Контрольные, курсовые, рефераты, тесты – готовые и на заказ!
 Гарантия качества, доступные цены, индивидуальный подход
 Работы выполняют высококвалифицированные специалисты
Войти      Регистрация
 тел. 8-912-388-82-05
  std72@mail.ru
> 20 лет успешной работы
> 50000 выполненных заказов
Отзывы/вопросы

Форма входа



Главная » Учебно-методические материалы » ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ » Высшая математика для экономистов: курс лекций. Денисов В.Н.

4.2. Скалярное, векторное и смешанное произведения (3)
29.12.2011, 11:06

Полезно знать следующие теоремы о коллинеарности и компланарности векторов.

Теорема ( критерий коллинеарности векторов).

Для того, чтобы векторы , были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось 0.

Доказательство.

Необходимость. Пусть ,- коллинеарныÞ они параллельныÞ угол j=Ù или равен 0 или p радиан. Тогда ï[,]ï=ïï×ïï×sinj=0. Что и требовалось доказать.

Достаточность. Пусть [,]=0Þ Либоïï=0, либоïï=0, либо sin(Ù)=0. Если ïï=0Þ -нулевой вектор, значит он коллинеарен любому вектору, аналогично для случая ïï=0. Если же sin(Ù)=0, то либо Ù=0, либо Ùp Þпараллелен .

Теорема (о компланарности векторов).

Для того, чтобы векторы ,, были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы смешанное произведение этих векторов равнялось 0.

Необходимость. Пусть ,,- компланарны, т.е. лежат в одной плоскости. Тогда [,] перпендикулярен плоскости в которой лежат эти векторы, а значит cos(Ù[,])=0. Поэтому ï(,,)ï=ïï×ï[,]ï×cos(Ù[,])=0

Достаточность. Пусть (,,)=0 Тогда имеем либо ^[,], это означает ,что вектор  компланарен ,,

либо =0, но нулевой вектор всегда компланарен  ,,

либо =0, а значит компланарен  и ,

либо =0, а значит компланарен  и .

http://www.sibe.ru/




БАНКОВСКОЕ ДЕЛО
БУХГАЛТЕРСКИЙ, УПР. И ФИН. УЧЕТ
БЮДЖЕТ И БЮДЖЕТНАЯ СИСТЕМА РФ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ
ГУМАНИТАРНЫЕ НАУКИ
ДОКУМЕНТОВЕДЕНИЕ И ДЕЛОПРОИЗВОДСТВО
ИНВЕСТИЦИИ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В ЭКОНОМИКЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
МАРКЕТИНГ
МЕНЕДЖМЕНТ
МЕТ. РЕКОМЕНДАЦИИ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МИРОВАЯ ЭКОНОМИКА И МЭО
НАЛОГИ И НАЛОГООБЛОЖЕНИЕ
ПЛАНИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
ПРАВОВЕДЕНИЕ
РАЗРАБОТКА УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ
СТАТИСТИКА
УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ
УЧЕБНИКИ, ЛЕКЦИИ, ШПАРГАЛКИ (СКАЧАТЬ)
ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ
ФИНАНСЫ, ДЕНЕЖНОЕ ОБРАЩЕНИЕ И КРЕДИТ
ЦЕНЫ И ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ
ЭКОНОМИКА
ЭКОНОМИКА, ОРГ-ЦИЯ И УПР-НИЕ ПРЕДПРИЯТИЕМ
ЭКОНОМИКА И СОЦИОЛОГИЯ ТРУДА
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ (МИКРО-, МАКРО)
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ЭКОНОМЕТРИКА
Оформить заказ
Ваше имя *
Ваш e-mail *
Контактный телефон
Город *
Учебное заведение *
Предмет *
Тип работы *
Тема работы/вариант *
Кол-во страниц
Срок выполнения *
Прикрепить файл
Дополнительные условия


Статистика
Онлайн всего: 20
Гостей: 20
Пользователей: 0