Контрольные, курсовые, рефераты, тесты – готовые и на заказ!
 Гарантия качества, доступные цены, индивидуальный подход
 Работы выполняют высококвалифицированные специалисты
Войти      Регистрация
 тел. 8-912-388-82-05
  std72@mail.ru
> 20 лет успешной работы
> 50000 выполненных заказов
Отзывы/вопросы

Форма входа



Главная » Учебно-методические материалы » ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ » Высшая математика для экономистов: курс лекций. Денисов В.Н.

16.2. Выпуклость, вогнутость функции на интервале
29.12.2011, 12:22

Рассмотрим функцию y=f(x) определенную в окрестности точки х0.

Определение. Выпуклости вверх (вниз).

Если в окрестности т. х0 график функции y=f(x) лежит ниже касательной к графику в т. х0, то функция f(x) называется выпуклой вверх в т. х0 , если же график лежит выше касательной в т. х0, то функция называется выпуклой вниз.

 

 

Пусть y=L(x)- касательная к графику функции f(x) в т. х0, тогда имеем

f(x)-L(x)<0, при x®x0- если f(x) выпукла вверх, и

f(x)-L(x)>0, при x®x0,- åñëè функция f(x) выпукла вниз.

Если f(x) выпукла вверх (вниз) во всех точках, некоторого интервала (a;b), то говорят, что она выпукла на всем интервале.

Теорема. Достаточное условие выпуклости.

Если функция f(x) дважды дифференцируема на (a;b) и f''(x)>0 (f''(x)<0) на (a;b), тогда f(x) выпукла вниз (вверх) на (a;b).


Доказательство.

Т. к. функция дифференцируема в " точке интервала (a;b), то имеем разложение

f(x)=f(x0)+, x®x0

 


>0

 
Тогда f(x)-L(x)=(x-x0)2×x®x0.

Знак второго множителя правой части определяется знаком второй производной f''(x0). При f''(x0)>0 имеем f(x)-L(x)>0, это означает, что f(x) выпукла вниз.

Если же  f''(x0)<0, то f(x)-L(x)<0f(x)- выпукла вверх.

Т. к.  т. х0- произвольная точка интервала, то теорема справедлива  и для всего интервала.

Пример.

На приведенном рисунке изображена функция y=(x-x0)3+y0, выпуклая вверх и вниз. При этом интервалы выпуклости  вверх и вниз очевидны из равенства у"=6(x-x0)

 


http://www.sibe.ru/




БАНКОВСКОЕ ДЕЛО
БУХГАЛТЕРСКИЙ, УПР. И ФИН. УЧЕТ
БЮДЖЕТ И БЮДЖЕТНАЯ СИСТЕМА РФ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ
ГУМАНИТАРНЫЕ НАУКИ
ДОКУМЕНТОВЕДЕНИЕ И ДЕЛОПРОИЗВОДСТВО
ИНВЕСТИЦИИ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В ЭКОНОМИКЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
МАРКЕТИНГ
МЕНЕДЖМЕНТ
МЕТ. РЕКОМЕНДАЦИИ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МИРОВАЯ ЭКОНОМИКА И МЭО
НАЛОГИ И НАЛОГООБЛОЖЕНИЕ
ПЛАНИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
ПРАВОВЕДЕНИЕ
РАЗРАБОТКА УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ
СТАТИСТИКА
УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ
УЧЕБНИКИ, ЛЕКЦИИ, ШПАРГАЛКИ (СКАЧАТЬ)
ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ
ФИНАНСЫ, ДЕНЕЖНОЕ ОБРАЩЕНИЕ И КРЕДИТ
ЦЕНЫ И ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ
ЭКОНОМИКА
ЭКОНОМИКА, ОРГ-ЦИЯ И УПР-НИЕ ПРЕДПРИЯТИЕМ
ЭКОНОМИКА И СОЦИОЛОГИЯ ТРУДА
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ (МИКРО-, МАКРО)
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ЭКОНОМЕТРИКА
Оформить заказ
Ваше имя *
Ваш e-mail *
Контактный телефон
Город *
Учебное заведение *
Предмет *
Тип работы *
Тема работы/вариант *
Кол-во страниц
Срок выполнения *
Прикрепить файл
Дополнительные условия


Статистика
Онлайн всего: 13
Гостей: 13
Пользователей: 0