Студенты выполняют контрольную работу (20 вариантов). Номер варианта определяется по двум последним цифрам зачетной книжки: номер равен остатку от деления двух последних цифр на 20. Например, 138003 – вариант 3, 138024 – вариант 4,  138057 – вариант 17, 138030 – вариант 10,           138072 – вариант 12, 148040 – вариант 20, и т.д.

Каждый из 20-ти вариантов контрольной работы содержит 3 задачи:

Задача 1 – Составление математической модели задачи,

Задача 2 – Графический метод нахождения оптимального решения,

Задача 3 – Нахождение оптимального плана перевозок в транспортной задаче.

Задача 1. Составление математической модели экономической задачи

Условия задач по вариантам (всего 20 вариантов)

№1

Деталь некоторой машины изготовляют два цеховых участка. А и Б. производственные мощности этих участков описаны в таблице.

Составить математическую модель задачи выпуска наибольшего количества продукции при заданных объемах ресурсов.

№2

Для производства двух видов продукции А и Б предприятие использует четыре группы оборудования. На производство единицы продукции А и Б требуется занять в течение смены 1, 0, 5, 2 ед. оборудования I, П, Ш, IV групп, а на производство единицы продукции Б требуется занять в течение смены 1, 1, 0, 2 ед. оборудования I, П, Ш, IV групп.

В наличие имеется оборудования I группы – 18, П группы – 12, Ш группы – 24, IV группы – 18 единиц. Предприятие получает от реализации единицы продукции А 4 ден.ед. прибыли и 6 ден.ед. – для продукции Б.

Сколько продукции каждого вида должно производить предприятие, чтобы получить наибольшую прибыль?

Составить математическую модель задачи.

№3

При производстве двух видов продукции А и Б используются три вида сырья. Составить план выпуска продукции, обеспечивающий максимум прибыли. Исходные данные:

Составить математическую модель задачи.

№4

При производстве двух видов продукции А и Б используются три вида сырья. Составить план выпуска продукции, обеспечивающий максимум прибыли. Исходные данные:

Составить математическую модель задачи.

№5

Для производства двух видов изделий А и В используется три вида сырья, имеющегося в количестве соответственно 8, 6, 12  кг. Нормы затрат каждого вида сырья на единицу продукции А и В и прибыль от реализации единицы продукции А, В приведены в таблице.

Найти план производства продукции, при котором доход предприятия от реализации всей продукции был наибольшим. Составить математическую модель задачи.

№6

На станках Р₁ и Р₂ производится два вида продукции А и В. Для изготовления 1 ед. продукции А станок Р₁ используется 2 часа, а станок Р₂ - 1 часа. Для 1 ед. продукции В это время равно соответственно 2 часа и 3 часа. Продукции В должно быть произведено не более 4 ед.  В течение суток станок Р₁ может работать не более 16 часов, а станок Р₂ - не более 18 часов. От реализации 1 ед. А прибыль составляет 2 ден. ед., а от 1 ед. В - 1 ден. ед.  Какое количество продукции вида А и В нужно произвести, чтобы чистая прибыль была максимальной? Составить математическую модель задачи.

№7

При производстве двух видов продукции А и Б используются три вида сырья. Составить план выпуска продукции, обеспечивающий максимум прибыли. Исходные данные:

Составить математическую модель задачи.

№8

Обработка деталей А и В может производиться на трех станках. Причем каждая деталь при ее изготовлении должна последовательно обрабатываться на каждом из станков. Прибыль от реализации детали А – 100 ден. ед., детали В – 160 ден. ед. Исходные данные приведены в таблице.

Определить производственную программу, максимизирующую прибыль при условии: спрос на деталь А не менее 300 шт., на деталь В – не более 200 шт.

Составить математическую модель задачи.

№9

Предприятие располагает ресурсами двух видов в количестве 120 ед. и 80 ед. соответственно, которые используются для выпуска продукции А и Б.

Расход на изготовление единицы продукции А составляет 2 ед. ресурса первого вида и 4 ед. ресурса второго вида, единицы продукции Б - 3 ед. ресурса первого вида и 1 ед. ресурса второго вида.

Доход от реализации единицы  продукции А составляет 6 ден. ед., вида Б - 4 ден. Известно, что продукции А должно быть выпущено не менее продукции вида Б. Нужно найти план выпуска продукции, обеспечивающий наибольшую прибыль.  Составить математическую модель задачи.

№10

Предприятие для выпуска продукции использует две технологии Т-1 и Т-2 (2 способа). Общее время работы предприятия по обеим технологиям Т= 500 ч. При этом необходимы три вида ресурсов.

Известны запасы ресурсов, затраты ресурсов на 1 час работы с использованием каждой технологии, прибыль предприятия от реализации продукции, выпускаемой за 1 ч работы с использованием технологий (таблица).

Найти, сколько времени по каждой технологии должно работать предприятие, чтобы обеспечить максимум прибыли от реализации выпускаемой продукции.

Составить математическую модель задачи.

№11

Для производства  столов и шкафов мебельная фабрика использует необходимые ресурсы. Нормы затрат ресурсов на одно изделие данного вида, прибыль от реализации одного изделия и общее количество имеющихся ресурсов каждого вида приведены в следующей таблице:

Определить, сколько столов и шкафов фабрике следует изготовить, чтобы прибыль от их реализации была максимальной. Составить математическую модель задачи.

№12

Фирма производит два продукта А и В, рынок сбыта которых неограничен. Каждый продукт должен быть обработан каждой из машин I, II,  III. Время обработки в часах для каждого из изделий А и В приведено в таблице.

Время работы машины I,  II,  III соответственно 40, 36 и 36 ч в неделю. Прибыль от реализации одного изделия составляет соответственно 5 и 3 доллара. Фирме надо определить недельные нормы выпуска изделий А и В, максимизирующие прибыль.  Составить математическую модель задачи.

№13

Чаеразвесочная фабрика выпускает чай сортов А и Б, смешивая три ингредиента: индийский, цейлонский и английский чаи.

В таблице приведены нормы расхода ингредиентов, объем запасов каждого ингредиента и прибыль от реализации 1 т чая сортов А и Б.

Требуется найти план производства чая сортов А и Б с целью получения наибольшей прибыли. Составить математическую модель задачи.

№14

Для обеспечения перевозок нужно ежедневно формировать пассажирские и скорые поезда.

В таблице указаны наличный парк вагонов разных типов, из которых комплектуются данные поезда, и количество пассажиров, вмещающихся в каждый из типов вагонов.

Определить число скорых и пассажирских поездов, при которых количество пассажиров достигает максимума.

Составить математическую модель задачи.

№15

Содержание витаминов А и С в 1 кг яблок и апельсин указано в таблице.

Известно, что 1 кг яблок стоит 60 руб., а 1 кг апельсинов 85 руб.

Сколько яблок и апельсинов должен потреблять человек в сутки, чтобы получить не менее 75 мг витамина С и не менее 6 мг витамина А при наименьших затратах на яблоки и апельсины?

Составить математическую модель задачи оптимального потребления яблок и апельсинов при заданных условиях.

№16

Туристическая фирма в летний сезон обслуживает в среднем 7500 туристов в месяц и располагает флотилией из двух типов судов, характеристики которых представлены в таблице.

В месяц выделяется 60000 т горючего. Потребность в рабочей силе не превышает 600 чел.

Определить количество судов I и II типа, чтобы обеспечить максимальный доход, который составляет от эксплуатации судов I типа 20 млн. руб., а II типа – 10 млн. руб.

Составить математическую модель задачи оптимальной эксплуатации судов при заданных условиях.

№17

Цех выпускает трансформаторы видов А и В. На один трансформатор вида А расходуется 5 кг трансформаторного железа и 3 кг проволоки, а на трансформатор вида В - 4 кг железа и 2 кг проволоки.

От реализации трансформатора вида А прибыль составляет 12 ден. ед., вида В - 10 ден. ед. Сменный фонд железа - 480 кг, проволоки - 300 кг.

Как следует спланировать выпуск трансформаторов, чтобы расход ресурсов не превышал выделенных фондов, а прибыль была наибольшей?

Составить математическую модель задачи.

№18

В суточный рацион включают два продукта питания П1 и П2, причем продукта П1 должно войти в дневной рацион не более 200 ед.

Стоимость 1 ед. продукта П1 составляет 2 руб., продукта П2 – 4 руб. Содержание питательных веществ в 1 ед. продукта, минимальные нормы потребления указаны в таблице.

Определить оптимальный рацион питания, стоимость которого будет наименьшей. Составить математическую модель задачи.

№19

Леспромхозу требуется не более 20 автомашин А и не более 15 автомашин В. Отпускная цена машины А 2 ден. ед., машины В - 4 ден. ед. ЛПХ может выделить для приобретения автомашин 50 ден. ед.

Машина А грузоподъемности 3 т, машина В - 5 т.

Сколько следует приобрести автомашин каждой марки, чтобы их общая грузоподъемность была наибольшей?

Составить математическую модель задачи.

№20

Для изготовления двух видов мебели А и Б используется 3 типа сырья, запасы которого и нормы расхода на единицу продукции заданы в таблице.

Определить план производства мебели, при котором прибыль максимальна.

Составить математическую модель задачи.

Задача 2. Графический метод нахождения оптимального решения

Дана задача линейного программирования

 ,

при ограничениях:           

Графическим методом найти оптимальные решения при стремлении целевой функции к максимальному и минимальному значениям.

Значения коэффициентов в целевой функции  и в системе ограничений (всего 20 вариантов)

Задача 3. Нахождение оптимального плана перевозок в транспортной задаче

Условие задачи для всех вариантов:

На заводах А1, A2, … производится однородная продукция в количестве  a₁, a₂, … единиц. Потребителям В1, В2, В3, … требуется соответственно b₁, b₂, b₃ … единиц готовой продукции. Известны расходы c_ij ден. ед. по перевозке единицы готовой продукции с завода A_i потребителю B_j. Необходимо найти план перевозок, минимизирующий общие затраты по изготовлению продукции на заводах и ее доставке потребителям.

ЗАДАНИЕ

1. Внести числовые данные транспортной задачи в распределительную таблицу.

2. Составить математическую модель задачи.

3. Если транспортная задача открытого типа, то привести ее к закрытой.

4. Построить исходный план перевозок по методу «северо-­западного угла» (Хс-з). Вычислить значение общих транспортных затрат для построенного плана.

5. Методом потенциалов проверить этот план X на оптимальность.

6. Если план не оптимальный, то последовательно улучшить его с помощью построения циклов пересчета в распределительной таблице.

7. Найти оптимальный план перевозок Хопт.

8. Определить по оптимальному плану перевозок Хопт:

- количество продукции, отправляемое из каждого завода А1, A2 каждому потребителю В1, В2, В3;

- наименьшие общие затраты на производство продукции и доставку ее потребителям;

- заводы Аi, в которых остается нераспределенная продукция, и указать ее объем;

- пункты потребления Вj, которые недополучают продукцию, и указать ее количество.

Задачи вариантов №№ 1–20

1.                          2.

.................................