Контрольные, курсовые, рефераты, тесты – готовые и на заказ!
 Гарантия качества, доступные цены, индивидуальный подход
 Работы выполняют высококвалифицированные специалисты
Войти      Регистрация
 тел. 8-912-388-82-05
  std72@mail.ru
> 20 лет успешной работы
> 50000 выполненных заказов
Отзывы/вопросы

Форма входа



Главная » Учебно-методические материалы » ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ » Высшая математика для экономистов: курс лекций. Денисов В.Н.

2.1. Обратная матрица, ее свойства
29.12.2011, 10:48

Пусть Аnxn квадратная матрица размера n на n. Обратной к матрице А называется матрица, обозначается А-1, (А в минус первой степени ), такая что

А×А-1 = А-1×А=Е.

Назовем матрицу А невырожденной, если det A=½A½¹ 0.

Справедлива следующая теорема – критерий существования обратной матрицы.

ТеоремаДля того чтобы матрица А имела обратную матрицу А-1 необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной (½А½¹ 0)

Доказательство.

Необходимость. Пусть существует А-1. Тогда

По свойству (9) определителя имеем

Достаточность. Пусть ½А½¹ 0 ; тогда для матрицы

можно составить матрицу из алгебраических дополнений вида:

,

здесь алгебраические дополнения строк стоят в столбцах.

Перемножив А на А*, получим

Значит, , то есть А*=А-1.

Пример.

Обратная матрица единственна  в силу следующей теоремы.

Теорема. Если существует обратная матрица, то она единственна.

Доказательство. Пусть существуют две обратные матрицы Х и У, тогда по определению Х×А = Е и У×А = Е. Если каждое равенство умножить на А-1 справа, то получим

Þ имеем, что

 

             ,значит

единственность доказана

Обратная матрица обладает следующими свойствами:

1) ;

2) (А-1)-1=А;

3) 

4) 

Докажем свойства 4 и 2.

4) Пусть X = B-1×A-1Тогда X×А = В-1×А-1×А = В-1, умножив справа на  В имеем X×А×В = В-1×В = Е. То есть X××В) = Е Þ В-1×А-1 =  (А×В)-1 по определению.

2) Пусть X = (А-1)-1. Тогда X×А-1=(А-1)-1×А-1=(А×А-1)-1=(Е-1)-1=Е. То есть X×А-1 = Е, значит, X = А = (А-1)-1.

http://www.sibe.ru/




БАНКОВСКОЕ ДЕЛО
БУХГАЛТЕРСКИЙ, УПР. И ФИН. УЧЕТ
БЮДЖЕТ И БЮДЖЕТНАЯ СИСТЕМА РФ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ
ГУМАНИТАРНЫЕ НАУКИ
ДОКУМЕНТОВЕДЕНИЕ И ДЕЛОПРОИЗВОДСТВО
ИНВЕСТИЦИИ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В ЭКОНОМИКЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
МАРКЕТИНГ
МЕНЕДЖМЕНТ
МЕТ. РЕКОМЕНДАЦИИ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МИРОВАЯ ЭКОНОМИКА И МЭО
НАЛОГИ И НАЛОГООБЛОЖЕНИЕ
ПЛАНИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
ПРАВОВЕДЕНИЕ
РАЗРАБОТКА УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ
СТАТИСТИКА
УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ
УЧЕБНИКИ, ЛЕКЦИИ, ШПАРГАЛКИ (СКАЧАТЬ)
ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ
ФИНАНСЫ, ДЕНЕЖНОЕ ОБРАЩЕНИЕ И КРЕДИТ
ЦЕНЫ И ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ
ЭКОНОМИКА
ЭКОНОМИКА, ОРГ-ЦИЯ И УПР-НИЕ ПРЕДПРИЯТИЕМ
ЭКОНОМИКА И СОЦИОЛОГИЯ ТРУДА
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ (МИКРО-, МАКРО)
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ЭКОНОМЕТРИКА
Оформить заказ
Ваше имя *
Ваш e-mail *
Контактный телефон
Город *
Учебное заведение *
Предмет *
Тип работы *
Тема работы/вариант *
Кол-во страниц
Срок выполнения *
Прикрепить файл
Дополнительные условия


Статистика
Онлайн всего: 26
Гостей: 26
Пользователей: 0