Номер варианта соответствует начальной букве фамилии студента.

Вариант №1 Вариант №2  Вариант №3  Вариант №4

А, Б, В            Г, Д, Е              Ж, З, И          К, Л

Вариант №5  Вариант №6  Вариант №7  Вариант №8

М, Н                 О, П, Р             С, Т, У            Ф, Х, Ц

Вариант №9   Вариант №10

Ч, Ш, Щ             Э, Ю, Я

Задача №1.

Задание 1. Сформулировать математическую модель исходной задачи.

Задание 2. Решить полученную задачу линейного программирования симплексным методом.

Задание 3. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальное решение, используя теоремы двойственности.

Задание 4. Если возможно, привести решение задачи геометрическим методом

Вариант 1.

Фирма производит два вида изделия А и Б, рынок сбыта которых неограничен. Каждое изделие должно пройти обработку на каждой из машин 1, 2 и 3. Время обработки (в часах) для каждого из изделий А на машинах 1, 2 и 3 составляет 0,5 ч., 0,4ч. и 0,2 ч. соответственно, а для каждого из изделий Б время обработки на этих машинах равно соответственно 0,25 ч., 0,3 ч. и 0,4 ч.

Ресурсы времени работы машин 1, 2 и 3 типов составляют 40; 36 и 36 часов в неделю соответственно; прибыль от изделий А и Б равна соответственно 5 и 3 ден. Единиц за одно изделие. Определить недельный план выпуска изделий А и Б, максимизирующий прибыль.

Вариант 2.

Предприятие производит полки для ванных комнат двух размеров А и Б. Служба маркетинга определила, что на рынке может быть реализовано до 550 полок в неделю, а объем поставляемого на предприятие материала, из которого делаются полки, равен 1200 м² в неделю. Для каждой полки типов А и Б требуется 2 м² и 3м² материала соответственно, а затраты станочного времени на обработку одной полки типа А и Б составляют соответственно 12 и 30 минут. Общий недельный объем станочного времени равен 160 часов, а прибыль от продажи каждой полки типов А и Б составляет 3 и 4 ден. Единиц соответственно. Определить сколько полок каждого типа следует выпускать в неделю для получения наибольшей прибыли.

Вариант 3.

Из 505 м² ткани нужно сшить не более 150 женских и не более 100 детских платьев. На пошив одного женского и детского платья требуется соответственно 3 м² и 1м² ткани. При реализации каждого женского платья получают 10 ден единиц прибыли, а детского – 5 ден. Единиц. Сколько нужно сшить женских и детских платьев, чтобы получить наибольшую прибыль?

Вариант 4.

При подкормке посевов нужно внести на 1 га почвы не менее 8 единиц химического вещества А, 21 единиц химического вещества Б и 16 единиц химического вещества В. Агрофирма закупает комбинированные удобрения двух видов: М и К; содержание в единице веса удобрений единиц веществ А, Б и В составляет для удобрения М 1,2 и 4, а для удобрения К 5, 3 и 4 соответственно. Цена единицы веса удобрения М равна 5, а удобрения К – 3 ден единиц. Составить наиболее экономичный план закупки удобрений в расчете на 1 га почвы.

Вариант 5.

Для выпуска продукции типа А и Б используется сырье видов 1, 2, 3 и 4. Расход сырья каждого вида на единицу продукции А составляет 2, 1, 2, и 1 единиц соответственно, а на единицу продукции Б – 3, 1, 1, и 0 единиц. Запасы сырья по видам составляют соответственно 21, 8, 12 и 5 единиц, а прибыль в расчете на единицу продукции по продукции  А равна 3 ден. единиц, а по продукции Б – 2 ден. единиц. Составить план выпуска продукции, обеспечивающей максимальную прибыль.

Вариант 6.

Предприятие имеет три группы станков, объемы загрузки которых ограниченны и составляют соответственно 30, 24 и 3 станко-часов. Производительность каждой группы станков по двум типам деталей А и Б составляет по деталям А 10, 15 и 20 деталей в час, а по деталям Б – 20, 40 и 60 деталей в час. Найти время загрузки каждой группы станков, чтобы получить максимальное общее количество деталей обоих типов, и соответствующее число каждого типа.

Вариант 7.

 Можно закупить корм видов 1 и 2 , при этом стоимость единиц корма вида 1 равна 2 ден. единицам, а вида 2 – 4 ден. единицы. В каждой единице корма 1 содержится одна единица витамина А две единицы витамина В и нет витамина С, а в каждой единице корма 2 – две единицы А, одна единица В и одна единица С. Животному в сутки необходимо не менее 10 единиц витамина А, 10 единиц витамина В и 4 единицы витамина С. Составить наиболее дешевый рацион питания животного в расчете на сутки.

Вариант 8.

На двух станках типов 1 и 2 производится два вида продукции А и Б при этом для изготовления единицы продукции А станок типа 1 используется два часа, а станок типа 2 – один час, тогда как по продукции Б соответствующее значение составляет 1 час и 2 часа. В течение суток станок типа 1 может работать не более 10 часов, а станок типа 2 – не более 8 часов. Составить суточный план выпуска продукции А и Б, обеспечивающий наибольшую прибыль, если прибыль от реализации единицы продукции А составляет 5 ден. единиц, а от единицы продукции Б – 2 ден. единиц, и при этом предприятие зп каждый час простоя станка типа 1 несет убытки в 2 ден. единицы, а станка типа 2 – 1 ден. единиц.

Вариант 9.

В мастерской освоили производство столов и тумбочек для торговой сети из древесины видов 1 и 2. Имеется 72 м³ древесины вида 1 и 56 м³ древесины вида 2, при этом на производство одного стола требуется 0,18 м³  древесины вида 1 и 0,08 м³ древесины вида 2, а производство одной тумбочки уходит соответственно 0,09 м³ и 0,28 м³ видов древесины 1 и 2 . От производства одного стола мастерская получает прибыль в размере 1,1 ден. единиц, а одной тумбочки 0,7 ден. единиц. Сколько столов и тумбочек должна изготовить мастерская из имеющегося материала, чтобы получить наибольшую прибыль? 

Вариант 10.

Имеется 150 л жидкости А и 150 л жидкости Б. Для получения одной бутылки смеси 1 нужно взять 2л жидкости А и 1л жидкости Б, а для получения одной бутылки смеси 2 нужно взять соответственно 1 л жидкости А и 4 – жидкости Б. смесь 1 продается по цене 2 ден.единицы, а смесь 2 – 3 ден. единицы за одну бутыль. Сколько нужно приготовить бутылей каждой смеси, чтобы общая их стоимость была наибольшей, при условии, что число бутылей со смесью 2 не менее числа бутылей со смесью 1?

Задача №2.

Задание 1. Записать исходные данные задачи в виде транспортной таблицы, определить, открытой или закрытой является транспортная задача.

Задача 2. Сформулировать математическую модель исходной транспортной задачи.

Задача 3. Найти оптимальный план перевозок, отметив при этом единственность или не единственность оптимального плана.

Вариант 1.

На строительном полигоне имеются три кирпичных завода, суточные объемы производства которых соответственно раны 450 т, 350 т и 500т кирпича. Эти заводы поставляют кирпич на четыре строительных объекта, потребности в кирпиче которых в сутки составляют 300 т, 500 т, 350 т и 350 т соответственно. Стоимости перевозки одной тонны кирпича с первого завода на все объекты равны соответственно 1, 7, 5 и 2 ден. единиц; аналогичные стоимости перевозки со второго завода составляют 3, 1, 6 и 3 ден. единиц., а с третьего – 4, 3, 2 и 6 ден. единиц.

Составить оптимальный план перевозок кирпича с заводов на объекты, обеспечивающий минимальные затраты.

Вариант 2.

На складах А, В, С и Д находятся соответственно 50 т, 40т, 40 ти 70 т муки, которую нужно доставит четырем хлебозаводам. Первому хлебозаводу требуется 50т муки, второму – 40т, третьему – 50т и четвертому – 60т муки. Стоимости доставки одной тонны муки со склада А каждому хлебозаводу соответственно равны 8, 3, 5 и 2 ден. единиц, со склада В – 7, 4, 9 и 8 ден. единиц, со склада С – 6, 3, 3 и 1 ден. единиц, со склада Д – 2, 4, 1 и 5 ден. единиц. Составить план перевозки муки, обеспечивающий минимальные транспортные расходы.

Вариант 3.

Картофель из четырех районов должен быть перевезен в три хранилища. Запасы картофеля в районах соответственно равны 400т, 500т, 800т и 500т. Возможности хранилищ соответственно равны 700т, 800т и 700т. Затраты на перевозку одной тонны картофеля из первого района в каждое хранилище равны соответственно 1, 4 и 3 ден. единиц; аналогичные затраты на перевозку из второго района составляют 7, 1 и 5 ден единиц, из третьего – 4, 8 и 3 ден. единиц, из четвертого – 6, 2 и 8 ден. единиц. Найти план перевозки картофеля из районов в хранилища, при котором транспортные расходы были бы минимальными.

Вариант 4.

На четырех складах фирмы находится 70, 30, 40 и 60 холодильников соответственно, которые следует доставить в четыре магазина фирмы в количестве 50, 70, 40 и 40 холодильников в каждый из магазинов.

Стоимости перевозки одного холодильника с первого склада в каждый из магазинов составляют 6, 4, 9 и 7 ден. единиц соответственно, со второго склада – 7, 2, 5 и 6 ден. единиц, с третьего склада – 2, 6, 3 и 3 ден. единиц, с четвертого склада – 3, 3, 6 и 5 ден. единиц соответственно. Определить план перевозок холодильников со складов в магазины, при котором общие затраты на перевозку были бы наименьшими.

Вариант 5.

Фирма на своих филиалах производит химические удобрения. На четырех складах фирмы хранится соответственно 20т, 70т, 110т и 140 т необходимого сырья, а потребности в сырье трех филиалов фирмы составляют 130т, 80т и 80т сырья соответственно. Затраты на перевозку одной тонны сырья с первого склада на каждый из филиалов равны 3, 4 и 7 ден. единиц; соответствующие затраты для второго склада равны 1, 5 и 3  ден. единиц, для третьего склада – 7, 3 и 2 ден. единиц, а для четвертого склада -  4, 6 и 6 ден. единиц соответственно. Составить оптимальный план перевозок сырья со складов на филиалы, при котором транспортные затраты были бы минимальными.

Вариант 6.

Сталеплавильная компания располагает тремя заводами М₁, М₂, М₃, производящими за некоторый период времени 50, 30 и 20 тыс. тонн стали. Свою продукцию компания поставляет четырем потребителям С₁, С₂, С₃ и С₄, потребности которых за тот же период времени составляют 12, 15, 25 и 36 тыс. тонн. Стоимости перевозки одной тыс. тонн стали с завода М₁ потребителям С₁, С₂, С₃ и С₄ равны 15, 19, 19 и 15 ден. единиц соответственно; аналогичные стоимости перевозок с завода М₂ равны 19, 18, 18 и 10 ден. единиц, а с завода М₃ – 14, 16, 20 и 18 ден. единиц. Определить оптимальный план перевозок, при котором общие затраты на перевозки являются минимальными.

Вариант 7.

Компания владеет тремя фабриками М₁, М₂, М₃ способными произвести еженедельно 50, 25 и 25 тыс. изделий соответственно. По договорам компания поставляет продукцию четырем заказчикам  С₁, С₂, С₃ и С₄, каждому из которых требуется 15, 20, 20 и 30 тыс изделий еженедельно. Стоимости производства и транспортировки 1 тыс. изделий с фабрики М₁ каждому из заказчиков составляют 13, 17, 17 и 14 ден. единиц соответственно; аналогичные стоимости для фабрики М₂ равны 18, 16, 16 и 18 ден. единиц, а для фабрики М₃ – 12, 14, 19 и 17 ден. единиц. Определить оптимальный план производства и транспортировки продукции, минимизирующий общие затраты компании.

Вариант 8.

Две фабрики К₁ и К₂ производят электронное оборудование, объемы выпуска которого за некоторый период для каждой фабрики составляют соответственно 16 и 12 тыс. изделий. Продукция фабрик поставляется к трем потребителям С₁, С₂, С₃, которым за тот же период времени требуется 10, 13 и 7 тыс. изделий. Стоимости перевозок одной тыс. изделий с фабрики К₁ трем потребителям равны соответственно 5, 4 и 6 ден. единиц, а с фабрики К₂ – 6, 3 и 2 ден единицы. Найти оптимальный план перевозки продукции с фабрики потребителям, при котором общие затраты на перевозку будут наименьшими. 

Вариант 9.

Четыре сталелитейных завода С₁, С₂, С₃ и С₄ производят еженедельно 950, 300, 1350 и 450 т стали соответственно. Потребителям А, В, С и Д еженедельно нужно 250, 1000, 700 и 1100 т стали, а стоимости перевозок 1т стали с заводов потребителям для завода С₁ равны 12, 16, 21 и 19 ден. единиц, для завода С₂ – 4, 4, 9 и 5 ден. единиц, для завода С₃ – 3, 8, 14 и 10 ден. единиц, а для завода С₄ – 24, 33, 36 и 34 ден единиц соответственно. Составить план транспортировки стали с заводов потребителям, чтобы минимизировать общую стоимость перевозок.

Вариант 10.

Компания владеет тремя заводами А, В и С, объемы производства которых за некоторый период времени составляют 6, 3 и 3 тыс. единиц продукции. Компания поставляет продукцию в четыре города М₁, М₂, М₃ и М₄, которым требуется 1,5; 2,5; 2,7 и 3,3 тыс. единиц продукции соответственно. Стоимости транспортировки единицы продукции с завода А в города  М₁, М₂, М₃ и М₄ равны соответственно 1, 4, 1 и 9 ден. единиц; аналогичные стоимости для завода В равны 9, 2, 2 и 8 ден. единиц, а для завода С – 6, 1, 7 и 3 ден. единицы соответственно. Составьте оптимальный план перевозок продукции в города, минимизирующий общие затраты на перевозки.