Контрольные, курсовые, рефераты, тесты – готовые и на заказ!
 Гарантия качества, доступные цены, индивидуальный подход
 Работы выполняют высококвалифицированные специалисты
Войти      Регистрация
 тел. 8-912-388-82-05
  std72@mail.ru
> 20 лет успешной работы
> 50000 выполненных заказов
Отзывы/вопросы

Форма входа



Главная » Учебно-методические материалы » ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ » Высшая математика для экономистов: курс лекций. Денисов В.Н.

17.4. Экстремумы ФМП
29.12.2011, 12:31

Определение.

Точка М0- точка максимума (минимума) функции z=f(x,y), если $d- окрестность т. М0 такая, что для "(x,y)из этой окрестности f(x,y)<f(x0,y0) (f(x,y)>f(x0,y0)

Теорема. Необходимое условие экстремума.

Если т. М0 (x0,y0)- точка экстремума, тогда или

  или  (не существуют).

В дальнейшем точки в которых z'x=0 и z'y=0 или не $ назовем критическими.

 

Теорема . Достаточное условие экстремума.

Пусть т. М0- критическая, причем

1) z=f(x,y)- непрерывна в т. М0

2) существуют f''xxf''yyf''xy в т. М0, тогда

при D(M0)=f''xx(M0)f''yy(M0)-[f''xy(M0)]2 >0, экстремум есть, причем при f''x(M0)<0- максимум, f''yy(M0)>0- минимум.

Если же D<0, экстремума нет, при D=0- ничего нельзя сказать о наличии экстремума.

Пример.

z=x2+y2 Þ 

Так как D0)=2×2-0>0- экстремум есть, причем z''xx>0 Þ в точке М0-минимум.

Если требуется найти экстремум функции z=f(x,y) при условии, что переменные x,y связаны условием g(x,y)=0, то задачи такого вида называют задачами на условный экстремум и решают методом множителей Лангража.

 

Метод множителей Лагранжа.

Пусть требуется найти условный экстремум функции

z=f(x,y)

при наличии условия

g(x,y)=0.

Идея метода Лагранжа состоит в том, что:

1.  Вводится новая функция трех переменных, называемая функцией Лангража как

F(x,y,l)=f(x,y)+lg(x,y),

где l- неопределенный множитель, который рассматривается как новая переменная;

2.  Ищется экстремум (уже безусловный) этой функции. Для этого вычисляются частные производные первого порядка и приравниваются к нулю:

Полученные уравнения образуют систему трех уравнений с тремя не­известными. Решение этой системы представляет собой тройку чисел (x0y0l0), первые два из которых, т. е. (x0,y0), и дают координаты точки ус­ловного экстремума исходной функции f(x,y).

Применим метод Лагранжа для отыскания экстремума функций [1].

 

Пример.

Пусть f(x,y)=x2-3xy+12x при условии g(x,y)=6-2x-3y=0.

Функция Лангража имеет вид F(x,y,l)=x- 3xy+12x+l(2x+3y-6).

Тогда                   F'x(x,y,l)=2x-3y+12+2l,

F'y(x,y,l)=-3x+3l,

F'l(x,y,l)=-6+2x+3y=0.

Приравняв к нулю получим си­стему

Решим полученную систему методом исклю­чения. Для этого умножим первое (свер­ху) уравнение на 3, а второе на -2 и складываем, третье уравне­ние вычитаем из первого. Этим исключается переменная х и система при­нимает вид:

Теперь исключаем переменную l, умножая второе уравнение на -6, и складывая с первым. В результате

-27y=72ÞY=8/3.

Подставляя это значение в уравнение, находим сначала l, затем х:

l=-1;  x=-1.

Значит координаты точки условного экстремума (-1, 8/3). Соответствующее значение функции

f(-1, 8/3)=(-1)2×-3×(-1)×(8/3)+12×(-1)=-3.

http://www.sibe.ru/




БАНКОВСКОЕ ДЕЛО
БУХГАЛТЕРСКИЙ, УПР. И ФИН. УЧЕТ
БЮДЖЕТ И БЮДЖЕТНАЯ СИСТЕМА РФ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ
ГУМАНИТАРНЫЕ НАУКИ
ДОКУМЕНТОВЕДЕНИЕ И ДЕЛОПРОИЗВОДСТВО
ИНВЕСТИЦИИ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В ЭКОНОМИКЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
МАРКЕТИНГ
МЕНЕДЖМЕНТ
МЕТ. РЕКОМЕНДАЦИИ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МИРОВАЯ ЭКОНОМИКА И МЭО
НАЛОГИ И НАЛОГООБЛОЖЕНИЕ
ПЛАНИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
ПРАВОВЕДЕНИЕ
РАЗРАБОТКА УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ
СТАТИСТИКА
УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ
УЧЕБНИКИ, ЛЕКЦИИ, ШПАРГАЛКИ (СКАЧАТЬ)
ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ
ФИНАНСЫ, ДЕНЕЖНОЕ ОБРАЩЕНИЕ И КРЕДИТ
ЦЕНЫ И ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ
ЭКОНОМИКА
ЭКОНОМИКА, ОРГ-ЦИЯ И УПР-НИЕ ПРЕДПРИЯТИЕМ
ЭКОНОМИКА И СОЦИОЛОГИЯ ТРУДА
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ (МИКРО-, МАКРО)
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ЭКОНОМЕТРИКА
Оформить заказ
Ваше имя *
Ваш e-mail *
Контактный телефон
Город *
Учебное заведение *
Предмет *
Тип работы *
Тема работы/вариант *
Кол-во страниц
Срок выполнения *
Прикрепить файл
Дополнительные условия


Статистика
Онлайн всего: 15
Гостей: 15
Пользователей: 0