Контрольные, курсовые, рефераты, тесты – готовые и на заказ!
 Гарантия качества, доступные цены, индивидуальный подход
 Работы выполняют высококвалифицированные специалисты
Войти      Регистрация
 тел. 8-912-388-82-05
  std72@mail.ru
> 20 лет успешной работы
> 50000 выполненных заказов
Отзывы/вопросы

Форма входа



Главная » Учебно-методические материалы » ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ » Высшая математика для экономистов: курс лекций. Денисов В.Н.

16.3. Точки перегиба
29.12.2011, 12:23

Определение.

Точка х0 называется точкой перегиба дифференцируемой функции f(x), если для "х из (x0-d;x0f(x)-L(x)³0, а для "х из [x0,x0+df(x)-L(x)£0.

Значение разности функции и ее касательной меняет знак при переходе через точку перегиба.

 

Теорема. Необходимое условие существования точки перегиба.

Если т. х0- точка перегиба функции y=f(x), то либо f''(x0)=0, либо f''(x0)-

Доказательство.

Предположим что т. х0- точка перегиба Þ f(x)-L(x) меняет знак при переходе через т. х0.

Пусть $ f''(x0)¹0, тогда разность f(x)-L(x) сохраняет знак, так как f(x)-L(x)=(x-x0)2.

    

Если f(x)-L(x)- сохраняет знак, то т. х0 не является точкой перегиба, а это противоречие с условием теоремы. Поэтому f''(x0)=0 (равна нулю).

Точки в которых f''(x0)=0 или не существует, называются критическими для второй производной.

Теорема. Достаточное условие существования точек перегиба.

Пусть т. х0- критическая для 2-й производной и функция f(x) дважды дифференцируема хотя бы в т. х0, в которой она непрерывна.

      Если при переходе через т. х0 вторая производная меняет знак, то точка х0- является точкой перегиба.

Если же f''(x0)- не меняет знак, то точка х0- не является точкой перегиба.

Доказательство.

Пусть f''(x)<0 в (x0-d;x0) è f''(x)>0 в (x0x0+d). Тогда f(x) выпукла вверх на интервале (x0-dx0) è f(x) выпукла вниз на интервале (x0x0+d). Так как f(x)- непрерывна, т. е. т. х0- конец интервала  выпуклости вверх и выпуклости вниз, значит, т. x0- точка перегиба.

http://www.sibe.ru/




БАНКОВСКОЕ ДЕЛО
БУХГАЛТЕРСКИЙ, УПР. И ФИН. УЧЕТ
БЮДЖЕТ И БЮДЖЕТНАЯ СИСТЕМА РФ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ
ГУМАНИТАРНЫЕ НАУКИ
ДОКУМЕНТОВЕДЕНИЕ И ДЕЛОПРОИЗВОДСТВО
ИНВЕСТИЦИИ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В ЭКОНОМИКЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
МАРКЕТИНГ
МЕНЕДЖМЕНТ
МЕТ. РЕКОМЕНДАЦИИ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МИРОВАЯ ЭКОНОМИКА И МЭО
НАЛОГИ И НАЛОГООБЛОЖЕНИЕ
ПЛАНИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
ПРАВОВЕДЕНИЕ
РАЗРАБОТКА УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ
СТАТИСТИКА
УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ
УЧЕБНИКИ, ЛЕКЦИИ, ШПАРГАЛКИ (СКАЧАТЬ)
ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ
ФИНАНСЫ, ДЕНЕЖНОЕ ОБРАЩЕНИЕ И КРЕДИТ
ЦЕНЫ И ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ
ЭКОНОМИКА
ЭКОНОМИКА, ОРГ-ЦИЯ И УПР-НИЕ ПРЕДПРИЯТИЕМ
ЭКОНОМИКА И СОЦИОЛОГИЯ ТРУДА
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ (МИКРО-, МАКРО)
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ЭКОНОМЕТРИКА
Оформить заказ
Ваше имя *
Ваш e-mail *
Контактный телефон
Город *
Учебное заведение *
Предмет *
Тип работы *
Тема работы/вариант *
Кол-во страниц
Срок выполнения *
Прикрепить файл
Дополнительные условия


Статистика
Онлайн всего: 11
Гостей: 11
Пользователей: 0