Контрольные, курсовые, рефераты, тесты – готовые и на заказ!
 Гарантия качества, доступные цены, индивидуальный подход
 Работы выполняют высококвалифицированные специалисты
Войти      Регистрация
 тел. 8-912-388-82-05
  std72@mail.ru
> 20 лет успешной работы
> 50000 выполненных заказов
Отзывы/вопросы

Форма входа



Главная » Учебно-методические материалы » ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ » Высшая математика для экономистов: курс лекций. Денисов В.Н.

1. Матрицы. Операции над матрицами. Определители квадратных матриц
29.12.2011, 10:42

1.1. Матрицы

Определение.  Матрицей называется таблица чисел вида

.

Числа, стоящие на горизонталях, называются строками матрицы, на вертикалях - столбцами. Сами числа аiji - номер строки,  j - номер столбца,  назовем элементами матрицы.

Обозначаются матрицы большими буквами  ABC ..., элементы матриц - малыми буквами  аijbij,  ... , с указанием номера строки и столбца.

Следующие обозначения матриц равносильны по определению:

При этом говорят, что матрица имеет размер m x n (m на  n).

Если m = n, то матрица А называется  квадратной, при m¹n матрица А называется прямоугольной. Матрица  Аmx1 - называется матрицей столбцом, А1xn, - матрицей-строкой. Элементы квадратной матрицы А, числа  а11a22,...ann, образуют главную диагональ матрицы  А, числа a1na2(n-1),...an1 - побочную диагональ.

Когда все элементы матрицы  Аnxn, кроме чисел 1, стоящих на главной диагонали, являются нулями, то такую матрицу называют единичной и обозначают

1.2 Операции над матрицами

Над матрицами, как и над числами,  можно совершать следующие операции, вводимые по определению.

Транспонирование матриц.

АТ называется транспонированной по отношению к матрице Аmxn с элементами aij, если столбцы матрицы АТ являются строками матрицы А, а строки АТ - столбцами матрицы А. Т.е. если Аmxn = (aij), то АТmхn = (aji), i=1,..mj=1,..n.

 

Пример.

, то 

Сложение матриц.

Суммой двух матриц AmxnBmxn - одного размера называется матрица Сmxn, того же размера, элементы которой  находятся по формуле

сij = aij + bij (i=1, ... m; j= 1, ... n),

как суммы соответствующих элементов матриц А и B, при этом пишут:

Пример.

Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы Аmxn на число k называется матрица Сmxn, элементы cij   которой   находятся по формуле cij = k×aij  при этом пишут Сmxn = k×Amxn

Пример.

Противоположная матрица.

Противоположной к матрице Аmxn называется матрица, обозначаемая (-А), такая что

Очевидно что:

а)  А + (-А)  =  0 (сумма матрицы и противоположной к ней есть нулевая матрица)

б)  А - В = А + (-В) (разность матриц А и В – это сумма  А и противоположной к В матриц)

Умножение матрицы на матрицу.

Произведением матрицы Amxn на матрицу Вnxk называется матрица Сmxk элементы которой находятся по формуле:

, i=1,...m; l=1,2,...k.

При этом пишут

ЗАМЕЧАНИЕ

Эта операция существует, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В

Пример.

ЗАМЕЧАНИЕ

Операция умножения матриц не обладает свойством перестановочности, т.е. А×В ¹ В×А

Операции над матрицами, введенные выше, обладают следующими свойствами (при выполнении соглашений, оговоренных в определении операций):

1.  А + В = В + А

2.  А + (В + С) = (А + В) + С

3.  l×(А + В) = l×А + l×В

4.  А×(В + С)= А×В + А×С

5.  Т)Т = А

6.  (А + В)Т = АТ + ВТ

7.  (А + В)×С = А×С + В×С

8.  l××В) = (l×А)×В = А×(l×В)

9.  А××С) = (А×В)×С

10.А×Е = А, (А - квадратная матрица )

11.(l×А)Т = l×АТ

12.(А×В)Т = ВТ×АТ

 

1.3. Определители квадратных матриц

Определителем матрицы А1х1 = (а11),  назовем число а11.

Если дана матрица

,

то ее определителем второго порядка назовем число, обозначаемое |А| или D и вычисляемое по формуле:

.

 

Если же матрица имеет вид

,

то ее определителем порядка 3 назовем число, вычисляемое по формуле:

называемой правилом треугольника.

Графически это правило можно изобразить так:

,

как разность произведений соединенных элементов.

Пример.

Заметим, что

,

 

тогда по аналогии определитель квадратных матриц порядка выше третьего можно ввести как число, вычисляемое через определители более низкого порядка.

     Если дана квадратная матрица А4х4 , то  минором Мij элемента аij этой матрицы называется определитель порядка 3, полученный из матрицы А, вычеркиванием i - строки и j - столбца.

 

 

Пример.

Очевидно, что у матрицы А4х4 имеется 42   миноров порядка 3.

Алгебраическим дополнением элемента аij матрицы А называется число Aij, вычисляемое по формуле

Ясно, что если  i+j - четное число, то знаки дополнения и минора одинаковы, если i+j  - нечетное число, то знаки противоположны.

Назовем определителем матрицы А4х4 число D4, вычисляемое как сумма произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е.

     (1)

или

     (2)

Формула (1) называется разложением определителя по строке, а (2) – разложением по столбцу.

Все сказанное для матрицы А4х4 по аналогии можно перенести на случай матрицы Аnxn. Определителем этой матрицы  назовем число  , вычисляемое по формуле 

(разложение по столбцу i)

или

(разложение по строке j).

При этом алгебраические дополнения и миноры определяются как и ранее.

 

Свойства определителей.

1) Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен нулю.

ЗАМЕЧАНИЕ: Свойство очевидно, если применить разложение определителя по нулевой строке (столбцу).

2) Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число k, то ее определитель умножится на это же число.

3) При транспонировании матрицы ее определитель не изменится

Т| = |А|.

4) При перестановке двух строк (столбцов) матрицы местами ее определитель меняет знак на противоположный.

5) Если квадратная матрица имеет две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен нулю. С одной стороны, если переставить две одинаковые строки (столбца), то ее определитель не изменится, с другой стороны по свойству (4) – изменит знак, тогда  D = - D, значит D = 0.

6) Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен нулю. Это свойство следует из свойств (2) и (5).

7) Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы  на алгебраические дополнения  элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю, т.е.

.

Пусть дана матрица А, у которой i и j строки (столбцы) одинаковы, тогда по свойству (5)  определитель этой матрицы равен нулю, раскладывая определитель по строке j (или столбцу) получаем, что и требовалось доказать

 

 

ЗАМЕЧАНИЕ

8) Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) добавить элементы другой строки (столбца)  помноженные на число.

9) Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей т.е.

½А×В½ = ½А½×½В½

Перечисленные свойства используются для вычисления определителей высоких порядков. Для этого, используя свойства 1-9 , матрица преобразуется так, чтобы в какой-либо строке (столбце) было как можно больше нулей, а затем вычисляется определитель полученной матрицы разложением по этой строке (столбцу).

Пример.

Здесь сначала к элементам 1 и 2 столбцов добавили элементы 3 столбца помноженные на (-4) и (2) соответственно, затем разложили определитель по третьей строке, аналогично поступили с определителем третьего порядка скомбинировав 1 и 2 строки, и 2 и 3 строки, в определителе второго порядка общий множитель второго столбца вынесли  и вычислили полученный определитель второго порядка.

http://www.sibe.ru




БАНКОВСКОЕ ДЕЛО
БУХГАЛТЕРСКИЙ, УПР. И ФИН. УЧЕТ
БЮДЖЕТ И БЮДЖЕТНАЯ СИСТЕМА РФ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ
ГУМАНИТАРНЫЕ НАУКИ
ДОКУМЕНТОВЕДЕНИЕ И ДЕЛОПРОИЗВОДСТВО
ИНВЕСТИЦИИ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В ЭКОНОМИКЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
МАРКЕТИНГ
МЕНЕДЖМЕНТ
МЕТ. РЕКОМЕНДАЦИИ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МИРОВАЯ ЭКОНОМИКА И МЭО
НАЛОГИ И НАЛОГООБЛОЖЕНИЕ
ПЛАНИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
ПРАВОВЕДЕНИЕ
РАЗРАБОТКА УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ
СТАТИСТИКА
УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ
УЧЕБНИКИ, ЛЕКЦИИ, ШПАРГАЛКИ (СКАЧАТЬ)
ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ
ФИНАНСЫ, ДЕНЕЖНОЕ ОБРАЩЕНИЕ И КРЕДИТ
ЦЕНЫ И ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ
ЭКОНОМИКА
ЭКОНОМИКА, ОРГ-ЦИЯ И УПР-НИЕ ПРЕДПРИЯТИЕМ
ЭКОНОМИКА И СОЦИОЛОГИЯ ТРУДА
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ (МИКРО-, МАКРО)
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ЭКОНОМЕТРИКА
Оформить заказ
Ваше имя *
Ваш e-mail *
Контактный телефон
Город *
Учебное заведение *
Предмет *
Тип работы *
Тема работы/вариант *
Кол-во страниц
Срок выполнения *
Прикрепить файл
Дополнительные условия


Статистика
Онлайн всего: 25
Гостей: 25
Пользователей: 0