Контрольные, курсовые, рефераты, тесты – готовые и на заказ!
 Гарантия качества, доступные цены, индивидуальный подход
 Работы выполняют высококвалифицированные специалисты
Войти      Регистрация
 тел. 8-912-388-82-05
  std72@mail.ru
> 20 лет успешной работы
> 50000 выполненных заказов
Отзывы/вопросы

Форма входа



Главная » Учебно-методические материалы » ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ » Высшая математика для экономистов: курс лекций. Денисов В.Н.

9.4. Ограниченные и бесконечно большие функции
29.12.2011, 11:36

Пусть функция y=f(x) определена хотя бы в проколотой окрестности точки х0.

 

Определение.

Функция y=f(x) называется ограниченной в т. х0, если $>0 и d >0  такие, что из неравенства 0<½ х-х0½<d Þ ½f(x)½ <k.

Все множество ограниченных при х®х0 функций называют классом ограниченных функций и обозначают О(1), х®х0 (О- большое от единицы). Справедлива следующая теорема.

 

Теорема.

Если существует предел f(x) при х®х0,то f(x)-ограничена в т. х0 (f(x)ÎО(1), х®х0)

Доказательство.

Из по критерию существования предела, что f(x)=A+о(1), x®x0. Тогда, т.к. о(1)®0, х®х0, то½о(1)½<1, значит ½f½=½A+о(1)½<½A½+1=K

Значит по определению f(x)ÎO(1), x®x0.

 

Ограниченные функции обладают  следующими свойствами:

1)  Сумма  ограниченных при x®x0 функций, есть функция ограниченная.

2)  Произведение ограниченных при x®xфункций есть функция  ограниченная.

3)  Если f(x)Îо(1), x®x0, то f(x)ÎО(1), x®x0, т.е. ограничена.

     Если функция y=f(x) при x®x0 может быть сделана больше любого наперед заданного числа М, какое бы большое  оно не было, то эту функцию называют бесконечной большой в т. x0 и пишут    .

 

Можно выделить  три  типа бесконечно больших функций:

 

 

которые приводят к формулировке следующих определений.

 

Определение.

Функция y=f(x) называется бесконечно большой при x®x0, если для "М>0 (какого угодно большого) найдется число dМ>0 такое, что для "х из неравенства 0<½х-х0½<dМÞ½f(x)½>M.

При этом пишут 

Определение.

Функция  y=f(x) называется положительной  (отрицательной) б.б.ф., если

"М>$ dМ>0 : "х из 0<½х-х0½<dМÞf(x)>M (f(x)<-M) при этом пишут  

 

Бесконечно большие функции обладают следующими важными свойствами.

1)  Если f(x) и j(x), при x ®x- бесконечно большие и одного знака, то их сумма бесконечно большая функция.

2)  Если f(x) и j(x), при x®x0- бесконечно большие функции, то произведение f(x)×j(x)-  бесконечно большая функция.

3)  Произведение бесконечно большой функции на ограниченную функцию есть бесконечно большая функция.

Полезно знать о связи бесконечно больших и бесконечно малых функций, даваемой следующей теоремой.

Теорема.

Если y=f(x), при x®x0 бесконечно малая функция, то [1/f(x)] при x®x0- бесконечно большая функция, а если j(х)- бесконечно большая функция при x®x0, то [1/j(x)]- бесконечно малая функция при x®x0.

 

Доказательство.

Если f(x)Îо(1), x®x0Þ  из 0<ïx-x0ï<,

но тогда . Если - ìàëî, то -велико, значит

  $de : "х из , что равносильно по определению .

 

ЗАМЕЧАНИЕ: При нахождении пределов нельзя пользоваться рассмотренными ранее теоремами и свойствами, если:

1)  f(x)®0, j(x®0, при x®x0 и ищется предел вида . В этом случае говорят о наличии неопределенности вида .

2)  f(x)®0, j(x®¥, при x®x0, то о пределе вида , говорят как об имеющем неопределенность {0×¥}.

3)  f(x)® +¥j(x)® +¥, при x®x0, то говорят, что  имеет неопределенность вида .

4)  f(x)® ¥j(x)® ¥, при x®x0, то говорят, чтоимеет неопределенность бесконечность делить на бесконечность.

При нахождении пределов в этих случаях нужно вначале избавиться от неопределенности и лишь после этого применять теоремы и свойства пределов.

 

 

ЛИТЕРАТУРА

 

1.  Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, Н.М. Фридман / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. Изд. 2-е переработанное и доп. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1998. - 417 с.

2.  Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов: Учебное пособие. - М.: ИНФРА-М, 1997. - 20 с.

3.  Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике: Учебник в 2-х ч. Ч. 1. - М.: Финансы и статистика, 1999. - 224 с. ил. Ч. 2. - 376 с.

http://www.sibe.ru/




БАНКОВСКОЕ ДЕЛО
БУХГАЛТЕРСКИЙ, УПР. И ФИН. УЧЕТ
БЮДЖЕТ И БЮДЖЕТНАЯ СИСТЕМА РФ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ
ГУМАНИТАРНЫЕ НАУКИ
ДОКУМЕНТОВЕДЕНИЕ И ДЕЛОПРОИЗВОДСТВО
ИНВЕСТИЦИИ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В ЭКОНОМИКЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
МАРКЕТИНГ
МЕНЕДЖМЕНТ
МЕТ. РЕКОМЕНДАЦИИ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МИРОВАЯ ЭКОНОМИКА И МЭО
НАЛОГИ И НАЛОГООБЛОЖЕНИЕ
ПЛАНИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
ПРАВОВЕДЕНИЕ
РАЗРАБОТКА УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ
СТАТИСТИКА
УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ
УЧЕБНИКИ, ЛЕКЦИИ, ШПАРГАЛКИ (СКАЧАТЬ)
ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ
ФИНАНСЫ, ДЕНЕЖНОЕ ОБРАЩЕНИЕ И КРЕДИТ
ЦЕНЫ И ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ
ЭКОНОМИКА
ЭКОНОМИКА, ОРГ-ЦИЯ И УПР-НИЕ ПРЕДПРИЯТИЕМ
ЭКОНОМИКА И СОЦИОЛОГИЯ ТРУДА
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ (МИКРО-, МАКРО)
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ЭКОНОМЕТРИКА
Оформить заказ
Ваше имя *
Ваш e-mail *
Контактный телефон
Город *
Учебное заведение *
Предмет *
Тип работы *
Тема работы/вариант *
Кол-во страниц
Срок выполнения *
Прикрепить файл
Дополнительные условия


Статистика
Онлайн всего: 31
Гостей: 31
Пользователей: 0