Контрольные, курсовые, рефераты, тесты – готовые и на заказ!
 Гарантия качества, доступные цены, индивидуальный подход
 Работы выполняют высококвалифицированные специалисты
Войти      Регистрация
 тел. 8-912-388-82-05
  std72@mail.ru
> 20 лет успешной работы
> 50000 выполненных заказов
Отзывы/вопросы

Форма входа



Главная » Учебно-методические материалы » ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ » Высшая математика для экономистов: курс лекций. Денисов В.Н.

6.1.Кривые второго порядка
29.12.2011, 11:16

Определение. Линией второго порядка на плоскости называется геометрическое место точек плоскости с координатами (x,y), удовлетворяющими уравнению второго порядка вида Ax2+2Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(А,B,C,D,E,F- константы).

Пример.

x2+xy+y2+3x+1=0 - уравнение линии второго порядка.

Среди кривых (линий) второго порядка наиболее часто на практике употребляются следующие: эллипс, гипербола и парабола.

Определение.

Эллипсом называется г. м. т. плоскости, каждая из которых такова, что сумма расстояний от нее до точек F1(-c,0) и F2(c,0) (фокусов) постоянна и равна 2а(c<a,a>0,c>0).

Так как, r1+r2=2a, то ,

откуда легко, возведением в квадрат, получается каноническое уравнение эллипса 

а- большая полуось, b- малая полуось эллипса.

 

Свойства эллипса.

1.  Эллипс целиком лежит в прямоугольнике со сторонами 2а и 2b и центром в начале координат.

2.  Эллипс симметричен относительно осей координат.

3.  Точки с координатами (а,0), (-а,0), (0,b), (0,-b)- называют вершинами эллипса.

4.  В вершинах эллипс касается центров сторон прямоугольника.

5.  Число  - эксцентриситет, выражающий форму эллипса. При e=0 (а=b) - эллипс превращается в окружность.

 

Определение.

Гипербола- это г. м. т. плоскости модуль разности расстояний от которых до фокусов F1(-c,0) и F2(c,0) постоянен и равен 2а.

ïr1-r2ï=2a или 

откуда , после преобразований возведения в квадрат, имеем каноническое уравнение гиперболы.

a,b- полуоси гиперболы.

Свойства гиперболы.

1.  Гипербола лежит вне прямоугольника со сторонами 2а и 2b и центром в начале координат.

2.  Гипербола симметрична относительно осей координат.

3.  Вершины гиперболы- точки А1(-а,0) и А2(а,0), в которых она касается середин сторон прямоугольника.

4.  При ветви гиперболы стремятся к прямым, являющимся продолжением диагоналей прямоугольника.

 

Определение.

Парабола- г. м. т. плоскости равноудаленных от точки (фокуса) и прямой, называемой директриссой.

 

r1=r2 или , откуда после преобразований имеем  - каноническое уравнение параболы.

Известна следующая теорема, позволяющая классифицировать кривые второго порядка.

Теорема. Любое уравнение кривой второго порядка вида Ax2+2Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 может быть при помощи поворота декартовой системы координат.

 и переноса начала координат , сведено к одному из следующих канонических уравнений

 (точка (0,0))

  

y2=0  y2=a 

 

 

Пример.

Определить тип кривой и построить график 4x2+9y2=16Þ, это каноническое уравнение эллипса с полуосями a=2, b=4/3

Пример. (Экономическое приложение).

Себестоимость выпуска продукций предприятиями А и В находящихся на расстоянии S друг от друга одинакова. Стоимость перевозки для предприятия А пропорциональна расстоянию с коэффициентом 1/3, для предприятия В с коэффициентом 1. Найти границу рынка сбыта товаров для предприятий А и В.

Граница рынка сбыта будет определяться равенством стоимости продукции, т.е. равенством , где rA и rB- расстояние перевозки.

Выражая rA и rB имеем 

 

Возводя в квадрат и преобразуя, получаем 

.

Это уравнение кривой второго порядка которое приведем к каноническому виду

Получено уравнение окружности (частного случая эллипса) с центром в точке и радиусом  . Начертим его, к примеру, при S=8 (R=8)

 

Из рисунка видно, как накладные расходы, в частности стоимость перевозок, могут сузить рынок сбыта товаров.

http://www.sibe.ru/




БАНКОВСКОЕ ДЕЛО
БУХГАЛТЕРСКИЙ, УПР. И ФИН. УЧЕТ
БЮДЖЕТ И БЮДЖЕТНАЯ СИСТЕМА РФ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ
ГУМАНИТАРНЫЕ НАУКИ
ДОКУМЕНТОВЕДЕНИЕ И ДЕЛОПРОИЗВОДСТВО
ИНВЕСТИЦИИ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В ЭКОНОМИКЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
МАРКЕТИНГ
МЕНЕДЖМЕНТ
МЕТ. РЕКОМЕНДАЦИИ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МИРОВАЯ ЭКОНОМИКА И МЭО
НАЛОГИ И НАЛОГООБЛОЖЕНИЕ
ПЛАНИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
ПРАВОВЕДЕНИЕ
РАЗРАБОТКА УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ
СТАТИСТИКА
УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ
УЧЕБНИКИ, ЛЕКЦИИ, ШПАРГАЛКИ (СКАЧАТЬ)
ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ
ФИНАНСЫ, ДЕНЕЖНОЕ ОБРАЩЕНИЕ И КРЕДИТ
ЦЕНЫ И ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ
ЭКОНОМИКА
ЭКОНОМИКА, ОРГ-ЦИЯ И УПР-НИЕ ПРЕДПРИЯТИЕМ
ЭКОНОМИКА И СОЦИОЛОГИЯ ТРУДА
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ (МИКРО-, МАКРО)
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ЭКОНОМЕТРИКА
Оформить заказ
Ваше имя *
Ваш e-mail *
Контактный телефон
Город *
Учебное заведение *
Предмет *
Тип работы *
Тема работы/вариант *
Кол-во страниц
Срок выполнения *
Прикрепить файл
Дополнительные условия


Статистика
Онлайн всего: 55
Гостей: 55
Пользователей: 0