Контрольные, курсовые, рефераты, тесты – готовые и на заказ!
 Гарантия качества, доступные цены, индивидуальный подход
 Работы выполняют высококвалифицированные специалисты
Войти      Регистрация
 тел. 8-912-388-82-05
  std72@mail.ru
> 20 лет успешной работы
> 50000 выполненных заказов
Отзывы/вопросы

Форма входа



Главная » Учебно-методические материалы » ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ » Высшая математика для экономистов: курс лекций. Денисов В.Н.

3.2. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ)
29.12.2011, 10:50

«...Цель балансового анализа ×– ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производства какой из n отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли? При этом каждая отрасль выступает, с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой – как потребитель продукции и своей, и произведенной другими отраслями.

Связь между отраслями, как правило, отражается в таблицах межотраслевого баланса, а математическая модель, позволяющая их анализировать, разработана в 1936 г. американским экономистом В. Леонтьевым.

Предположим, что рассматривается n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции идет на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы материального производства) личного и общественного потребления....» [1]

Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например, год).

Пусть xi – общий (валовый) объем продукции i-ой отрасли (i = 1, 2,..., n);

xij – объем продукции i-ой отрасли, потребляемой j-ой отраслью в процессе производства (ij = 1, 2,...n);

yi – объем конечного продукта i-й отрасли для непроизводственного потребления.

Валовой объем продукции i-ой отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями, и конечного продукта, значит

, (i = 1, 2,... n).

Назовем такие уравнения соотношениями баланса. Рассмотрим стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины, входящие в уравнение имеют стоимостное выражение.

Введем коэффициенты прямых затрат

, (i, j = 1, 2,...n),

дающие затраты продукции i-ой отрасли на производство единицы продукции j-ой отрасли.

Положим, что в рассматриваемом промежутке времени коэффициенты aij постоянны. Это означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска, то есть

xij = aij×xj, (i, j = 1, 2,...,n),

отчего построенная на этом основании модель межотраслевого баланса получила название линейной.

Соотношения  баланса примут вид:

, (i = 1, 2,...,n).         (1)

Пусть  где

назовем матрицу X  вектором валового выпуска, Y – вектором конечного продукта, А – матрицей прямых затрат.

Тогда систему (1) можно записать в матричном виде:

X = A×X + Y.

Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат А обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y. [1]

Преобразуем уравнение к виду:

(Е – А)×X = Y.

Пусть матрица (Е–А) невырожденная, то есть |Е–А| ¹ 0, тогда

X = (E – A)-1×Y.

Матрицу S = (E – A)-1 назовем матрицей полных затрат.

Выясним экономический смысл элементов матрицы S = (sij), для чего зададим единичные векторы конечного продукта     Y1 = (1, 0,...,0)', Y2 = (0, 1,...,0)', Yn = (0, 0,...,1)'. Для соответствующих векторов валового выпуска имеем X1 = (s11s21, ..., sn1)', X2 = (s12s22, ..., sn2)', ...,Xn = (s1ns2n, ..., snn)'.

Отсюда видно, что каждый элемент sij матрицы S - величина валового выпуска продукции i-ой отрасли, необходимого для выпуска единицы конечного продукта j-ой отрасли yj = 1 (j = 1, 2,..., n).

Значения xi  должны быть неотрицательны при неотрицательных значениях yi ³ 0 и aij ³ 0, где i,j = 1, 2,..., n.

Матрицу А ³ 0 назовем продуктивной, если для любого вектора Y ³ 0 существует решение X ³ 0 уравнения. В этом случае и модель Леонтьева называется продуктивной.

Имеется несколько критериев продуктивности матрицы А. Один из них: матрица А продуктивна, если максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы, причем хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы, то есть матрица А продуктивна, если aij ³ 0 для любых ij = 1, 2,.., n и , причем существует номер j такой, что .

Пример.

В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период, усл. ден. ед.:

Отрасль

Потребление

Конечный

Валовый

 

 

энергетика

машино-строение

продукт

продукт

Произ-

Энергетика

7

21

72

100

водство

Машиност-роение

12

15

63

100

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли увеличится вдвое, а машиностроения сохранится на прежнем уровне.

Решение. Так как имеем

x1 = 100, x2 = 100, x11 = 7, x12 = 21, x21 = 12, y1 = 72, y2 = 63,

то находя коэффициенты прямых затрат

а11 = 0,07, а12 = 0,21, а21 = 0,12, а22 = 0,15,

получим,что матрица прямых затрат А =  имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности:

max{0,07+0,12; 0,21+0,15} = max{0,19; 0,36}=0,36<1.

Поэтому для любого вектора конечного продукта Y можно найти необходимый объем валового выпуска X по формуле:

X = (E – A)-1×Y.

Найдем матрицу полных затрат S = (E – A)-1:

. Так как |Е – А| = 0,7653 ¹ 0, то

.

По условию вектор конечного продукта , тогда получаем вектор валового выпуска:

,

то есть валовой выпуск в энергетической отрасли нало увеличивать до 169,8 усл.ед., а в машиностроительной – до 116,1 усл.ед.

http://www.sibe.ru/




БАНКОВСКОЕ ДЕЛО
БУХГАЛТЕРСКИЙ, УПР. И ФИН. УЧЕТ
БЮДЖЕТ И БЮДЖЕТНАЯ СИСТЕМА РФ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ
ГУМАНИТАРНЫЕ НАУКИ
ДОКУМЕНТОВЕДЕНИЕ И ДЕЛОПРОИЗВОДСТВО
ИНВЕСТИЦИИ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В ЭКОНОМИКЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
МАРКЕТИНГ
МЕНЕДЖМЕНТ
МЕТ. РЕКОМЕНДАЦИИ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МИРОВАЯ ЭКОНОМИКА И МЭО
НАЛОГИ И НАЛОГООБЛОЖЕНИЕ
ПЛАНИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
ПРАВОВЕДЕНИЕ
РАЗРАБОТКА УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ
СТАТИСТИКА
УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ
УЧЕБНИКИ, ЛЕКЦИИ, ШПАРГАЛКИ (СКАЧАТЬ)
ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ
ФИНАНСЫ, ДЕНЕЖНОЕ ОБРАЩЕНИЕ И КРЕДИТ
ЦЕНЫ И ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ
ЭКОНОМИКА
ЭКОНОМИКА, ОРГ-ЦИЯ И УПР-НИЕ ПРЕДПРИЯТИЕМ
ЭКОНОМИКА И СОЦИОЛОГИЯ ТРУДА
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ (МИКРО-, МАКРО)
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ЭКОНОМЕТРИКА
Оформить заказ
Ваше имя *
Ваш e-mail *
Контактный телефон
Город *
Учебное заведение *
Предмет *
Тип работы *
Тема работы/вариант *
Кол-во страниц
Срок выполнения *
Прикрепить файл
Дополнительные условия


Статистика
Онлайн всего: 48
Гостей: 48
Пользователей: 0