Контрольная работа должна содержать: титульный лист, содержание, теоретический вопрос с приведенными автором примерами по раскрываемой теме, практические задачи (в каждом варианте указаны один теоретический вопрос и три задачи), список использованных источников.

Выбор варианта контрольной работы осуществляется по двум последним цифрам номера зачетной книжки: предпоследняя цифра указана по вертикали, последняя – по горизонтали. Варианты приведены в таблице, где указаны вариант теоретического вопроса и номера задач.

Пример: если номер зачетной книжки 465, то вариант контрольной работы находится на пересечении шестой строчки и пятого столбца – то есть его вариант теоретического вопроса 17, а задачи под номерами 2.2; 6.2; 8,2.

ВАРИАНТЫ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ВОПРОСОВ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

1. Экономика как объект математического моделирования.

2. Исследование операций в экономике.

3. Модели линейного программирования и его приложения.

4. Общая постановка задачи линейного программирования (экономико-математическая модель, примеры задач линейного программирования, общая задача линейного программирования).

5. Геометрический метод решения задач линейного программирования.

6. Симплекс-метод.

7. Табличный алгоритм переопределения переменных в линейных системах.

8. Двойственные задачи линейного программирования.

9. Балансовые модели.

10. Нелинейное программирование.

11. Градиентный метод решения задач нелинейного программирования.

12. Применение функции Лагранжа при решении задач нелинейного программирования.

13. Графоаналитический метод решения задач нелинейного программирования.

14. Динамическое программирование.

15. Сетевое планирование и управление.

16. Системы массового обслуживания.

17. Методы теории игр в экономических задачах.

18. Решение игр в смешанных стратегиях.

19. Транспортные задачи и методы их решения.

20. Модели управления запасами.

ТЕМА 1. МОДЕЛИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

В задачах 1.1-1.4 составить экономико-математические модели и решить геометрическим методом.

Задача 1.1. Для производства двух видов продукции А и В предприятие использует три вида сырья. Другие условия задачи приведены в таблице.

Составить такой план выпуска продукции, при котором прибыль предприятия от реализации продукции будет максимальной при условии, что изделий В надо выпустить не менее, чем изделий А.

Задача 1.2. Рацион для питания животных на ферме состоит из двух видов кормов I и II. Один килограмм корма I стоит 80 ден. ед. и содержит: 1 ед. жиров, 3 ед. белков, 1 ед. углеводов, 2 ед. нитратов. Один килограмм корма II стоит 10 ден. ед. и содержит 3 ед. жиров, 1 ед. белков, 8 ед. углеводов, 4 ед. нитратов.

Составить наиболее дешевый рацион питания, обеспечивающий жиров не менее 6 ед., белков не менее 9 ед., углеводов не менее 8 ед., нитратов не более 16 ед.

Задача 1.3. На двух автоматических линиях выпускают аппараты трех типов. Другие условия задачи приведены в таблице.

Составить такой план загрузки станков, чтобы затраты были минимальными, а задание выполнено не более чем за 10 суток.

Задача 1.4. Необходимо распилить 20 бревен длиной по 5 м каждое на бруски по 2м и 3м; при этом должно получиться равное количество брусков каждого размера.

Составить такой план распила, при котором будет получено максимальное число комплектов, и все бревна будут распилены (в один комплект входит по одному бруску каждого размера).

Задача 1.5. Найти все возможные группы основных переменных в системе:

Задача 1.6. Найти все базисные решения в приведенной системе:

Задача 1.7. Построить множества решений системы неравенств и найти их угловые точки:

Задача 1.8. Построить множества допустимых решений уравнений:

Задача 1.9. Решить геометрически следующие задания:

Задача 1.10. Решить геометрически следующие задания, предварительно приводя их к стандартной форме:

ТЕМА 2. СИМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД

Задача 2.1. Решить задачу об использовании ресурсов с помощью симплексных таблиц.

Для изготовления двух видов продукции А и Б используют четыре вида ресурсов. Запасы ресурсов, число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции приведены в таблице.

Прибыль, получаемая от единицы продукции А и Б составляет 2 и 3 руб. соответственно.

Задача 2.2. Решить симплексным методом следующие задания, сравнив полученные решения с решениями, найденными геометрически:

Задача 2.3. Решить симплексным методом задачу об использовании ресурсов, условия которой приведены в задаче 1.1.

Задача 2.4. Решить симплексным методом задачу о составлении рациона питания животных, условия которой приведены в задаче 1.2.

ТЕМА 3. ДВОЙСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Задача 3.1. Решить симплексным методом задачу об использовании ресурсов, условия которой приведены в задаче 1.1. Составить задачу, двойственную данной, и найти решение, используя теоремы двойственности.

Задача 3.2. Решить симплексным методом задачу, составить задачу, двойственную данной, и найти решение, используя теоремы двойственности.

Задача 3.3. Для изготовления четырех видов продукции (А, Б, В, Г) используются три вида ресурсов (I, II, III). Другие условия задачи представлены в таблице.

Необходимо:

1. Определить план выпуска продукции, при котором прибыль от ее реализации будет максимальной.

2. Сформулировать экономически, записать и решить двойственную задачу. Пояснить экономический смысл полученных объективно обусловленных оценок ресурсов.

3. Найти интервалы устойчивости двойственных оценок по отношению к изменению запасов ресурсов каждого вида.

4. Определить изменение максимальной прибыли от реализации продукции при увеличении запаса ресурса I на 40 ед., ресурса III – на 50 ед. и уменьшения запаса ресурса II на 30 ед. Оценить раздельное влияние этих изменений и суммарное влияние.

5. Определить нормы заменяемости ресурсов.

6. Сопоставить оценку затрат и прибыли по оптимальному плану и каждому виду продукции.

7. Оценить целесообразность введения в план пятого вида продукции Д, нормы расхода сырья на единицу которого соответственно равны 2, 4, 2 ед., а прибыль – 15 ден. ед.

ТЕМА 4. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА

Задача 4.1. Имеются три поставщика и три потребителя. Мощность поставщиков и спросы потребителей, а также затраты на перевозку единицы груза для каждой пары «поставщик - потребитель» сведены в таблицу поставок. Найти объемы перевозок для каждой пары «поставщик - потребитель» так, чтобы: мощности всех поставщиков были реализованы; спросы всех потребителей были удовлетворены; суммарные затраты на перевозку были минимальны.

1. Построить экономико-математическую модель задачи.

2. Найти оптимальное распределение поставок и минимальные затраты на перевозку, выполнив первоначальное распределение поставок методом наименьших затрат.

Задача 4.2. Имеются четыре поставщика и четыре потребителя. Мощность поставщиков и спросы потребителей, а также затраты на перевозку единицы груза для каждой пары «поставщик - потребитель» сведены в таблицу поставок. Найти объемы перевозок для каждой пары «поставщик - потребитель» так, чтобы: мощности всех поставщиков были реализованы; спросы всех потребителей были удовлетворены; суммарные затраты на перевозку были минимальны. Решить транспортную задачу, составив первоначальное распределение поставок методом «северо-западного» угла.

Задача 4.3. Имеются четыре поставщика и четыре потребителя. Мощность поставщиков и спросы потребителей, а также затраты на перевозку единицы груза для каждой пары «поставщик - потребитель» сведены в таблицу поставок. Найти объемы перевозок для каждой пары «поставщик - потребитель» так, чтобы: мощности всех поставщиков были реализованы; спросы всех потребителей были удовлетворены; суммарные затраты на перевозку были минимальны. Закончить решения транспортных задач, начиная с заданных распределений поставок.

Задача 4.4. Решить транспортную задачу, по условиям которой имеются четыре поставщика и шесть потребителей. Мощность поставщиков и спросы потребителей, а также затраты на перевозку единицы груза для каждой пары «поставщик - потребитель» сведены в таблицу поставок.

ТЕМА 5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР

Задача 5.1. Предприятие выпускает скоропортящуюся продукцию, которую может сразу отправить потребителю (стратегия А1), отправить на склад для хранения (стратегия А2) или подвергнуть дополнительной обработке (стратегия А3) для длительного хранения.

Потребитель может приобрести продукцию: немедленно (стратегия В1), в течение небольшого времени (В2), после длительного периода времени (В3).

В случае стратегий А2 и А3 предприятие несет дополнительные затраты на хранение и обработку продукции, которые не требуются для А1, однако при А2 следует учесть возможные убытки из-за порчи продукции, если потребитель выберет стратегии В2 или В3.

Определить оптимальные пропорции продукции для применения стратегий А1, А2, А3, руководствуясь «минимаксным критерием» (гарантированный средний уровень убытка) при матрице затрат, представленной в таблице.

Задача 5.2. Магазин может завести в различных пропорциях товары трех типов (А1, А2, А3); их реализация и прибыль магазина зависят от вида товара и состояния спроса.

Предполагается, что спрос на товары может иметь три состояния (В1, В2, В3) и не прогнозируется. Определить оптимальные пропорции в запуске товаров из условия максимизации средней гарантированной прибыли при следующей матрице прибыли.

Задача 5.3. Для следующих платежных матриц определить нижнюю и верхнюю цены игры, минимаксные стратегии и оптимальные решения игры, если существует седловая точка.

Найти решения игр путем сведения их к задаче линейного программирования, используя представленные платежные матрицы.

ТЕМА 6. МОДЕЛИ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Задачи для самостоятельного решения

Задача 6.1. Предприятие для производства продукта А расходует два средства в количестве x₁ и x₂ соответственно. Факторы производства считаются взаимозаменяемыми.

Объем производства, выраженный в натуральных единицах, является функцией затрат производства и представлен следующей производственной функцией: ___ где __- затраты факторов, __ - цены этих факторов, которые составили 1 и 2 соответственно. Совокупные издержки выражаются формулой __, причем b = 4.

Требуется при данных совокупных издержках определить такое количество факторов производства, которое максимизирует объем продукции z.

Задача 6.2.  Найти глобальный экстремум (наибольшее и наименьшее значения) объема продукции z в области системы неравенств, представленных ниже и дать геометрическое решение.

ТЕМА 7. МОДЕЛИ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Задачи для самостоятельного решения

Задача 7.1.  Планируется деятельность четырех промышленных предприятий (системы) на очередной год. Начальные средства: __= 5 у.е. Размеры вложения в каждое предприятие кратны 1 у.е. Средства х, выделенные k-му предприятию (k = 1,2,3,4), приносят в конце года прибыль __ Функции __ заданы таблично. Принято считать, что:

1. Прибыль __ не зависит от вложения средств в другие предприятия.

2. Прибыль от каждого предприятия выражается в одних условных единицах.

3. Суммарная прибыль равна сумме прибылей, полученных от каждого предприятия.

Определить, какое количество средств нужно выделить каждому предприятию, чтобы суммарная прибыль была наибольшей.

Задача 7.2.  Планируется деятельность двух отраслей производства на n лет. Начальные ресурсы __=10000 у.е. Средства х, вложенные в I отрасль в начале года, дают в конце года прибыль __ и возвращаются в размере __<x; аналогично для II отрасли функция прибыли равна __, а возврата - __, причем __<х. В конце года все возвращенные средства заново перераспределяются между I и II отраслями, новые средства не поступают, прибыль в производство не вкладывается.

Требуется распределить имеющиеся средства __ между двумя отраслями производства на четыре года так, чтобы суммарная прибыль от обеих отраслей за это время оказалась максимальной.

Необходимо: 1). Построить модель динамического программирования для этой задачи и вычислительную схему; 2). Решить задачу при условии, что __=0,6х, __=0,5х, __=0,7х, __=0,8х, n=4.

Задача 7.3.  Оборудование эксплуатируется в течение 5 лет, после этого продается. В начале каждого года можно принять решение о сохранении оборудования или замене его новым. Стоимость нового оборудования __ руб. После t лет эксплуатации (__) оборудование можно продать за g (t)=__ руб. (ликвидная стоимость). Затраты на содержание в течение года зависят от возраста t оборудования и равны r(t)=600(t+1). Определить оптимальную стратегию эксплуатации оборудования, чтобы суммарные затраты с учетом начальной покупки и заключительной продажи были минимальны.

Задача 7.4. Составить математическую модель, записать уравнения Беллмана и решить графически следующие задачи на определение оптимальных сроков замены оборудования. Даны: первоначальная стоимость оборудования __, его ликвидная стоимость __, стоимость содержания r(t)=0,1__ в течение года оборудования возраста t лет, срок эксплуатации n=5, в конце которого оборудование продается. Критерий оптимальности – суммарные затраты на эксплуатацию оборудования в течение 5 лет с учетом первоначальной покупки и последующей продажи.

Задача 7.5. Найти оптимальное распределение средств между тремя предприятиями при условии, что прибыль f(x), полученная от каждого предприятия, является функцией от вложенных в него средств х. Вложения кратны __, а функции f(x) заданы таблично.

Задача 7.6.  Найти оптимальное распределение ресурсов __=40000 у.е. между двумя отраслями производства в течение четырех лет, если даны функции доходов для каждой отрасли соответственно: __= 0,4х, __=0,3х. Возвращаются в размере __=0,5х и __=0,8х. В конце года все возвращенные средства заново перераспределяются между I и II отраслями, новые средства не поступают, прибыль в производство не вкладывается.

Построить модель динамического программирования этой задачи и вычислительную схему с учетом вышеизложенных условий.

ТЕМА 8. МОДЕЛИ СЕТЕВОГО ПЛАНИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ

Задача 8.1. Найти продолжительность выполнения комплекса работ, временные характеристики событий и работ (в скобках указана продолжительность работ). Построить сетевой график.

Сделать деревянный ящик (работу выполняет один человек). Разместить доски в соответствии с размерами ящика (15 мин.); разрезать доски (12 мин.); склеить части ящика (40 мин.); прибить к крышке ящика петли (8 мин); подождать пока ящик высохнет, и вытереть его (15 мин.); петли с крышкой прибить к ящику (10 мин).

Задача 8.2. Найти продолжительность выполнения комплекса работ, временные характеристики событий и работ (в скобках указана продолжительность работ). Построить сетевой график.

Заменить колесо машины (работу выполняют два человека). Достать из багажника домкрат и инструменты (40 с.); снять диск с колеса (30 с.); освободить колесо (50 с); поставить домкрат под машину (26 с.); поднять машину (20 с.); из багажника взять запасное колесо (25 с.); снять гайки и колесо (20 с.); установить запасное колесо на ось (10 с.); завинтить (не сильно) гайки на оси (15 с.); опустить машину и собрать домкрат (25 с.); поставить домкрат обратно в багажник (10 с.); завинтить гайки на оси до конца (12 с); положить плохое колесо и инструменты в багажник (40 с.); поставить на место диск колеса (10 с.).

Задача 8.3. Для сетевого графика (рис.1) найти все полные пути, критический путь; рассчитать ранние и поздние сроки свершения событий, начала и окончания работ; определить резервы времени полных путей и событий, резервы времени (полные, частные резервы первого вида, свободные и независимые) работ и коэффициенты напряженности работ.

Рис. 1. Сетевой график по выполнению проекта

Задача 8.4. Как изменится срок выполнения проекта (см. рис. 1), резервы времени работ и событий, коэффициенты напряженности работ, если увеличить продолжительность работы t (9,10) на величину:

а). Полный резерв времени работы - Rп (9,10);

б). Частный резерв времени работы первого вида - R1 (9,10);

в). Частный резерв времени работы второго вида или свободный резерв времени работы - Rс (9,10);

г). Независимый резерв времени работы - Rн (9,10)?

Задача 8.5. В таблице указаны оценки времени выполнения работ сетевого графика, данные ответственными исполнителями и экспертами.

Необходимо:  1) построить сетевой график; 2) определить средние (ожидаемые) значения продолжительности работ; 3) определить критический путь и его длину.

Полагая, что продолжительность критического пути распределена по нормальному закону, найти: 1) вероятность того, что срок выполнения комплекта работ не превысит 17 суток; 2) максимальное значение продолжительности выполнения проекта, которое можно гарантировать с надежностью 0,95.

Задача 8.6. По данным таблицы необходимо: 1) построить сетевой график; 2) определить критический путь и стоимость проекта при минимально возможных значениях продолжительности всех работ; 3) найти минимальную стоимость проекта при том же сроке его завершения; 4) рассчитать и построить оптимальную зависимость стоимости проекта от продолжительности его выполнения, используя в качестве первоначального варианта сетевого графика: а) план с максимальными значениями продолжительности всех работ и соответственно минимальной стоимостью проекта; б) план, полученный в результате выполнения п.3.

ТЕМА 9. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Задача 9.1. Построить граф состояний следующего случайного процесса: система состоит из двух автоматов по продаже газированной воды, каждый из которых в случайный момент времени может быть либо занятым, либо свободным.

Задача 9.2. Построить граф состояний следующего случайного процесса: устройство S состоит из двух узлов, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя, после чего мгновенно начинается ремонт узла, продолжающийся заранее неизвестное случайное время.

Задача 9.3. Найти предельные вероятности для систем S, граф которых изображен на рисунках.

Задача 9.4. Рассматривается круглосуточная работа пункта проведения профилактического осмотра автомашин с одинаковым каналом (одной группой проведения осмотра). На осмотр и выявление дефектов каждой машины затрачивается в среднем 0,5 час. На осмотр поступает в среднем 36 машин в сутки. Потоки заявок и обслуживаний – простейшие. Если машина, прибывшая в пункт осмотра, не застает ни одного канала свободным, она покидает пункт осмотра необслуженной. Определить вероятности состояний и характеристики обслуживания профилактического пункта осмотра машин.

Задача 9.5. Решить задачу 9.4 для случая n=4 (групп проведения осмотра). Найти число каналов, при котором относительная пропускная способность пункта осмотра будет не менее 0,9.

Задача 9.6. Анализируется работа междугородного переговорного пункта в небольшом городке. Пункт имеет один телефонный аппарат для переговоров. В среднем за сутки поступает 240 заявок на переговоры. Средняя длительность переговоров (с учетом вызова абонентов в другом городе) составляет 5 мин. Никаких ограничений на длину очереди нет. Потоки заявок и обслуживаний простейшие. Определить предельные вероятности состояний и характеристики обслуживания переговорного пункта в стационарном режиме.

Задача 9.7. Решить задачу 9.6 для случая n=3 телефонных аппаратов.

Задача 9.8. Решить задачу 9.5 при условии, что автомобиль, прибывший в пункт осмотра, покидает этот пункт лишь в случае, если в очереди на осмотр стоят более 5 автомашин.

Задача 9.9. Решить задачу 9.7 при условии, что длина очереди не должна превышать 60 человек.

ТЕМА 10. МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ

Задача 10.1. Склад пополняется каждый месяц некоторыми изделиями. В течение первых пяти месяцев года объемы пополнения равны соответственно 10, 20, 20, 20 и 30 изделиям. Начальный запас к началу первого месяца равен 10 изделиям. На основании опыта получено распределение спроса на товар, представленное в таблице, где  r- спрос, а p(r) – статистическая вероятность. Сдвиг во времени между заказом на пополнение и доставкой на склад равен 6 мес. Издержки в расчете на одно изделие из-за излишка изделий равны 10 ден. ед., а от их нехватки – 120 ден. ед. Найти оптимальное пополнение склада на шестой месяц.

Задача 10.2. Кондитерское предприятие торгует вразвес своими тортами. Каждый килограмм торта приносит 2 ден. ед. прибыли. Все торты можно продать на следующий день со скидкой 0,2 ден.ед. На основании опыта получено распределение спроса на торты, представленное в таблице, где  r- спрос, а p(r) – статистическая вероятность. Найти оптимальную дневную выработку тортов.

Задача 10.3. Решить задачу 10.2 при условии, что спрос на торты есть случайная величина, распределенная по показательному закону с параметром .

Задача 10.4. Ежедневный спрос на некоторый продукт составляет 100 ед. Затраты на приобретение каждой партии этого продукта, не зависимые от объема партии, равны 100 ден.ед., а затраты на хранение единицы продукта – 0,02 ден. ед. в сутки. Определить наиболее экономичный объем партии и интервал между поставками партии такого объема.

Задача 10.5. Решить задачу 10.4 в предположении, что возможен дефицит, который приносит 0,03 ден. ед. убытка в день на единицу продукта.

Задача 10.6. Интенсивность поступления деталей на склад готовой продукции цеха составляет в начале смены 5 дет./мин., в течение первого часа линейно возрастает, достигая к концу его 10 дет./мин., и затем остается постоянной. Полагая, что поступление деталей на склад происходит непрерывно в течение всех семи часов смены, а вывоз деталей со склада производится только в конце работы, записать выражение для уровня запаса в произвольный момент времени и, используя его, найти количество деталей на складе: а) через 30 мин. после начала работы; б) в конце смены.

Задача 10.7. В условиях задачи 10.6 интенсивность поступления деталей на склад в течение первых 50 мин. растет по закону а(t)=0,2t+5, а затем до конца смены остается постоянной. Найти количество деталей на складе: а) через 10 мин. после начала работы; б) в конце работы.

Задача 10.8. Потребность сборочного предприятия в деталях некоторого типа составляет 120000 деталей в год, причем эти детали расходуются в процессе производства равномерно и непрерывно. Детали заказываются раз в год и поставляются партиями одинакового объема, указанного в заказе. Хранение детали на складе стоит 0,35 ден. ед. в сутки, а поставка партии – 10000 ден. ед. Задержка производства из-за отсутствия деталей недопустима. Определить: 1) наиболее экономичный объем партии и интервал между поставками, которые нужно указать в заказе (предполагается, что поставщик не допускает задержки поставок); 2) на сколько процентов увеличатся затраты на создание и хранение запаса по сравнению с минимальными затратами при объеме заказываемых партий 5000 деталей; 3) с учетом вышеизложенного определить, при каком уровне запаса следует заказывать следующую партию, если предположить, что заказываются не все партии сразу, а каждая отдельно, причем срок выполнения заказа равен 16 дней.