Контрольные, курсовые, рефераты, тесты – готовые и на заказ!
 Гарантия качества, доступные цены, индивидуальный подход
 Работы выполняют высококвалифицированные специалисты
Войти      Регистрация
 тел. 8-912-388-82-05
  std72@mail.ru
> 20 лет успешной работы
> 50000 выполненных заказов
Отзывы/вопросы

Форма входа



Главная » Учебно-методические материалы » ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ » Высшая математика для экономистов: курс лекций. Денисов В.Н.

22.2. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
29.12.2011, 12:38

Уравнения вида

 

y''+a×y'+a2y=f(x)                   (1),

где а12- постоянные, f(x)- известная функция, называются ЛНДУ второго порядка.


Наряду с (1) рассматриваются ЛОДУ порядка 2,

y''+a1y'+a2y=0                         (2)

которые могут быть решены при помощи подстановки y=e (предложена Эйлером).

Действительно, подставляя ye  в ЛОДУ (2), имеем

(l2+a1l+a2)×e=0 Û l2+a1l+a2=0              (3),

 т.к. ex¹0.

Квадратное уравнение (3) называется характеристическим для ЛОДУ (2). Каждому корню этого уравнения l1l2, можно поставить в соответствие функции - решения ЛОДУ.


Известно следующее: если решения ЛОДУ линейно- независимые функции, то общее решение ЛОДУ можно представить как их линейную комбинацию


   (4)


Если же найдено какое-либо частное решение ЛНДУ, (yч.н.=j(x)), то общее решение ЛНДУ можно найти как сумму общего решения ЛОДУ и частного решения ЛДНУ


yо.н.=yo.o+yч.н.=c1×j1(x)+c2j2(x)+ yч.н.           (5).

 

Построение общего решения ЛОДУ.

а) Если корни l1¹l2 и действительны, то им отвечают решения - образующие линейно независимую систему функций, а общее решение ЛОДУ выглядит так

.

б)   Если корни l1=l2=l и действительны, то им можно поставить в соответствие линейно-независимые решения

elx; x×elx,

при этом y0.0=c1elx+c2×xelx=elx(c1+c2×x).

в)   Если корни l1,2=a±i×b - комплексные, то им можно поставить в соответствие решения eax × cosbx и eax × sinbx, при этом y0.0 c1eax × cosbx + c2eax × sinbx.

Когда построено y0.0=c1×j1(x)+c2×j2(x), то решение неоднородного уравнения (ЛНДУ) можно искать методом вариации произвольных постоянных в виде

yО.Н=c1(x)×j1(x)+c2(x)×j2(x),

где функции с1(х) и с2(х) ищутся из решения системы

Конкретные примеры на применение этих методов разобраны в [1-4].

 

 

ЛИТЕРАТУРА

 

1.  Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, Н.М. Фридман / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. Изд. 2-е переработанное и доп. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1998. - 417 с.

2.  Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов: Учебное пособие. - М.: ИНФРА-М, 1997. - 20 с.

3.  Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике: Учебник в 2-х ч. Ч. 1. - М.: Финансы и статистика, 1999. - 224 с. ил. Ч. 2. - 376 с.

4.  Методические указания к расчету по курсу "Высшая математика". Дифференциальные уравнения. Зуев М.Ф., Денисов  В.Н.,  Шорохова  З.П. - Смоленск, СФМЭИ, 1987. - 17 с.

http://www.sibe.ru/




БАНКОВСКОЕ ДЕЛО
БУХГАЛТЕРСКИЙ, УПР. И ФИН. УЧЕТ
БЮДЖЕТ И БЮДЖЕТНАЯ СИСТЕМА РФ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ
ГУМАНИТАРНЫЕ НАУКИ
ДОКУМЕНТОВЕДЕНИЕ И ДЕЛОПРОИЗВОДСТВО
ИНВЕСТИЦИИ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В ЭКОНОМИКЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
МАРКЕТИНГ
МЕНЕДЖМЕНТ
МЕТ. РЕКОМЕНДАЦИИ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МИРОВАЯ ЭКОНОМИКА И МЭО
НАЛОГИ И НАЛОГООБЛОЖЕНИЕ
ПЛАНИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
ПРАВОВЕДЕНИЕ
РАЗРАБОТКА УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ
СТАТИСТИКА
УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ
УЧЕБНИКИ, ЛЕКЦИИ, ШПАРГАЛКИ (СКАЧАТЬ)
ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ
ФИНАНСЫ, ДЕНЕЖНОЕ ОБРАЩЕНИЕ И КРЕДИТ
ЦЕНЫ И ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ
ЭКОНОМИКА
ЭКОНОМИКА, ОРГ-ЦИЯ И УПР-НИЕ ПРЕДПРИЯТИЕМ
ЭКОНОМИКА И СОЦИОЛОГИЯ ТРУДА
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ (МИКРО-, МАКРО)
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ЭКОНОМЕТРИКА
Оформить заказ
Ваше имя *
Ваш e-mail *
Контактный телефон
Город *
Учебное заведение *
Предмет *
Тип работы *
Тема работы/вариант *
Кол-во страниц
Срок выполнения *
Прикрепить файл
Дополнительные условия


Статистика
Онлайн всего: 24
Гостей: 24
Пользователей: 0