Контрольная работа по математической статистике с элементами теории вероятностей

Студенты выполняют вариант по последней цифре номера зачетной книжки.

Литература:

1. Ниворожкина Л.И., Морозова З.А.  Математическая статистика с элементами теории вероятностей в задачах с решениями.- Ростов н/Д.: Изд-во «Март», 2005.

2. Ниворожкина Л.И., Морозова З.А.   Теория вероятностей и математическая статистика в определениях, формулах и таблицах.- Ростов н/Д.: Феникс,  2007.

Содержание домашнего задания

Вариант № 1

1. Во многих странах водительское удостоверение (автомобильные пра­ва) имеют шифр, состоящий из трех букв и трех цифр. Чему равно общее число возможных номеров водительских удостоверений, считая, что число букв в ла­тинском алфавите - 26, а буквы занимают первые три позиции шифра? Если шифр состоит только из шести цифр, то чему в этом случае равно общее число всех возможных номеров удостоверений, если:

а) цифры в шифре не повторяются?

б) если повторяются.

2. Служащий кредитного отдела банка знает, что 12% фирм, бравших кредит в банке, обанкротились и не вернут кредиты по крайней мере в течение пяти лет. Он также знает, что обанкротились 20% кредитовавшихся в банке фирм. Если один из клиентов банка обанкротился, то чему равна вероятность того, что он окажется не в состоянии вернуть долг банку?

3. Директор фирмы имеет 2 списка с фамилиями претендентов на работу. В первом списке фамилии 5 женщин и 2 мужчин. Во втором списке оказались 2 женщины и 6 мужчин. Фамилия одного из претендентов случайно переносит­ся из первого списка во второй. Затем фамилия одного из претендентов случай­но выбирается из второго списка. Если предположить, что эта фамилия принад­лежит мужчине, чему равна вероятность того, что из первого списка была из­влечена фамилия женщины?

4. Дневная добыча угля в некоторой шахте распределена по нормальному закону с математическим  ожиданием 785 тонн и стандартным отклонением 60 тонн.

а) Найдите вероятность того, что по крайней мере 800 тонн будут добыты в заданный день.

б) Определите долю рабочих дней, в которые будет добыто от 750 до 850 тонн угля?

в) Найдите вероятность того, что в данный день добыча угля упадет ниже 665 тонн.

5. По данным выборочного обследования получено следующее распреде­ление семей по среднедушевому доходу:

Постройте гистограмму распределения частот. Найдите среднедушевой доход семьи в выборке, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэф­фициент вариации. Объясните полученные результаты.

6. С целью изучения размеров дневной выручки в сфере мелкого частного бизнеса была произведена 10%-ная случайная бесповторная выборка из 1000 торговых киосков города. В результате были получены данные о средней днев­ной выручке, которая составила 500 у.е. В каких пределах с доверительной ве­роятностью 0,95 может находиться средняя дневная выручка всех торговых то­чек изучаемой совокупности, если среднее квадратическое отклонение составило 150 у.е?

7. Компания, производящая средства для потери веса, утверждает, что прием таблеток в сочетании со специальной диетой позволяет сбросить в сред­нем в неделю 400 граммов веса.  Случайным образом отобраны 25 человек, ис­пользующих эту терапию, и обнаружено, что в среднем еженедельная потеря в весе составила 430граммов со средним квадратическим отклонением –110граммов. Проверьте гипотезу о том, что средняя потеря в весе составляет 400 граммов. Уровень значимости а = 0,05.

Вариант № 2

1. а) Сколько существует способов составления в случайном порядке списка из 7 кандидатов для выбора на руководящую должность?

б) Какова вероятность того, что кандидаты будут расставлены в списке по возрасту (от меньшего к большему)?

2. Модельер, разрабатывающий новую коллекцию одежды к весеннему сезону, создает модели в зеленой, черной и красной цветовой гамме. Вероят­ность того, что зеленый цвет будет в моде весной, модельер оценивает в 0,3, что черный - в 0,2, а вероятность того, что будет моден красный цвет - в 0,15. Пред­полагая, что цвета выбираются независимо друг от друга, оцените вероятность того, что цветовое решение коллекции будет удачным хотя бы по одному из вы­бранных цветов?

3. Агент по недвижимости пытается продать участок земли под застройку. Он  полагает, что участок будет продан в течение ближайших шести месяцев с вероятностью 0,9, если экономическая ситуация в регионе не будет ухудшать­ся. Если же экономическая ситуация будет ухудшаться, то вероятность продать участок уменьшится до 0,5. Экономист, консультирующий агента полагает, что с вероятностью, равной 0,7, экономическая ситуация в регионе в течение сле­дующих шести месяцев будет ухудшаться. Чему равна вероятность того, что участок будет продан в течение ближайших шести месяцев?

4. Кандидат на выборах считает, что 20% избирателей в определенной области поддерживают его избирательную платформу. Если 64 избирателя слу­чайно отобраны из большого числа избирателей данной области, оцените веро­ятность того, что отобранная доля избирателей, поддерживающих кандидата, не будет отличаться от истинной доли более, чем на 0,07.

5. Постройте гистограмму частот, найдите среднюю заработную работ­ников одного из цехов промышленного предприятия (в условных денежных единицах).

Рассчитайте среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации заработной платы.

6. Фирма, торгующая автомобилями в небольшом городе, собирает информацию о состоянии местного автомобильного рынка  в текущем году. С этой целью из 8746 лиц в возрасте 18 лет и старше, проживающих в этом городе, отобрано 500 человек. Среди них оказалось 29 человек, планирующих приобрести автомобиль в текущем году. Найдите границы 95% доверительного интервала, который позволил бы оценить долю лиц в генеральной совокупности в возрасте 18 лет и старше, планирующих приобрести новый автомобиль в текущем году.

7. Поступление страховых взносов в 130 филиалов страховых организаций в регионе А составило 260000 у.е., в регионе В на 100 филиалов пришлось 180000 у.е. Дисперсия величины страховых взносов в регионе А равна 39*10⁸ (у.е.)², в регионе В- 25*10⁸(у.е.)². На уровне значимости  a=0,05 определить существенно ли различается средняя на  1 филиал величина поступления страховых взносов в регионах А и В.

Вариант № 3

1. Руководство фирмы выделило отделу рекламы средства для помещения в печати объявлений о предлагаемых фирмой товарах и услугах. По расчетам отдела рекламы выделенных средств хватит для того, чтобы поместить объявления только в 15 из 25 городских газет.

а) Сколько существует способов случайного отбора газет для помещения объявлений?

б) Какова вероятность того, что в число отобранных попадут 15 газет, имеющих наибольший тираж?

2. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу определенного продукта по каждому из трех центральных телевизионных каналов, равна 0,05. Предполагается, что потребитель увидит рекламу: а) по всем трем каналам? б) хотя бы по одному из этих каналов?

3. Судоходная компания организует круизы в течение летнего времени и проводит несколько круизов в сезон. Поскольку в этом бизнесе очень высокая конкуренция, то важно, чтобы все каюты зафрахтованного под кризы корабля были полностью заняты туристами, тогда компания получит прибыль. Эксперт по туризму, нанятый компанией, предсказывает, что вероятность того, что корабль будет полон  в течение сезона равна 0,92, если доллар не подорожает по отношению к рублю, и с вероятностью-0,75, если доллар подорожает. По оценкам экономистов, вероятность того, что в течение сезона доллар подорожает по отношению к рублю, равна 0,23. Чему равна вероятность того, что билеты на все круизы будут проданы?

4. Авиакомпания знает, что 5% людей, делающих предварительный заказ на определенный рейс не будут использовать его. Если авиакомпания продавала 160 билетов на самолет, в котором лишь155 мест, чему равна вероятность того, что место будет доступно для любого пассажира, имеющего заказ и планирующего улететь?

5. Ниже представлена группировка отраслей и подотраслей промышленности по темпам роста на изготовливаемую продукцию за период с начала года:

Найдите среднюю арифметическую, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

6. Для оценки числа безработных среди рабочих одного из районов города в порядке случайного повторной выборки отобраны 400 человек рабочих специальностей. 25 из них оказались безработными. Используя 95%-ый доверительный интервал, оценить истинные размеры безработицы среди рабочих этого района.

7. Компания верит, что новый вид зубной пасты для детей лучше предохраняет зубы от кариеса, чем зубные пасты, производимые другими фирмами. Для проверки эффекта в случайном порядке была отобрана группа из 400 детей, которые пользовались новым видом зубной пасты. Другая группа из 300 детей, также случайно выбранных, пользовались пастами других фирм. После окончания эксперимента было выяснено, что у 30 детей, использующих новую пасту и 25 детей из контрольной группы появились признаки кариеса. Может ли компания утверждать, что новый сорт зубной пасты эффективнее предотвращает кариес, чем другие виды зубной пасты? Принять уровень значимости a   =0,05.

Вариант № 4

1. Во многих странах водительское удостоверение (автомобильные пра­ва) имеют шифр, состоящий из трех букв и трех цифр. Чему равно общее число возможных номеров водительских удостоверений, считая, что число букв в ла­тинском алфавите - 26, а буквы занимают первые три позиции шифра? Если шифр состоит только из шести цифр, то чему в этом случае равно общее число всех возможных номеров удостоверений, если:

а) цифры в шифре не повторяются?

б) если повторяются.

2. Модельер, разрабатывающий новую коллекцию одежды к весеннему сезону, создает модели в зеленой, черной и красной цветовой гамме. Вероят­ность того, что зеленый цвет будет в моде весной, модельер оценивает в 0,3, что черный - в 0,2, а вероятность того, что будет моден красный цвет - в 0,15. Пред­полагая, что цвета выбираются независимо друг от друга, оцените вероятность того, что цветовое решение коллекции будет удачным хотя бы по одному из вы­бранных цветов?

3. Судоходная компания организует круизы в течение летнего времени и проводит несколько круизов в сезон. Поскольку в этом бизнесе очень высокая конкуренция, то важно, чтобы все каюты зафрахтованного под кризы корабля были полностью заняты туристами, тогда компания получит прибыль. Эксперт по туризму, нанятый компанией, предсказывает, что вероятность того, что корабль будет полон  в течение сезона равна 0,92, если доллар не подорожает по отношению к рублю, и с вероятностью-0,75, если доллар подорожает. По оценкам экономистов, вероятность того, что в течение сезона доллар подорожает по отношению к рублю, равна 0,23. Чему равна вероятность того, что билеты на все круизы будут проданы?

4. Дневная добыча угля в некоторой шахте распределена по нормальному закону с математическим  ожиданием 785 тонн и стандартным отклонением 60 тонн.

а) Найдите вероятность того, что по крайней мере 800 тонн будут добыты в заданный день.

б) Определите долю рабочих дней, в которые будет добыто от 750 до 850 тонн угля?

в) Найдите вероятность того, что в данный день добыча угля упадет ниже 665 тонн.

5. Постройте гистограмму частот, найдите среднюю заработную работ­ников одного из цехов промышленного предприятия (в условных денежных единицах).

Рассчитайте среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации заработной платы.

6. Для оценки числа безработных среди рабочих одного из районов города в порядке случайного повторной выборки отобраны 400 человек рабочих специальностей. 25 из них оказались безработными. Используя 95%-ый доверительный интервал, оценить истинные размеры безработицы среди рабочих этого района.

7. Компания, производящая средства для потери веса, утверждает, что прием таблеток в сочетании со специальной диетой позволяет сбросить в сред­нем в неделю 400 граммов веса.  Случайным образом отобраны 25 человек, ис­пользующих эту терапию, и обнаружено, что в среднем еженедельная потеря в весе составила 430граммов со средним квадратическим отклонением –110 граммов. Проверьте гипотезу о том, что средняя потеря в весе составляет 400 граммов. Уровень значимости а = 0,05.

Вариант №5

1. Руководство фирмы выделило отделу рекламы средства для помещения в печати объявлений о предлагаемых фирмой товарах и услугах. По расчетам отдела рекламы выделенных средств хватит для того, чтобы поместить объявления только в15 из 25 городских газет.

2. Служащий кредитного отдела банка знает, что 12% фирм, бравших кредит в банке, обанкротились и не вернут кредиты по крайней мере в течение пяти лет. Он также знает, что обанкротились 20% кредитовавшихся в банке фирм. Если один из клиентов банка обанкротился, то чему равна вероятность того, что он окажется не в состоянии вернуть долг  банку?

3. Директор фирмы имеет 2 списка с фамилиями претендентов на работу. В первом списке фамилии 5 женщин и 2 мужчин. Во втором списке оказались 2 женщины и 6 мужчин. Фамилия одного из претендентов случайно переносит­ся из первого списка во второй. Затем фамилия одного из претендентов случай­но выбирается из второго списка. Если предположить, что эта фамилия принад­лежит мужчине, чему равна вероятность того, что из первого списка была из­влечена фамилия женщины?

4. Кандидат на выборах считает, что 20% избирателей в определенной области поддерживают его избирательную платформу. Если 64 избирателя случайно отобраны из большого числа избирателей данной области, оцените вероятность того, что отобранная доля избирателей, поддерживающих кандидата, не будет отличаться от истинной доли более, чем на 0,07.

5. Ниже представлена группировка отраслей и подотраслей промышленности по темпам роста на изготовливаемую продукцию за период с начала года:

Найдите среднюю арифметическую, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

6. С целью изучения размеров дневной выручки в сфере мелкого частного бизнеса была произведена 10%-ная случайная бесповторная выборка из 1000 торговых киосков города. В результате были получены данные о средней днев­ной выручке, которая составила 500 у.е. В каких пределах с доверительной ве­роятностью 0,95 может находиться средняя дневная выручка всех торговых то­чек изучаемой совокупности, если среднее квадратическое отклонение составило 150 у.е?

7. Поступление страховых взносов в 130 филиалов страховых организаций в регионе А составило 260000 у.е., в регионе В на 100 филиалов пришлось 180000 у.е. Дисперсия величины страховых взносов в регионе А равна 39*10⁸ (у.е.)², в регионе В- 25*10⁸(у.е.)². На уровне значимости  a=0,05 определить существенно ли различается средняя на  1 филиал величина поступления страховых взносов в регионах А и В.