Контрольные, курсовые, рефераты, тесты – готовые и на заказ!
 Гарантия качества, доступные цены, индивидуальный подход
 Работы выполняют высококвалифицированные специалисты
Войти      Регистрация
 тел. 8-912-388-82-05
  std72@mail.ru
> 20 лет успешной работы
> 50000 выполненных заказов
Отзывы/вопросы

Форма входа



Главная » Учебно-методические материалы » ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ » Высшая математика для экономистов: курс лекций. Денисов В.Н.

21.1. Понятие о дифференциальных уравнениях. Простейшие дифференциальные уравнения
29.12.2011, 12:34

Определение.

Дифференциальным уравнением называется уравнение вида F(x,y,y',y'',...y(n))-0, связывающее независимую переменную х, неизвестную функцию y(x) и ее производные, причем наличие хотя бы одной производной обязательно.

Определение.

Порядком уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в это уравнение.

Пример.

xy''-y(3)=0- уравнение третьего порядка.

Определение.

Дифференциальное уравнение называют разрешенным относительно старшей производной , если его можно представить в виде

y(n)=f(x,y,y',...y(n-1)).

Определение.

Частным решением  дифференциального уравнения называется любая функция y=j(x) подстановка которой в уравнение обращает его в тождество.

Пример.

y=sinx частное решение уравнения y''+y=0, т. к.

 при "хÎR,

так же как y=cos x является частным решением, т. к.

 при "хÎR.

Заметим, что даже у простейших дифференциальных уравнений решений существует не одно, а бесчисленное множество.

Пример.

Решить y'=x. Так как y  первообразная для x, то

То есть решение определено с точностью до произвольной постоянной.

Если уравнение имеет более высокий порядок, чем первый, то в решении будет присутствовать столько констант, каков порядок дифференциального уравнения.


Для выделения из множества решений дифференциального уравнения какого- либо частного решения ставится задача Коши.


Задача Коши (для уравнения первого порядка).


Найти такую функцию y=j(x), которая удовлетворяет системе:


ч

 

где х0y0- заданные числа.


График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой. С геометрической точки зрения постановка задачи Коши означает выбор из множества интегральных кривых одной, проходящей через точку с координатами (x0,y0).

Определение.


Общим решением дифференциального уравнения первого порядка назовем функцию y=j(x,c), которая


1)  удовлетворяет уравнению;


2)  позволяет решать любую задачу Коши из области существования и единственности решения.


Справедлива теорема существования и единственности.


Теорема Коши.


Если при  решении задачи Коши 


известно, что


1)  f(x,y)- непрерывна в некоторой окрестности точки m0(x0,y0);

2)  - ограничена в этой же окрестности т. m0(x0,y0),

тогда в окрестности (x0-d,x0+d) существует, причем единственная дифференцируемая функция y=j(x), которая удовлетворяет и уравнению и начальному условию.


Геометрический смысл теоремы- через каждую точку с координатами  (x0,y0) в окрестности которой выполняются условия теоремы, проходит только одна интегральная кривая.

ПРИМЕЧАНИЕ 1.

Для уравнений более высокого порядка начальных условий ставится столько, каков порядок уравнения.

ПРИМЕЧАНИЕ 2.

Общим решением дифференцированного уравнения порядка "n" будет называться функция вида y=j(x,c1,c2,...cn).

ПРИМЕЧАНИЕ 3.

Теоремы существования и единственности решений дифференцированных уравнений высоких порядков можно найти в литературе  [1-3].

http://www.sibe.ru/




БАНКОВСКОЕ ДЕЛО
БУХГАЛТЕРСКИЙ, УПР. И ФИН. УЧЕТ
БЮДЖЕТ И БЮДЖЕТНАЯ СИСТЕМА РФ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ
ГУМАНИТАРНЫЕ НАУКИ
ДОКУМЕНТОВЕДЕНИЕ И ДЕЛОПРОИЗВОДСТВО
ИНВЕСТИЦИИ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В ЭКОНОМИКЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
МАРКЕТИНГ
МЕНЕДЖМЕНТ
МЕТ. РЕКОМЕНДАЦИИ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МИРОВАЯ ЭКОНОМИКА И МЭО
НАЛОГИ И НАЛОГООБЛОЖЕНИЕ
ПЛАНИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
ПРАВОВЕДЕНИЕ
РАЗРАБОТКА УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ
СТАТИСТИКА
УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ
УЧЕБНИКИ, ЛЕКЦИИ, ШПАРГАЛКИ (СКАЧАТЬ)
ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ
ФИНАНСЫ, ДЕНЕЖНОЕ ОБРАЩЕНИЕ И КРЕДИТ
ЦЕНЫ И ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ
ЭКОНОМИКА
ЭКОНОМИКА, ОРГ-ЦИЯ И УПР-НИЕ ПРЕДПРИЯТИЕМ
ЭКОНОМИКА И СОЦИОЛОГИЯ ТРУДА
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ (МИКРО-, МАКРО)
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ЭКОНОМЕТРИКА
Оформить заказ
Ваше имя *
Ваш e-mail *
Контактный телефон
Город *
Учебное заведение *
Предмет *
Тип работы *
Тема работы/вариант *
Кол-во страниц
Срок выполнения *
Прикрепить файл
Дополнительные условия


Статистика
Онлайн всего: 8
Гостей: 8
Пользователей: 0