Таблица 1. Определение варианта контрольного задания

СОДЕРЖАНИЕ КОНТРОЛЬНОГО ЗАДАНИЯ

1. Линейная производственная задача. Составить математическую модель линейной производственной задачи по выпуску четырех видов продукции с использованием трех видов ресурсов, взяв исходные данные в соответствии со своим вариантом (см. Приложение 1). Технологическая матрица А затрат различных ресурсов на единицу каждого вида продукции (элемент a_ij этой матрицы равен количеству ресурса i-го вида (i = 1, 2, 3), которое необходимо затратить в процессе производства единицы продукции j-го вида (j = 1, 2, 3, 4)), вектор объемов ресурсов В и вектор удельной прибыли С при возможном выпуске компактно записаны в виде:

Преобразовать данную задачу к виду основной задачи линейного программирования, решить ее методом направленного перебора базисных допустимых решений (симплекс-методом), обосновывая каждый шаг процесса. Найти оптимальную производственную программу, максимальную прибыль, остатки ресурсов различных видов и указать ²узкие места² производства (дефицитные ресурсы).

Если по оптимальной производственной программе какие-то два вида продукции не должны выпускаться, то в таблице исходных данных вычеркнуть соответствующие два столбца, составить математическую модель задачи оптимизации производственной программы с двумя оставшимися переменными, сохранив прежнюю нумерацию переменных, и решить эту задачу графически.

2. Двойственная задача. Сформулировать задачу, двойственную линейной производственной задаче, как задачу определения расчетных оценок ресурсов, и найти ее решение, пользуясь второй основной теоремой двойственности (о дополняющей нежёсткости). Указать оценку единицы каждого ресурса, минимальную суммарную оценку всех ресурсов, оценки технологий  и определить, на сколько уменьшится прибыль при принудительном выпуске единицы нерентабельной продукции.

Проверить решение исходной задачи симплексным методом с помощью подпрограммы «Поиск решения» Microsoft Excel и, кроме того, провести анализ оптимального решения ЗЛП на чувствительность (определить границы изменения коэффициентов целевой функции, в пределах которых не изменяется ассортимент выпускаемой продукции, и границы изменения правых частей ограничений, в пределах которых сохраняется устойчивость двойственных оценок).

Применить найденные двойственные оценки ресурсов к решению следующей задачи.

3. Задача о расшивке узких мест производства. Сформулировать задачу о "расшивке узких мест производства" и составить ее математическую модель. Определить область устойчивости двойственных оценок, где сохраняется структура оптимальной программы производства (то есть номенклатура выпускаемой продукции остается без изменения).

Решить задачу о ²расшивке узких мест производства² при условии, что дополнительно можно получить от поставщиков не более одной трети первоначально выделенного объема ресурса любого вида (если задача окажется с двумя переменными, то только графически); найти план приобретения дополнительных объемов ресурсов, дополнительную возможную прибыль. Для пополненного вектора ресурсов найти новую оптимальную производственную программу.

По пунктам 1, 2, 3 составить сводку результатов.

4. Целочисленная задача о расшивке узких мест производства. Если полученное решение задачи о ²расшивке узких мест производства² оказалось не целочисленным, то требуется с помощью метода ветвей и границ найти целочисленное решение этой задачи.

Проверить решение целочисленной задачи о ²расшивке узких мест производства² с помощью подпрограммы «Поиск решения» Microsoft Excel.

5. Транспортная задача как частный случай линейной распределительной задачи. Составить математическую модель транспортной задачи по исходным данным из Приложения 2, где вектор запасов продукта на складах

вектор запросов продукта магазинами

b = (b₁ b₂ b₃ b₄)

и матрица транспортных тарифов перевозки единицы продукта из i-го пункта отправления (i = 1, 2, 3) в j-й пункт назначения (j = 1, 2, 3, 4)

известны и для каждого варианта компактно записаны в следующем виде:

Если полученная модель окажется открытой, то преобразовать ее к закрытой форме путем введения фиктивного поставщика или потребителя и найти оптимальный план перевозок, при котором запросы магазинов были бы удовлетворены в наибольшей степени за счет имеющегося на складах количества продукта, а общие транспортные расходы по доставке продукта были минимальны.

Найти оптимальное решение транспортной задачи распределительным методом (методом потенциалов), обосновывая каждый шаг вычислительного процесса.

Проверить решение транспортной задачи с помощью подпрограммы «Поиск решения» Microsoft Excel.

6. Динамическая задача распределения инвестиций. Для модернизации четырех предприятий производственного объединения с целью наращивания производственных мощностей и увеличения прироста годовой прибыли совет директоров инвестирует в них средства в объеме 700 млн. руб. с дискретностью

100 млн. руб. Прирост годовой прибыли зависит от выделенной суммы, его значения предоставлены предприятиями. Если j-е предприятие получает инвестиции в объеме ξ млн. руб., то прирост годовой прибыли на этом предприятии составит f _j (ξ) млн. руб. в год (j = 1, 2, 3, 4). Значения функций f _j (ξ) известны и для каждого варианта компактно записаны в Приложении 3 в следующем виде:

f₁(0) f₁(100) f₁(200) f₁(300) f₁(400) f₁(500) f₁(600) f₁(700)

f₂(0) f₂(100) f₂(200) f₂(300) f₂(400) f₂(500) f₂(600) f₂(700)

f₃(0) f₃(100) f₃(200) f₃(300) f₃(400) f₃(500) f₃(600) f₃(700)

f₄(0) f₄(100) f₄(200) f₄(300) f₄(400) f₄(500) f₄(600) f₄(700)

Найти такое распределение инвестиций между предприятиями, которое максимизирует суммарный прирост прибыли на всех предприятиях вместе, причем в одно предприятие можно осуществить только одну инвестицию. Для этого необходимо составить математическую модель динамической задачи распределения инвестиций и решить ее методом динамического программирования, обосновывая каждый шаг вычислительного процесса.

7. Задача о кратчайшем пути. Требуется определить кратчайший путь из вершины X_i в вершину X_j в графе, приведенном в Приложении 4, где числа на дугах означают длины этих дуг. Номера вершин i и j для каждого варианта приведены в Приложении 4.