Содержание контрольной работы

Тема 1. Условный экстремум задачи нелинейного программирования при ограничениях типа равенств.

Задача 1. Решить задачу методом множителей Лагранжа

1.1. На развитие двух предприятий, входящих в ПО выделено 2 млн. руб. Если первому предприятию выдать x₁ млн. руб., то прибыль, полученная от этого предприятия будет равна  млн. руб., если x₂ млн. выдать второму, то прибыль от него будет равна  млн. руб.

Как следует распределить средства между предприятиями, чтобы суммарная прибыль была максимальной?

1.2. На развитие двух предприятий, входящих в ПО выделено 2 млн. руб. Если первому предприятию выдать x₁ млн. руб., то прибыль, полученная от этого предприятия будет равна  млн. руб., если x₂ млн. выдать второму, то прибыль от него будет равна  млн. руб.

Как следует распределить средства между предприятиями, чтобы суммарная прибыль была максимальной?

1.3. На развитие двух предприятий, входящих в ПО выделено 2 млн. руб. Если первому предприятию выдать x₁ млн. руб., то прибыль, полученная от этого предприятия будет равна  млн. руб., если x₂ млн. выдать второму, то прибыль от него будет равна  млн. руб.

Как следует распределить средства между предприятиями, чтобы суммарная прибыль была максимальной?

1.4. На развитие двух предприятий, входящих в ПО выделено 2 млн. руб. Если первому предприятию выдать x₁ млн. руб., то прибыль, полученная от этого предприятия будет равна  млн. руб., если x₂ млн. выдать второму, то прибыль от него будет равна  млн. руб.

Как следует распределить средства между предприятиями, чтобы суммарная прибыль была максимальной?

1.5. На развитие двух предприятий, входящих в ПО выделено 2 млн. руб. Если первому предприятию выдать x₁ млн. руб., то прибыль, полученная от этого предприятия будет равна  млн. руб., если x₂ млн. выдать второму, то прибыль от него будет равна  млн. руб.

Как следует распределить средства между предприятиями, чтобы суммарная прибыль была максимальной?

1.6. На развитие двух предприятий, входящих в ПО выделено 2 млн. руб. Если первому предприятию выдать x₁ млн. руб., то прибыль, полученная от этого предприятия будет равна  млн. руб., если x₂ млн. выдать второму, то прибыль от него будет равна  млн. руб.

Как следует распределить средства между предприятиями, чтобы суммарная прибыль была максимальной?

1.7. На развитие двух предприятий, входящих в ПО выделено 2 млн. руб. Если первому предприятию выдать x₁ млн. руб., то прибыль, полученная от этого предприятия будет равна  млн. руб., если x₂ млн. выдать второму, то прибыль от него будет равна  млн. руб.

Как следует распределить средства между предприятиями, чтобы суммарная прибыль была максимальной?

1.8. На развитие двух предприятий, входящих в ПО выделено 2 млн. руб. Если первому предприятию выдать x₁ млн. руб., то прибыль, полученная от этого предприятия будет равна  млн. руб., если x₂ млн. выдать второму, то прибыль от него будет равна  млн. руб.

Как следует распределить средства между предприятиями, чтобы суммарная прибыль была максимальной?

1.9. Изготовление некоторой продукции в ПО можно осуществить двумя технологическими способами. При первом способе изготовление x₁ изделий  требует затрат  руб., при втором способе затраты на изготовление x₂ изделий составляют  руб. Составить план производства 200 изделий, минимизирующий общие затраты.

1.10. Изготовление некоторой продукции в ПО можно осуществить двумя технологическими способами. При первом способе изготовления x₁ изделий  требует затрат  руб., при втором способе затраты на изготовление x₂ изделий составляют  руб. Составить план производства 200 изделий, минимизирующий общие затраты.

Тема 2. Линейное программирование (ЛП)

Задача 2. (Задача линейного программирования).

Составить математическую модель и решить задачу ЛП графическим и симплекс-методом.

2.1. Для изготовления двух видов изделий используются три вида сырья. Общее количество сырья, расход (кг) на изготовление единицы изделия и цена единицы каждого изделия представлены в таблице:

Составить оптимальный план производства изделий В1 и В2, обеспечивающий максимальный выпуск товарной продукции.

2.2. На трех станках обрабатываются два вида изделий. Каждое изделие проходит обработку на каждом станке. В таблице задана трудоемкость обработки каждого изделия на каждом станке в часах, фонд полезного времени работы станков и отпускная цена единицы изделия

Найти план производства изделий, обеспечивающий выполнение плана не менее, чем на 120 тыс. руб., при наименьшей загрузке оборудования

2.3. На четырех станках обрабатывается два вида изделий. Каждое изделие проходит обработку на каждом станке. В таблице задана трудоемкость обработки одного изделия (в часах) и фонд полезного времени работы станков. Составить план производства изделий, обеспечивающий максимальную загрузку станков.

2.4. Предприятие изготавливает два вида изделий. Каждое изделие требует обработки на трех видах оборудования. Известны прибыль, получаемая от реализации каждого изделия, трудоемкость обработки изделий (в часах) и фонд времени работы оборудования. Сколько нужно изготовить тех или иных изделий, чтобы прибыль была наибольшей?

2.5. Трикотажная фабрика использует для производства свитеров и кофточек чистую шерсть, силон и нитрон, запасы которых составляют соответственно 900, 400 и 300 кг. Количество пряжи каждого вида (кг), необходимой для изготовления 10 изделий, а также прибыль, получаемая от их реализации, приведены в таблице. Составить план производства изделий, обеспечивающий получение максимальной прибыли.

2.6. Для производства двух видов продукции в цехе используется три группы оборудования. Нормы затрат времени на один комплект изделий (в часах), фонд времени работы оборудования, а также прибыль, получаемая от единицы продукции, приведены в таблице:

Определить вариант загрузки оборудования, обеспечивающий максимальную прибыль от реализации продукции.

2.7. Для изготовления двух видов продуктов А1 и А2 используются три вида сырья: В1, В2 и В3. Расход сырья для изготовления 1 кг продуктов и запасы (в кг) приведены в таблице:

Составить план производства, обеспечивающий максимальный по стоимости выпуск продукции.

2.8. Для откорма крупного рогатого скота используется два вида кормов В1 и В2, в которые входят питательные вещества А1, А2, А3 и А4. Содержание количества условных единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма, стоимость 1 кг корма и норма содержания питательных веществ в дневном рационе животного представлены в таблице. Составить рацион при условии минимальной стоимости.

2.9. Предприятие располагает производственными мощностями (в часах) четырех видов в следующем количестве:

А1=16, А2=10, А3=6, А4=7.

Норма затрат мощностей каждого вида составляет на единицу продукции №1: 2, 1, 0, 1, на единицу продукции №2: 1, 1, 1, 0 (соответственно). Прибыль от реализации единицы продукции №1 равна 3 тыс. руб., от единицы продукции вида №2 равна 4 тыс. руб. Составить план производства, при котором прибыль предприятия от реализации всей продукции будет максимальной.

2.10. На приобретение оборудования для нового производственного участка выделено 20 млн. руб. Оборудование должно быть размещено на площади, не превышающей 72 кв.м. Предприятие может заказать оборудование двух видов: более мощные машина типа А, стоимостью 5 млн. руб., требующие 6 кв. м. производственной площади и дающие 8 тыс. единиц продукции за смену. И менее мощные машины типа Б, стоимостью 2 млн. руб., занимающие площадь 12 кв.м. и дающие за смену 3 тыс. единиц продукции. Найти оптимальный вариант приобретения оборудования, обеспечивающий максимум общей производительности нового участка.

Тема 3. Специальные задачи линейного программирования

Задача 3. (Транспортная задача).

В приведенных ниже таблицах указаны запасы (в тоннах) однородного сыпучего груза у поставщиков (А1, А2, А3) и спрос на него потребителей (В1, В2, В3, В4), а также элементы матрицы тарифов. Составить математическую модель транспортной задачи, заданной таблицей, и найти оптимальный план перевозок груза, позволяющий получить наименьшую полную стоимость перевозок.

3.1.

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

3.7.

3.8.

3.9.

3.10.

Тема 4. Нелинейная задача распределения ресурсов и динамическое программирование.

Задача 4. Оптимальное распределение капиталовложений.

В производственное объединение входят четыре предприятия. Прирост выпуска продукции каждого из них f_i(x_i) в зависимости от величины выделенных предприятию капиталовложений x_i указан (в условных единицах) в приведенных ниже таблицах. Составить оптимальный план распределения капиталовложений между четырьмя предприятиями, обеспечивающий максимальное увеличение выпуска продукции всего производственного объединения. Капиталовложения x_i каждому предприятию могут быть выделены только в объемах, указанных в таблицах, и общий объем капиталовложений составляет S усл. ед. Решить задачу о распределении ресурсов методом динамического программирования.

4.1. S=100 усд. ед.

..........................................

Тема 5. Задача о нахождении кратчайшего маршрута на графе.

Задача 5. Сеть задана таблицей. Найти кратчайшие пути (маршруты) из всех узлов в узел 1 и определить их длину.

5.1.

Тема 6. Линейные модели макроэкономики

Задача 6. Модель межотраслевого баланса Леонтьева.

Некоторая экономика описывается матрицей прямых затрат А и вектором прямых потребностей в труде . Требуется:

· проверить продуктивность модели Леонтьева; 

· вычислить косвенную потребность во всех продуктах, включая труд, для чистого выпуска единицы каждого продукта;

· найти нормализованный равновесный вектор цен;

· определить заработную плату, соответствующую нормализованному равновесному вектору цен;

· найти суммарный выпуск каждой отрасли и суммарную потребность в труде для производства ассортиментного набора продуктов .

6.1. ,   , .

............................