Варианты контрольного задания студент выбирает в соответствии с последней цифрой номера зачетной книжки (цифра 1 соответствует варианту 1, и т.д., цифра 0 – варианту 10).

Задание 1. Построить математическую модель задачи и найти решение графическим методом.

1. Фирма производит для автомобилей запасные части типа А и В. Фонд рабочего времени составляет 5000 чел.-ч в неделю. Для производства одной детали типа А требуется 1 чел.-ч, а для производства одной детали типа В – 2 чел.-ч. Производственная мощность позволяет выпускать максимум 2500 деталей типа А и 2000 деталей типа В в неделю. Для производства деталей типа А уходит 2 кг полимерного материала и 5 кг листового материала, а для производства одной детали типа В – 4 кг полимерного материала и 4 кг листового металла. Еженедельные запасы каждого материала – соответственно 10 и 12 т. Общее число производимых деталей в течение одной недели должно составлять не менее 1500 штук.

Определите, сколько деталей каждого вида следует производить, чтобы обеспечить максимальный доход от продажи за неделю, если доход от продаж одной детали типа А и В составляет соответственно 110 и 150 руб.

2. Туристская фирма в летний сезон обслуживает в среднем 7500 туристов в месяц и располагает флотилией из двух типов судов, характеристики которых представлены в таблице.

В месяц выделяется 60 000 т горючего. Потребность в рабочей силе не превышает 600 человек. Определите количество судов I и II типа, чтобы обеспечить максимальный доход, который составляет от эксплуатации судов I типа 20 млн руб., а II типа — 10 млн руб. в месяц.

3. Фирма производит и продает столы и шкафы из древесины хвойных и лиственных пород. Расход каждого вида в кубометрах на каждое изделие задан в таблице.

Определите оптимальное количество столов и шкафов, которое следует поставлять на продажу для получения максимального дохода фирмы.

4. С Курского вокзала Москвы ежедневно отправляются скорые и пассажирские поезда. Пассажировместимость и количество вагонов железнодорожного депо станции отправления указаны в таблице.

Определите оптимальное количество пассажирских и скорых поездов, обеспечивающих максимальное количество ежедневно отправляемых пассажиров с вокзала.

5. Малое предприятие арендовало мини-пекарню для производства чебуреков и беляшей. Мощность пекарни позволяет выпускать в день не более 50 кг продукции. Ежедневный спрос на чебуреки не превышает 260 шт., а на беляши — 240 шт. Суточные запасы теста и мяса и расходы на производство каждой единицы продукции приведены в таблице.

Определить оптимальный план ежедневного производства чебуреков и беляшей, обеспечивающих максимальную выручку от продажи.

6. Издательский дом «Геоцентр-Медиа» издает два журнала: «Автомеханик» и «Инструмент», которые печатаются в трех типографиях: «Алмаз-Пресс», «Карелия-Принт» и Hansaprint (Финляндия), где общее количество часов, отведенное для печати, и производительность печати одной тысячи экземпляров ограничены и представлены в следующей таблице.

Спрос на журнал «Автомеханик» составляет 12 тыс. экземпляров, а на журнал «Инструмент» — не более 7,5 тыс. экземпляров в месяц. Определите оптимальное количество издаваемых журналов, которые обеспечат максимальную выручку от продажи.

7. Фирма решила открыть на основе технологии производства чешского стекла, фарфора и хрусталя линию по изготовлению ваз и графинов и их декорированию. Затраты сырья на производство этой продукции представлены в таблице.

Определите оптимальный объем выпуска продукции, обеспечивающий максимальный доход от продаж, если спрос на вазы не превышает 800 шт. в неделю.

8. Фирма производит одежду для охотников, туристов и охранных структур. Дополнительно фирма решила изготавливать шапки и подстежки из натурального меха. Затраты на производство этих изделий и запасы сырья представлены в таблице. Спрос на шапки составляет не более 300 шт. в месяц, а подстежек – не более 400 шт. в месяц.

Определите объемы производства этих изделий, обеспечивающих максимальный доход от продажи.

9. Коммерческие расчеты, проведенные студентами в деревне, привели к более выгодному использованию яблок и груш путем их засушки и последующей продажи зимой в виде смеси сухофруктов, варианты которых представлены в таблице.

Из 1 кг плодов получается 200 г сушеных яблок, а груш – 250 г. Определите оптимальное количество упаковок сухофруктов по

1 кг смесей первого и второго вида, которое необходимо заготавливать в деревне ежедневно для обеспечения максимального дохода от продажи в день.

10. Кондитерская фабрика в Покрове освоила выпуск новых видов шоколада «Лунная начинка» и «Малиновый дождик», спрос на которые составляет соответственно не более 12 и 7 т в месяц. По причине занятости трех цехов выпуском традиционных видов шоколада каждый цех может выделить только ограниченный ресурс времени в месяц. В силу специфики технологического оборудования затраты времени на производство шоколада разные, данные представлены в таблице.

Определите оптимальный объем выпуска шоколада (в кг), обеспечивающий максимальную выручку от продажи.

Задание 2. Построить математическую модель задачи и найти решение симплекс-методом.

1. Для реализации трех групп товаров коммерческое предприятие располагает тремя видами ограниченных материально-денежных ресурсов в количестве  850, 1120, 1060  единиц. При этом для продажи первой группы товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется ресурса первого вида в количестве 17 единиц, ресурса второго вида – в количестве 8 единиц, ресурса третьего вида – в количестве 4 единиц. Для продажи второй и третьей групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется соответственно ресурса первого вида в количестве 5 и 5 единиц, ресурсов второго вида – в количестве 6 и 6 единиц, ресурсов третьего вида – в количестве 2 и 4 единиц. Доход от продажи трех групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота составляет соответственно 8, 7, 4 (тыс. руб.).

Определите плановый объем и структуру товарооборота так, чтобы доход торгового предприятия был максимальным.

2. Предприятие выпускает три вида изделий, причем суточный выпуск изделий составляет 90 ед. 1 вида, 70 ед. 2 вида и 60 ед. 3 вида. Суточные ресурсы следующие: производственное оборудование – 780 станко-ч, сырье – 850 кг, электроэнергия – 800 кВт. ч. Нормативы затрат оборудования, сырья и электроэнергии на ед. изделия представлены в таблице.

Цена единицы изделий равна: 1 вида – 8 руб.; 2 вида – 7 руб.; 3 вида – 6 руб. Сколько нужно произвести изделий каждого вида, чтобы получить максимальный доход от выпуска изделий сверх плана?

3. Производство трех видов продукции должно пройти две операции. Затраты времени на каждой операции на единицу продукции, прибыль от реализации единицы продукции, фонд времени на каждой операции даны в таблице.

Сколько продукции каждого вида должно произвести предприятие, чтобы получить максимум прибыли, исходя из указанного в таблице фонда времени, если продукции А должно быть не менее 20 единиц.

4. Цех выпускает три вида деталей – А, В, С. Каждая деталь обрабатывается тремя станками. Организация производства в цехе характеризуется следующей таблицей.

Определить план загрузки станков, обеспечивающий цеху получение максимальной прибыли.

5. Нормы затрат на производство разных видов пиццы, объемы ресурсов и стоимость приведены в таблице.

Определите оптимальное количество пиццы, обеспечивающее максимальный доход от продаж.

6. На кондитерскую фабрику г. Покров перед Новым годом поступили заказы на подарочные наборы конфет из магазинов. Возможные варианты наборов, их стоимость и товарные запасы представлены в таблице.

Определите оптимальное количество подарочных наборов, обеспечивающее максимальный доход от продажи.

7. Металлургический цех выпускает три вида продукции: А, Б, В. Прибыль от тонны произведенной продукции каждого вида составляет соответственно 35, 25 и 40 руб. Цех располагает необходимым оборудованием, каждый тип которого имеет свой фонд рабочего времени и производительность.

Составить план выпуска продукции, обеспечивающий максимум прибыли.

8.  Фирма выпускает три вида изделий. В процессе производства используются три технологические операции.

Фонд рабочего времени ограничен следующими предельными значениями: для первой операции – 430 мин; для второй операции – 460 мин; для третьей операции – 420 мин. Изучение рынка сбыта показало, что ожидаемая прибыль от продажи одного изделия видов 1, 2 и 3 составляет 3, 2 и 5 рублей соответственно.

Построить наиболее выгодный суточный объем производства каждого вида продукции?

9.  Для реализации трех групп товаров коммерческое предприятие располагает тремя видами ограниченных материальноденежных ресурсов в количестве 180, 50, 40 единиц. При этом для продажи первой группы товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется ресурса первого вида в количестве 3 единиц, ресурса второго вида – в количестве 2 единиц, ресурса третьего вида – в количестве 2 единиц. Для продажи второй и третьей групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется соответственно ресурса первого вида в количестве 6 и 4 единиц, ресурсов второго вида – в количестве 1 и 2 единиц, ресурсов третьего вида – в количестве 3 и 1 единиц. Доход от продажи трех групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота составляет соответственно 6, 5, 5 (тыс. руб.).

Определите плановый объем и структуру товарооборота так, чтобы доход торгового предприятия был максимальным.

10. Предприятие должно произвести три вида изделий (А, В, С) на двух видах оборудования, предназначенных соответственно для различных операций. Затраты времени (ч) на производство единицы изделий каждого вида, мощность оборудования и прибыль от реализации единицы продукции приведены в таблице.

Сколько единиц изделий каждого вида надо произвести, чтобы получить максимум прибыли, если за простой единицы оборудования 1 вида берется штраф в количестве 1 руб./ч, а 2 вида – 0,5 руб./ч.

Задание 3. Составить диету включающие белки, жиры и углеводы в количестве не менее b_i (i = 1, 2, 3). Для составления смеси можно использовать три вида продуктов B_j (j = 1, 2, 3), содержащую белки жиры и углеводы в количестве a_ij. Цена продуктов C_j. Необходимо определить такой набор продуктов, который обеспечил бы необходимое содержание питательных веществ, и полная стоимость его при этом была бы наименьшей.

Требуется:

1) составить математическую модель прямой и двойственной задач; раскрыть экономический смысл всех переменных, принятых в задаче;

2) симплекс-методом решить двойственную задачу;

3) найти решение исходной задачи с использование теорем двойственности.

Задание 4. В пунктах А_i (i = 1, 2, 3) производится однородная продукция в количестве а_i единиц. Себестоимость единицы продукции в i-м пункте равна C_i. Готовая продукция поставляется в пункты В_j (j = 1, 2, 3, 4), потребности которых составляют b_j ед. стоимость перевозки единицы продукции из пункта A_i в пункт B_j задана матрицей C_ij.

Требуется:

1) написать математическую модель прямой и двойственной задач с указанием экономического смысла всех переменных;

2) составить план перевозки продукции, при котором минимизируются суммарные затраты по ее изготовлению и доставке потребителям для условия что продукция произведенная в пункте A_i, где себестоимость её производства наименьшая, распределяется полностью;

3) вычислить суммарные минимальные затраты Z_min;

4) узнать в какие пункты развозится продукция от поставщиков;

5) установить пункты, в которых останется нераспределенная продукция, и указать её объем.

Задание 5. Выделены денежные средства S₀=100 д.ед. для вложения в инвестиционные проекты для реконструкции и модернизации производства на четырех предприятиях.

По каждому предприятию известен возможный прирост f_i(х) (i=1, 2, 3, 4) выпуска продукции в зависимости от выделенной суммы.

Требуется:

1) распределить средства S₀ между предприятиями так, чтобы суммарный прирост продукции на всех четырех предприятиях достиг максимальной величины;

2) используя решение основной задачи, найти оптимальное распределение между тремя предприятиями.

Задание 6. На заданной сети дорог имеется несколько маршрутов по доставке груза из пункта 1 в пункт 11. Стоимость перевозки единицы груза между отдельными пунктами сети проставлена у ребер. Необходимо определить оптимальный маршрут доставки груза из пункта 1 в пункт 11, который обеспечил бы минимальные транспортные расходы.

Задание 7. Найти решение задачи теории систем массового обслуживания.

1. На оптовую базу прибывают автомашины с непродовольственными товарами. Поток простейший и поступает с интенсивностью 8 автомашин в час. На территории базы могут одновременно находиться не более 5 автомашин. На базе имеются 2 бригады грузчиков, которые разгружают автомашины. Среднее время разгрузки одной машины каждой бригадой составляет 1 ч.

Определите основные показатели СМО оптовой базы и разработайте рекомендации по улучшению ее работы.

2. На стоянке автомобилей возле магазина имеются 3 места, каждое из которых отводится под один автомобиль. Автомобили прибывают на стоянку с интенсивностью 20 автомобилей в час. Продолжительность пребывания автомобилей на стоянке составляет в среднем 15 мин. Стоянка на проезжей части не разрешается.

Определите основные показатели СМО оптовой базы и разработайте рекомендации по улучшению ее работы.

3. В службе «Скорой помощи» поселка круглосуточно дежурят 3 диспетчера, обслуживающие 3 телефонных аппарата. Если заявка на вызов врача к больным поступает, когда диспетчеры заняты, то абонент получает отказ. Поток заявок составляет в среднем 4 вызова в минуту. Оформление заявки длится в среднем 1,5 мин.

Определить основные показатели работы службы «Скорой помощи» как объекта СМО и рассчитать, сколько потребуется телефонных аппаратов, чтобы удовлетворить не менее 90% поступающих вызовов врачей.

4. В морской порт поступает в среднем 6 сухогрузов в сутки. В порту имеются 3 крана, каждый из которых обслуживает 1 сухогруз в среднем за 8 часов. Краны работают круглосуточно.

Определить характеристики работы порта как объекта СМО и в случае необходимости дать рекомендации по улучшению его работы.

5. В магазине покупателей обслуживают 2 продавца. Среднее время обслуживания одного покупателя – 4 мин. Интенсивность потока покупателей – 3 человека в минуту. Вместимость магазина такова, что одновременно в нем в очереди могут находиться не более 5 человек. Покупатель, пришедший в переполненный магазин, когда в очереди уже стоит 5 человек, не ждет снаружи и уходит.

Определить характеристики работы порта как объекта СМО и в случае необходимости дать рекомендации по улучшению его работы.

6. Морской вокзал г. Североморск обслуживает касса с двумя окнами. В выходные дни, когда население активно морским сообщением, интенсивность потока сообщений составляет 0,9 человек/мин. Кассир затрачивает на обслуживание пассажира в среднем 2 мин.

Определить характеристики работы порта как объекта СМО и в случае необходимости дать рекомендации по улучшению его работы.

7. На АЗС имеются 3 колонки. Площадка при станции, на которой машины ожидают заправку, может вместить не более одной машины, и если она занята, то очередная машина, прибывшая к станции, в очередь не становится, а проезжает на соседнюю АЗС. В среднем машины прибывают на станцию каждые 2 мин. Процесс заправки одной машины продолжается в среднем 2,5 мин.

Определить характеристики работы порта как объекта СМО и в случае необходимости дать рекомендации по улучшению его работы.

8. В мастерской бытового обслуживания работают 3 мастера. Если клиент заходит в мастерскую, когда все мастера заняты, то он уходит из мастерской, не ожидая обслуживания. Среднее число клиентов, обращающихся в мастерскую за 1 час, равно 20. Среднее время, которое затрачивает мастер на обслуживание одного клиента, равно 6 мин.

Определить характеристики работы порта как объекта СМО и в случае необходимости дать рекомендации по улучшению его работы.

9. Универсам получает ранние овощи и зелень из теплиц пригородного совхоза. В среднем прибывают с товаром 3 автомашины «Газель» в день. Подсобные помещения и оборудование для подготовки овощей к продаже позволяют обработать и хранить товар объемом не более 2 автомашин одновременно. В универсаме работают 5 групп фасовщиков, каждая из которых может обработать товар с одной автомашины в среднем в течение 0,5 дня.

Определить характеристики работы порта как объекта СМО и в случае необходимости дать рекомендации по улучшению его работы.

10. В торговом павильоне покупателей обслуживает один продавец. Площадь павильона составляет 24 м², причем 10 м² приходится на торговый зал, вместимость которого ограничена. Поэтому если очередь на обслуживание составляет 10 человек, то потенциальный покупатель туда не входит, что свидетельствует об отказе в обслуживании и, как следствие, снижении товарооборота и ухудшении других экономических показателей работы коммерческого предприятия.

Дайте оценку СМО и определите рекомендации по созданию оптимального режима работы, если интенсивность прихода покупателей составляет 60 человек в час, а среднее время обслуживания продавцом одного покупателя – 3 мин.