Контрольные, курсовые, рефераты, тесты – готовые и на заказ!
 Гарантия качества, доступные цены, индивидуальный подход
 Работы выполняют высококвалифицированные специалисты
Войти      Регистрация
 тел. 8-912-388-82-05
  std72@mail.ru
> 20 лет успешной работы
> 50000 выполненных заказов
Отзывы/вопросы

Форма входа



Главная » Учебно-методические материалы » ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ » Высшая математика для экономистов: курс лекций. Денисов В.Н.

2.3. Ранг матрицы, его свойства и вычисление. Системы линейных уравнений
29.12.2011, 10:57

Рассмотрим прямоугольную матрицу Аm´n.

Определение.

Минором матрицы А  k-го  порядка называется любой определитель, составленный из элементов матрицы А, состоящих  на  пересечении   k  строк  и   k  столбцов,  где­­ k £ min(m,n).

Пример.

У этой матрицы миноры первого порядка это: М1 = {1, 2, 3, 4, ... 10, 0},

второго порядка – ,

третьего порядка – .

При этом так как k £ min (3, 5), то  k = 3.

Определение.

Рангом матрицы называется число равное наивысшему порядку миноров этой матрицы, отличных от нуля.

Обозначение ранга Rg (A) Û rang (A) Û r(A).

Для рассмотренной выше матрицы А3х5 ранг равен 3. Действительно r(A3´5) = 3, так как существует 

Свойства ранга.

Ранг матрицы не изменяется:

1)  При транспонировании;

2)  При перестановке строк или столбцов местами;

3)  При отбрасывании строки или столбца  из нулей;

4)  При умножении строки или столбца на число не равное нулю;

5)  При удалении строки или столбца, являющегося линейной комбинацией других строк (столбцов);

6)  При добавлении к строке или столбцу линейной комбинации других строк или столбцов.

Преобразования не изменяющие ранга матрицы называются эквивалентными, и матрицы, получающиеся при таких преобразованиях, называются эквивалентными также.

Обозначения эквивалентных матриц таково А ~ В.

ЗАМЕЧАНИЕ. В литературе эквивалентные преобразования могут называться элементарными преобразованиями. Используя эквивалентные преобразования ранг матрицы может быть определен сведением ее к ступенчатому виду:

 

 

Пример.

,

тогда существует , значит r(А)=3.

Назовем системой линейных уравнений (СЛУ) систему вида

где aij – известные коэффициенты, xi – неизвестные переменные, bi – известные свободные члены,

Решением системы называется такой набор чисел (a1,a2,...an), который после подстановки вместо существующих неизвестных (х1, х2, ...хn) обращает каждое уравнение в верное равенство.

Если такой набор чисел существует, то говорят что система (1) или (2) совместна, если нет - то не совместна.

Расширенной матрицей для систем (1) или (2) называют матрицу, составленную из элементов матриц А и В следующего вида:

Имеется теорема позволяющая судить о существовании решения систем вида (1) или (2).

Теорема. (Кронеккера - Капелли).

 

Для существования решения системы (1)  необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы А равнялся рангу расширенной  матрицы А(r(A) = r(A)).

 

 

 

ЗАМЕЧАНИЕ

1)     Если  r(A)¹r(Aр),  то система (1) несовместна

2)     Если r(A) = r(Ap), то система (1) совместна, причем решение системы единственно, если r(A) = r(Ap) = n –  числу неизвестных, если же r(A) = r(Ap) < n, то система имеет бесконечное множество решений.

Алгоритм применения теоремы к решению СЛУ (систем линейных уравнений)

1)  Вычисляем r(A) и r(Ap) и сравниваем их

2)  Если r(A¹ r(Ap), то решения СЛУ нет

3)  Если r(A) = r(Ap), то проверяем справедливость равенства r(A) = r(Ap) = n

4)  Если равенство выполняется, то для нахождения единственного решения применяют метод Гаусса или правило Крамера.

5)  Если равенство не выполняется (r(A) = r(Ap) < n), то перестановкой строк (столбцов) матрицы А находят любой, отличный от нуля минор (базисный минор) так, чтобы в СЛУ первыми стояли r строк базисного минора. При этом (m-r) оставшихся строк системы можно отбросить как не влияющих на решение системы, а (n-r) столбцов  с соответствующими неизвестными можно перенести в правую часть системы, задав произвольным образом свободные переменные хj. Полученную систему  r уравнений с r неизвестными можно решить к примеру методом Гаусса.

http://www.sibe.ru/




БАНКОВСКОЕ ДЕЛО
БУХГАЛТЕРСКИЙ, УПР. И ФИН. УЧЕТ
БЮДЖЕТ И БЮДЖЕТНАЯ СИСТЕМА РФ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ
ГУМАНИТАРНЫЕ НАУКИ
ДОКУМЕНТОВЕДЕНИЕ И ДЕЛОПРОИЗВОДСТВО
ИНВЕСТИЦИИ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В ЭКОНОМИКЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
МАРКЕТИНГ
МЕНЕДЖМЕНТ
МЕТ. РЕКОМЕНДАЦИИ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МИРОВАЯ ЭКОНОМИКА И МЭО
НАЛОГИ И НАЛОГООБЛОЖЕНИЕ
ПЛАНИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
ПРАВОВЕДЕНИЕ
РАЗРАБОТКА УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ
СТАТИСТИКА
УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ
УЧЕБНИКИ, ЛЕКЦИИ, ШПАРГАЛКИ (СКАЧАТЬ)
ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ
ФИНАНСЫ, ДЕНЕЖНОЕ ОБРАЩЕНИЕ И КРЕДИТ
ЦЕНЫ И ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ
ЭКОНОМИКА
ЭКОНОМИКА, ОРГ-ЦИЯ И УПР-НИЕ ПРЕДПРИЯТИЕМ
ЭКОНОМИКА И СОЦИОЛОГИЯ ТРУДА
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ (МИКРО-, МАКРО)
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ЭКОНОМЕТРИКА
Оформить заказ
Ваше имя *
Ваш e-mail *
Контактный телефон
Город *
Учебное заведение *
Предмет *
Тип работы *
Тема работы/вариант *
Кол-во страниц
Срок выполнения *
Прикрепить файл
Дополнительные условия


Статистика
Онлайн всего: 14
Гостей: 14
Пользователей: 0