Контрольные, курсовые, рефераты, тесты – готовые и на заказ!
 Гарантия качества, доступные цены, индивидуальный подход
 Работы выполняют высококвалифицированные специалисты
Войти      Регистрация
 тел. 8-912-388-82-05
  std72@mail.ru
> 20 лет успешной работы
> 50000 выполненных заказов
Отзывы/вопросы

Форма входа



Главная » Учебно-методические материалы » ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ » Высшая математика для экономистов: курс лекций. Денисов В.Н.

21.2. Простейшие типы дифференциальных уравнений
29.12.2011, 12:35

Уравнения с разделенными переменными.

К этим уравнения относятся уравнения вида

p(x)dx=q(y)×dy,               (1)

где p(x), q(x)- известные функции, х- независимая переменная, y(x)- неизвестная функция.

Если существуют первообразные P(x), Q(x) функций p(x), q(y), то уравнение (1) легко решается:

p(x)dx=q(y)dy Û d(P(x))=d(Q(y)) Û d(P(x)-Q(y))=0 Û

 

 

P(x)-Q(y)= const

Û

 

Такая запись решения дифференцированного уравнения называется  общим интегралом дифференциального уравнения.

Если это выражение разрешимо относительно y(x), то при этом получим общее решение дифференциального уравнения - функцию вида y=j(x,c).

Уравнения с разделяющимися переменными.

Уравнения вида

               (2),

это уравнения с разделяющимися переменными.

Разделение переменных производится следующим образом:

производная представляется как

 (dy - деленное на dx),

с учетом этого уравнение (2) переходит в

 q(y)¹0.

Таким образом мы пришли к уравнению с разделенными переменными, которое решается интегрированием левой и правой частей

 

Однородные уравнения первого порядка.

Это уравнения вида

                       (3).

Решаются они при помощи замены y/x=U(x).

Выражая y(x)=U(x)×x и дифференцируя, имеем 

Уравнение (3) при этом примет вид

                                          (4).

Разделяя переменные видим, что

 f(U)-U¹Û

Û 

 

Если существует интеграл в левой части, то

 

F(U)-ln½x½=c  Û

F(y/x)-ln½x½=c

(5)

То есть мы получим общий интеграл уравнения (3).

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Пусть имеем уравнение вида

         y'+p(x)×y=q(x)                                     (6).

Если  то (6) преобразуется в

         y'+p(x)×y=0                                         (7).

Уравнение (6) называют линейным неоднородным дифференциальным уравнением (сокращенно ЛНДУ), а уравнение (7)- линейным однородным (ЛОДУ).

Заметим, что ЛОДУ (7)- это уравнение с разделяющимися переменными

y'=-p(x)×Û

ln½y½=-

Значит общее решение ЛОДУ имеет вид .

Будем искать решение ЛНДУ (6) в виде

y(x)=U(x)×V(x)=U×V,

тогда y'=U'×V+U×V'  и (7) имеет вид

U'×V+U×V'+p(x)U×V=q(x) Û

U'×V+U(V'+p(x)×U)=q(x).

Возьмем в качестве функции V- частное решение ЛОДУ U'+p(x)V=0, например , и ЛНДУ примет вид

Решением (6) будет функция y=U×V или

       (8).

Первое слагаемое в (8)- общее решение ЛОДУ, второе слагаемое это какое-либо частное решение ЛНДУ. Таким образом получено замечательное свойство линейных уравнений( не только первого порядка, но и более высоких порядков).


Общее решение ЛНДУ равно сумме  Общего решения ЛОДУ и какого-либо Частного решения ЛНДУ.


Ознакомиться с решением конкретных дифференциальных уравнений можно в [4].

http://www.sibe.ru/




БАНКОВСКОЕ ДЕЛО
БУХГАЛТЕРСКИЙ, УПР. И ФИН. УЧЕТ
БЮДЖЕТ И БЮДЖЕТНАЯ СИСТЕМА РФ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ
ГУМАНИТАРНЫЕ НАУКИ
ДОКУМЕНТОВЕДЕНИЕ И ДЕЛОПРОИЗВОДСТВО
ИНВЕСТИЦИИ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В ЭКОНОМИКЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
МАРКЕТИНГ
МЕНЕДЖМЕНТ
МЕТ. РЕКОМЕНДАЦИИ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МИРОВАЯ ЭКОНОМИКА И МЭО
НАЛОГИ И НАЛОГООБЛОЖЕНИЕ
ПЛАНИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
ПРАВОВЕДЕНИЕ
РАЗРАБОТКА УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ
СТАТИСТИКА
УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ
УЧЕБНИКИ, ЛЕКЦИИ, ШПАРГАЛКИ (СКАЧАТЬ)
ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ
ФИНАНСЫ, ДЕНЕЖНОЕ ОБРАЩЕНИЕ И КРЕДИТ
ЦЕНЫ И ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ
ЭКОНОМИКА
ЭКОНОМИКА, ОРГ-ЦИЯ И УПР-НИЕ ПРЕДПРИЯТИЕМ
ЭКОНОМИКА И СОЦИОЛОГИЯ ТРУДА
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ (МИКРО-, МАКРО)
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ЭКОНОМЕТРИКА
Оформить заказ
Ваше имя *
Ваш e-mail *
Контактный телефон
Город *
Учебное заведение *
Предмет *
Тип работы *
Тема работы/вариант *
Кол-во страниц
Срок выполнения *
Прикрепить файл
Дополнительные условия


Статистика
Онлайн всего: 30
Гостей: 30
Пользователей: 0