Ваше имя *
Ваш e-mail *
Контактный телефон
Город *
Учебное заведение *
Предмет *
Тип работы *
Тема работы/вариант *
Кол-во страниц
Срок выполнения *
Прикрепить файл
Дополнительные условия


Статистика
Онлайн всего: 8
Гостей: 8
Пользователей: 0