Контрольные, курсовые, рефераты, тесты – готовые и на заказ!
 Гарантия качества, доступные цены, индивидуальный подход
 Работы выполняют высококвалифицированные специалисты
Войти      Регистрация
 тел. 8-912-388-82-05
  std72@mail.ru
> 20 лет успешной работы
> 50000 выполненных заказов
Отзывы/вопросы

Форма входа



Главная » Учебно-методические материалы » ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ » Высшая математика для экономистов: курс лекций. Денисов В.Н.

20.3. Степенные ряды
29.12.2011, 12:33

Среди функциональных рядов наиболее широкое употребление имеют степенные ряды.

Определение.

Функциональный ряд вида  называют степенным с базисной точкой t0.

Если сделать замену переменных t-t0=x то, получим ряд с базисной точкой в нуле.

Введем определения.

Определение.

Число R ³ 0 называется радиусом сходимости степенного ряда, если для любых ½х½<R, ряд сходится, а при любых ½х½>R ряд расходится.

Определение.

Множество -R<x<R, где R- радиус сходимости ряда, называется интервалом сходимости степенного ряда.

Заметим, что для исследования сходимости степенных рядов применяется та же схема, что для исследования сходимости функциональных рядов. Полезно также знать следующие теоремы.

Теорема Абеля.

Если степенной ряд  сходится в точке х0, то он будет сходится  для "½х½<½x0½. Если ряд расходится в т. х0, то он расходится для всех ½х½>½x0½.

Доказательство.

Пусть  сходится в точке х0, следовательно по необходимому признаку сходимости имеем  такое, что ½anx0n½<M при n®¥.

Очевидно, что ½anx0n½=½anx0n×½=½anx0n½×<M×.

Пусть ½х½<½x0½, тогда ряд - сходится, как геометрический.

      В силу полученного выше неравенства и I-й теоремы сравнения сходится ряд , а значит  исходный ряд  сходится, причем абсолютно.

      Пусть  расходится. Рассмотрим случай ½x0½<½x½. Если предположить, что ряд  сходится, тогда по I-й части теоремы, ряд  также должен сходится. Получаем противоречие. Значит предположение неверно и ряд  расходится.

Теорема. (О действиях над степенными рядами).

Если степенной ряд  сходится на интервале (-R,R), то на любом отрезке [-r,r]Î(-R,R) ряд  сходится абсолютно и равномерно. Причем его сумма будет непрерывной функцией, его можно почленно дифференцировать и интегрировать. Вновь получающиеся степенные ряды будут иметь тот же радиус сходимости и равномерно сходиться на любом отрезке внутри интервала сходимости.

Пример.

Ряд  сходится при ½x½<1.Интегрируя его имеем

 или

 

,½x½<1

разложение логарифмической функции в степенной ряд.

Ряды Тейлора.

Если функция f(x) на [a,b] бесконечное число раз дифференцируема и т. x0Î[a,b], то рядом Тейлора сопоставленным функции f(x) называется степенной ряд .

Если этот степенной ряд сходится в окрестности т. х0 к функции f(x), то говорят, что функция f(x) разложима в ряд Тейлора в т. х0 и пишут

       .

Если х0=0, (базисная точка ряда), то полученный в этом случае степенной ряд называется рядом Маклорена и имеет вид:

.

Так как ряды Тейлора и Маклорена связаны при помощи замены переменных x-x0=t, то достаточно иметь разложение в ряд Маклорена, чтобы при помощи замены переменных получить разложение в ряд Тейлора для любой т. х0 из интервала сходимости.

 

Теорема. (Критерий разложения в ряд Тейлора).

Для того, чтобы функция f(x) была разложима в ряд Тейлора в т. х0 необходимо и достаточно, что остаточный член формулы Тейлора rn(x)®0 при n®¥.

Доказательство.

Необходимость.

Когда функция f(x) разложима в ряд Тейлора, тогда =Sn(x)+rn(x), т.е. rn(x)=f(x)-Sn(x).

, так как функция разложима в ряд Тейлора, поэтому .

Достаточность.

Пусть . Так как f(x)=Sn(x)+rn(x), то , а значит , рассматриваемый ряд сходится и функция разложима в ряд Тейлора по определению.

Теорема.(Достаточный признак разложения в ряд Тейлора).

Если функция f(x) такова,что она бесконечно дифференцируема в окрестности точки ,сама f(x) и все ее производные ограничены в совокупности некоторым числом М, то эта функция разложима в ряд Тейлора в окрестности точки .

Пример.

Рассмотрим функцию f(x)=ex. Производная f(n)(x)=(ex)(n)=ex. В окрестности т. x0=0 имеем <2 при любом n. Поэтому в силу достаточного условия f(x)=ex разложима в ряд Тейлора.

      Можно показать, что справедливы разложения в ряд Маклорена.

"хÎR

,,  |х|<1

½x½<1.

Другие, менее часто встречаемые разложения, можно найти в [1-3].

http://www.sibe.ru/




БАНКОВСКОЕ ДЕЛО
БУХГАЛТЕРСКИЙ, УПР. И ФИН. УЧЕТ
БЮДЖЕТ И БЮДЖЕТНАЯ СИСТЕМА РФ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ
ГУМАНИТАРНЫЕ НАУКИ
ДОКУМЕНТОВЕДЕНИЕ И ДЕЛОПРОИЗВОДСТВО
ИНВЕСТИЦИИ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В ЭКОНОМИКЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
МАРКЕТИНГ
МЕНЕДЖМЕНТ
МЕТ. РЕКОМЕНДАЦИИ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МИРОВАЯ ЭКОНОМИКА И МЭО
НАЛОГИ И НАЛОГООБЛОЖЕНИЕ
ПЛАНИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
ПРАВОВЕДЕНИЕ
РАЗРАБОТКА УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ
СТАТИСТИКА
УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ
УЧЕБНИКИ, ЛЕКЦИИ, ШПАРГАЛКИ (СКАЧАТЬ)
ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ
ФИНАНСЫ, ДЕНЕЖНОЕ ОБРАЩЕНИЕ И КРЕДИТ
ЦЕНЫ И ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ
ЭКОНОМИКА
ЭКОНОМИКА, ОРГ-ЦИЯ И УПР-НИЕ ПРЕДПРИЯТИЕМ
ЭКОНОМИКА И СОЦИОЛОГИЯ ТРУДА
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ (МИКРО-, МАКРО)
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ЭКОНОМЕТРИКА
Оформить заказ
Ваше имя *
Ваш e-mail *
Контактный телефон
Город *
Учебное заведение *
Предмет *
Тип работы *
Тема работы/вариант *
Кол-во страниц
Срок выполнения *
Прикрепить файл
Дополнительные условия


Статистика
Онлайн всего: 14
Гостей: 14
Пользователей: 0